1.2直角三角形
同步练习
一．选择题（共10小题）
1．下列条件中，能判定两个直角三角形全等的是（ ）
A．一锐角对应相等 B．两锐角对应相等
C．一条边对应相等 D．两条直角边对应相等
2．如图所示，∠C=∠D=90°添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等．
以下给出的条件适合的是（ ）
A．AC=AD B．AB=AB C．∠ABC=∠ABD D．∠BAC=∠BAD21·cn·jy·com
3．如图，△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD和CE交于O，AO的延长线交BC于F，则图中全等的直角三角形有（ ）
A．3对 B．4对 C．5对 D．6对
4．如图，∠AOB=40°，OC平分∠AOB，直尺与OC垂直，则∠1等于（ ）
A．60° B．70° C．50° D．40°
5．如图，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，下列结论错误的是（ ）
A．图中有三个直角三角形 B．∠1=∠2
C．∠1和∠B都是∠A的余角 D．∠2=∠A
6．△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，CD⊥AB于点D，若BC=a，则AD等于（ ）
A． B． C． D．
7．如图，已知∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=10，点M、N在边OB上，PM=PN，若MN=2，则OM的长为（ ）2·1·c·n·j·y
A．2 B．3 C．4 D．5
8．如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D为斜边AC的中点，BD=6cm，则AC的长为（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A．3 B．6 C． D．12
9．如图，BE、CF分别是△ABC的高，M为BC的中点，若EF=10，BC=14，则△EFM的周长是（ ）21教育网
A．17 B．19 C．24 D．34
10．如图，一根长为a的木棍（AB），斜靠在与地面（OM）垂直的墙上，设木棍的中点为P，若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑动，在滑动的过程中OP的长度（ ）21·世纪*教育网
A．减小 B．增大 C．不变 D．先减小再增大
二．填空题（共4小题）
11．如图，AC⊥BC，AD⊥DB，要使△ABC≌△BAD，还需添加条件 ．（只需写出符合条件一种情况）www-2-1-cnjy-com
12．如图，一张长方形纸片，剪去一部分后得到一个三角形，则图中∠1+∠2的度数是 ．
13．如图，∠AOE=∠BOE=15°，EF∥OB，EC⊥OB，若EC=2，则EF= ．
14．如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABCD定点A、B在y轴、x轴上，当B在x轴上运动时，A随之在y轴运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为 ．
三．解答题（共6小题）
15．在直角△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，CD⊥AB于D，CE是△ABC的角平分线．
（1）求∠DCE的度数．
（2）若∠CEF=135°，求证：EF∥BC．
16．已知：如图，在△ABC中，D是BC上的点，AD=AB，E、F分别是AC、BD的中点，AC=6．求EF的长．www.21-cn-jy.com
17．如图，在△ABC中，AB=AC，BC=12，∠BAC=120°，AB的垂直平分线交BC边于点E，AC的垂直平分线交BC边于点N．21世纪教育网版权所有
（1）求△AEN的周长．
（2）求∠EAN的度数．
（3）判断△AEN的形状．
18．如图所示，在△ACB中，∠ACB=90°，∠1=∠B．
（1）求证：CD⊥AB；
（2）如果AC=8，BC=6，AB=10，求CD的长．
19．如图，在△ABC中，CF⊥AB，BE⊥AC，M、N分别是BC、EF的中点，试说明MN⊥EF．
20．如图，在△ABC中，AB=AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于D，CE⊥DE于点E；
（1）若B、C在DE的同侧（如图所示）且AD=CE．求证：AB⊥AC；
（2）若B、C在DE的两侧（如图所示），其他条件不变，AB与AC仍垂直吗？若是请给出证明；若不是，请说明理由．21cnjy.com
1.2直角三角形
同步练习
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．下列条件中，能判定两个直角三角形全等的是（ ）
