2.5 二次函数与一元二次方程 同步练习（含答案）

2.5
二次函数与一元二次方程
同步练习
一、单选题
1、关于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象有下列命题：
①当c=0时，函数的图象经过原点；
②当c＞0，且函数的图象开口向下时，方程ax +bx+c=0必有两个不相等的实根；
③函数图象最高点的纵坐标是；
④当b=0时，函数的图象关于y轴对称．
其中正确命题的个数是(
)
A、0个
B、1个
C、2个
D、3个
2、对于一元二次方程ax2+bx+c=0，下列说法：①若b=a+c，则方程必有一根为x=-1；②若c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则一定有ac+b+1=0成立；③若b2＞4ac，则方程ax2+bx+c=0一定有两个不相等实数根；其中正确结论有（　　）个．
A、1
B、2
C、3
D、4
3、下列说法中，正确的有（　　）
（1）的平方根是±5；
（2）五边形的内角和是540°．
（3）抛物线y=x2+2x+4与x轴无交点．
（4）等腰三角形两边长为6cm和4cm，则它的周长是16cm．
A、2个
B、3个
C、4个
D、5个
4、如图所示的抛物线是二次函数y=ax2-3x+a2-1的图像，那么下列结论错误的是
（　　）
A、当y＜0时，x＞0
B、当-3＜x＜0时，y＞0
C、当x＜时，y随x的增大而增大
D、抛物线可由抛物线y=-x2平移得到
5、不论x为何值时，y=ax2+bx+c恒为正值的条件是(　　
)
A、a＞0，△＞0
B、a＞0，△＞0
C、a＞0，△＜0
D、a＜0，△＜0
6、二次函数y=kx2-6x+3的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围是（　　）
A、k<3
B、k<3
且k≠0
C、k
≤3
D、k
≤3且k≠0
7、已知二次函数y=x2+x+c的图象与x轴的一个交点为（1,0），则它与x轴的另一个交点坐标是(
)
A、（1，0）
B、（－1，0）
C、（2，0）
D、（－2，0）
8、二次函数y=ax2+bx的图象如图，若一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，则以下关于m的结论正确的是（　　）
A、m的最大值为2　
B、m的最小值为－2
C、m是负数　　
D、m是非负数
9、方程ax2+bx+c=0的两个根是－3和1，那么二次函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴是直线（　　）
A、x＝－3
B、x＝－2
C、x＝－1
D、x＝1
10、如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象过（1，－1）和（3，0），则下列关于这个二次函数的描述，正确的是（
）
A、y的最小值大于－1
B、当x＝0时，y的值大于0
C、当x＝2时，y的值等于－1
D、当x＞3时，y的值大于0
11、 如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c＜0的解集是（
）
A、-1＜x＜5
B、x＞5
C、x＜-1且x＞5
D、x＜-1或x＞5
12、 二次函数y=ax2+bx的图象如图，若一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，则m的最大值为（　　）

A、-3
B、3
C、-6
D、9
13、若y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c=0的另一个解为（　　）
A、-2
B、-1
C、0
D、1
14、已知抛物线y=x2﹣2x+1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣2m+2013的值为（　　）
A、2011
B、2012
C、2013
D、2014
15、已知二次函数y=-x2+x-
，当自变量x取m时对应的值大于0，当自变量x分别取m-1、m+1时对应的函数值为y1、y2
，
则y1、y2必须满足（　　）

A、y1＞0、y2＞0
B、y1＜0、y2＜0
C、y1＜0、y2＞0
D、y1＞0、y2＜0
二、填空题
16、 抛物线：y=ax2+2ax+a2+2的一部分如图所示，那么该抛物线在y轴右侧与x轴交点的坐标是________．

17、若函数y=（a﹣1）x2﹣4x+2a的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为________．
18、二次函数y=ax+bx+c的图像如图所示,则不等式ax+bx+c＞0的解集是________ ．
19、抛物线y=x2+mx+m4与x轴两交点间距离的最大值为________
20、若二次函数y=kx2﹣6x+3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是________
．
三、解答题
21、已知函数
（1）m= 时，函数图像与x轴只有一个交点；
（2）m为何值时，函数图像与x轴没有交点；
（3）若函数图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且△ABC的面积为4，求m的值.
22、如图，一次函数y1=kx+1与二次函数y2=ax2+bx﹣2交于A，B两点，且A（1，0）抛物线的对称轴是x=﹣．
（1）求k和a、b的值；
（2）求不等式kx+1＞ax2+bx﹣2的解集．
23、已知二次函数y=2x2﹣8x．
（1）用配方法将y=2x2﹣8x化成y=a（x﹣h）2+k的形式；
（2）求出该二次函数的图象与x轴的交点A，B的坐标（A在B的左侧）；
（3）将该二次函数的图象沿x轴向左平移2个单位，再沿y轴向上平移3个单位，请直接写出得到的新图象的函数表达式．
24、某商场经营某种品牌的玩具,购进时的单价是30元,根据市场调查：在一段时间内,销售单价是40元时,销售量是600件,而销售单价每涨1元,就会少售出10件玩具.
（1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为x元（x
>
40）,请你分别用x的代数式来表示销售量y件和销售该品牌玩具获得利润w元,并把结果填写在表格中：
销售单价（元）