A．一锐角对应相等 B．两锐角对应相等
C．一条边对应相等 D．两条直角边对应相等
2．如图所示，∠C=∠D=90°添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等．
以下给出的条件适合的是（ ）
A．AC=AD B．AB=AB C．∠ABC=∠ABD D．∠BAC=∠BAD2-1-c-n-j-y
解：需要添加的条件为BC=BD或AC=AD，理由为：
若添加的条件为BC=BD，
在Rt△ABC与Rt△ABD中，
∵，
∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL）；
若添加的条件为AC=AD，
在Rt△ABC与Rt△ABD中，
∵，
∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL）．
故选A．
3．如图，△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD和CE交于O，AO的延长线交BC于F，则图中全等的直角三角形有（ ）
A．3对 B．4对 C．5对 D．6对
解：∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠ADB=∠AEC=90°，
∵AC=AB，
∵∠CAE=∠BAD，
∴△AEC≌△ADB；
∴CE=BD，
∵AC=AB，
∴∠CBE=∠BCD，
∵∠BEC=∠CDB=90°，
∴△BCE≌△CBD；
∴BE=CD，
∴AD=AE，
∵AO=AO，
∴△AOD≌△AOE；
∵∠DOC=∠EOB，
∴△COD≌△BOE；
∴OB=OC，
∵AB=AC，
∴CF=BF，AF⊥BC，
∴△ACF≌△ABF，△COF≌△BOF．
共6对，故选D．
4．如图，∠AOB=40°，OC平分∠AOB，直尺与OC垂直，则∠1等于（ ）
A．60° B．70° C．50° D．40°
解：如图所示：
根据题意得：∠1=∠2=∠3，
∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC=∠AOB=20°，
∴∠3=90°﹣20°=70°，
∴∠1=70°；
故选：B．
5．如图，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，下列结论错误的是（ ）
A．图中有三个直角三角形 B．∠1=∠2
C．∠1和∠B都是∠A的余角 D．∠2=∠A
解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，
∴△ACD∽△CBD∽△ABC．
A、∵图中有三个直角三角形Rt△ACD、Rt△CBD、Rt△ABC；故本选项正确；
B、应为∠1=∠B、∠2=∠A；故本选项错误；
C、∵∠1=∠B、∠2=∠A，而∠B是∠A的余角，∴∠1和∠B都是∠A的余角；故本选项正确；
D、∵∠2=∠A；故本选项正确．
故选B．
6．△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，CD⊥AB于点D，若BC=a，则AD等于（ ）
A． B． C． D．
解：已知△ABC中，∠A：∠B：∠C=l：2：3，
∴∠A=180×=30°，
∠B=180°×=60°，
∠ACB=180°×=90°，
又∵CD⊥AB，
∴在Rt△ABC中，AB=2BC=2a，
∵在直角△BCD中，∠BCD=30°．
∴BD=AB?cosB=BC=a，
则BD=2a﹣a=a．
故选C．
7．如图，已知∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=10，点M、N在边OB上，PM=PN，若MN=2，则OM的长为（ ）21世纪教育网版权所有
A．2 B．3 C．4 D．5
解：作PH⊥MN于H，如图，
∵PM=PN，
∴MH=NH=MN=1，
在Rt△POH中，∵∠POH=60°，
∴∠OPH=30°，
∴OH=OP=×10=5，
∴OM=OH﹣MH=5﹣1=4．
故选C．
8．如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D为斜边AC的中点，BD=6cm，则AC的长为（ ）21教育网
A．3 B．6 C． D．12
解：∵∠ABC=90°，点D为斜边AC的中点，
∴AC=2BD，
∵BD=6cm，
∴AC=12cm，
故选：D．
9．如图，BE、CF分别是△ABC的高，M为BC的中点，若EF=10，BC=14，则△EFM的周长是（ ）21·cn·jy·com
A．17 B．19 C．24 D．34
解：∵BE、CF分别是△ABC的高，M为BC的中点，
∴EM=FM=BC=×14=7，
∴△EFM的周长=EM+FM+EF=7+7+10=24．
故选C．