x
销售量y（件）
销售玩具获得利润w（元）
（2）在（1）条件下,若商场获得了10000元销售利润,求该玩具销售单价x应定为多少元？
（3）在（1）条件下,若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元,且商场要完成不少于540件的销售任务,求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？
25、如图，已知抛物线y=-+bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知B点的坐标为B（8，0）.
（1）求抛物线的解析式及其对称轴方程；
（2）连接AC、BC，试判断△AOC与△COB是否相似？并说明理由；
（3）M为抛物线上BC之间的一点，N为线段BC上的一点，若MN∥y轴，求MN的最大值；
（4）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由.
答案部分
一、单选题
1、
【答案】D
2、
【答案】B
3、
【答案】A
4、
【答案】A
5、
【答案】C
6、
【答案】B
7、
【答案】D
8、
【答案】A
9、
【答案】C
10、
【答案】D
11、
【答案】D
12、
【答案】B
13、
【答案】B
14、
【答案】B
15、
【答案】B
二、填空题
16、
【答案】（1，0）
17、
【答案】﹣1或2或1
18、
【答案】﹣3＜x＜1
19、
【答案】
20、
【答案】k≤3，且k≠0
三、解答题
21、
【答案】解：（1）∵函数图象与x轴只有一个交点，
∴△=4m2-4（m-1）2=4m2-4m2+8m-4=0，即m=.
（2）∵函数与x轴没有交点，
∴△=4m2-4（m-1）2=4m2-4m2+8m-4＜0，即m＜.
（3）对于二次函，
令x=0，得到y=m-1，即C（0，m-1），
令y=0，得到（m-1）x2+2mx+m-1=0，
设此方程的两根为a，b，
∴由根与系数的关系得到a+b=，
ab=1，
∴.
∵△ABC的面积为4，
∴AB yC纵坐标=4，即|m-1|×=8，
两边平方得：4m2-4（m-1）2=64，即8m=68，
解得：m=．
22、
【答案】解：（1）把A（1，0）代入一次函数解析式得：k+1=0，解得：k=﹣1，
根据题意得：，
解得：；
（2）解方程组，
解得：或．
则B的坐标是（﹣6，7）．
根据图象可得不等式kx+1＞ax2+bx﹣2的解集是：﹣6＜x＜1．
23、
【答案】解：（1）y=2x2﹣8x=2（x2﹣4x+4﹣4）=2（x﹣2）2﹣8；
（2）在y=2x2﹣8x中令y=0，则2x2﹣8x=0，解得：x1=0，x2=4，
则A的坐标是（0，0），B的坐标是（4，0）；
（3）y=2（x﹣2）2﹣8沿x轴向左平移2个单位，再沿y轴向上平移3个单位后的解析式是：y=2x2﹣5．
24、
【答案】解：（1）
销售单价（元）





x
销售量y（件）

1000-10x
销售玩具获得利润w（元）

-10x2+1300x－30000
（2）-10x2+1300x-30000=10000
解之得：x1=50
x2=80
答：玩具销售单价为50元或80元时,可获得10000元销售利润.
（3）根据题意得,解之得：44≤x≤46
w=-10x2+1300x-30000=-10(x-65)2+12250
∵a=-10<0,对称轴x=65
∴当44≤x≤46时,y随x增大而增大.
∴当x=46时,W最大值=8640（元）
答：商场销售该品牌玩具获得的最大利润为8640元.
25、
【答案】解：（1）∵点B（8，0）在抛物线y=-x2+bx+4上，
∴-×64+8b+4=0，
解得：b=，
∴抛物线的解析式为：y=-x2+x+4，
对称轴为直线：x=-=3；
（2）△AOC∽△COB．
理由如下：令y=0，则-x2+x+4=0，
即x2-6x-16=0，
解得x1=-2，x2=8，
∴点A的坐标为（-2，0），
令x=0，则y=4，
∴点C的坐标为（0，4），
∴OA=2，OB=8，OC=4，
∵==2，∠AOC=∠COB=90°，
∴△AOC∽△COB；
（3）设直线BC的解析式为y=kx+b，
则，
解得，
∴直线BC的解析式为y=-x+4，
∵MN∥y轴，
∴MN=-x2+x+4-（-x+4），
=-x2+x+4+x-4，
=-x2+2x，
=-（x-4）2+4，
∴当x=4时，MN的值最大，最大值为4；
（4）由勾股定理得，AC==2，
过点C作CD⊥对称轴于D，则CD=3，
①AC=CQ时，DQ===，
点Q在点D的上方时，点Q到x轴的距离为4+，
此时点Q1（3，4+），
点Q在点D的下方时，点Q到x轴的距离为4-，
此时点Q2（3，4-），
②点Q为对称轴与x轴的交点时，AQ=5，
CQ==5，
∴AQ=CQ，
此时，点Q3（3，0），
综上所述，点Q的坐标为（3，4+）或（3，4-）或（3，0）时，△ACQ为等腰三角形时．