10．如图，一根长为a的木棍（AB），斜靠在与地面（OM）垂直的墙上，设木棍的中点为P，若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑动，在滑动的过程中OP的长度（ ）www.21-cn-jy.com
A．减小 B．增大 C．不变 D．先减小再增大
解：∵AO⊥BO，点P是AB的中点，
∴OP=AB=×a=a，
∴在滑动的过程中OP的长度不变．
故选C．
二．填空题（共4小题）
11．如图，AC⊥BC，AD⊥DB，要使△ABC≌△BAD，还需添加条件 AC=BD或BC=AD或∠DAB=∠CBA或∠CAB=∠DBA ．（只需写出符合条件一种情况）2·1·c·n·j·y
解：∵AC⊥BC，AD⊥DB，
∴∠C=∠D=90°
∵AB为公共边，要使△ABC≌△BAD
∴添加AC=BD或BC=AD或∠DAB=∠CBA或∠CAB=∠DBA后可分别根据HL、HL、AAS、AAS判定△ABC≌△BAD． 21·世纪*教育网
12．如图，一张长方形纸片，剪去一部分后得到一个三角形，则图中∠1+∠2的度数是 90° ．
解：由题意得，剩下的三角形是直角三角形，
所以，∠1+∠2=90°．
故答案为90°．
13．如图，∠AOE=∠BOE=15°，EF∥OB，EC⊥OB，若EC=2，则EF= 4 ．
解：作EG⊥OA于G，如图所示：
∵EF∥OB，∠AOE=∠BOE=15°
∴∠OEF=∠COE=15°，EG=CE=2，
∵∠AOE=15°，
∴∠EFG=15°+15°=30°，
∴EF=2EG=4．
故答案为：4．
14．如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABCD定点A、B在y轴、x轴上，当B在x轴上运动时，A随之在y轴运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为 +1 ．
解：如图，取AB的中点E，连接OD、OE、DE，
∵∠MON=90°，AB=2，
∴OE=AE=AB=1，
∵BC=1，四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=1，
∴DE===，
根据三角形的三边关系，OD＜OE+DE，
∴当OD过点E是最大，最大值为+1．
故答案为：+1．
三．解答题（共6小题）
15．在直角△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，CD⊥AB于D，CE是△ABC的角平分线．
（1）求∠DCE的度数．
（2）若∠CEF=135°，求证：EF∥BC．
解：∵∠B=30°，CD⊥AB于D，
∴∠DCB=90°﹣∠B=60°．
∵CE平分∠ACB，∠ACB=90°，
∴∠ECB=∠ACB=45°，
∴∠DCE=∠DCB﹣∠ECB=60°﹣45°=15°；
（2）∵∠CEF=135°，∠ECB=∠ACB=45°，
∴∠CEF+∠ECB=180°，
∴EF∥BC．
16．已知：如图，在△ABC中，D是BC上的点，AD=AB，E、F分别是AC、BD的中点，AC=6．求EF的长．【来源：21·世纪·教育·网】
解：连接AF．
∵AB=AD，F是BD的中点，
∴AF⊥BD，
又∵E是AC的中点，
∴EF=AC（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）
∵AC=6，
∴EF=3．
故答案为：3．
17．如图，在△ABC中，AB=AC，BC=12，∠BAC=120°，AB的垂直平分线交BC边于点E，AC的垂直平分线交BC边于点N．www-2-1-cnjy-com
（1）求△AEN的周长．
（2）求∠EAN的度数．
（3）判断△AEN的形状．
解：（1）∵AB的垂直平分线交BC边于点E，AC的垂直平分线交BC边于点N，
∴AE=BE，AN=CN，
∵BC=12，
∴△AEN周长l=AE+EN+EN=BE+EN+NC=BC=12；
（2）∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°，
∵AE=BE，AN=CN，
∴∠BAE=∠CAN=30°，
∴∠EAN=∠BAC﹣∠BAE﹣∠CAN=60°；
（3）∵∠AEN=∠B+∠BAE=60°，∠ANE=∠C+∠CAN=60°，
∴△AEN为等边三角形．
18．如图所示，在△ACB中，∠ACB=90°，∠1=∠B．
（1）求证：CD⊥AB；
（2）如果AC=8，BC=6，AB=10，求CD的长．
（1）证明：∵∠ACB=90°，
∴∠1+∠BCD=90°，
∵∠1=∠B，
∴∠B+∠BCD=90°，
∴∠BDC=90°，
∴CD⊥AB；
（2）解：∵S△ABC=AB?CD=AC?BC，
∴CD===4.8．
19．如图，在△ABC中，CF⊥AB，BE⊥AC，M、N分别是BC、EF的中点，试说明MN⊥EF．
证明：连接MF、ME，
∵CF⊥AB，在Rt△BFC中，M是BC的中点，
∴MF=BC（斜边中线等于斜边一半），
同理ME=BC，
∴ME=MF，
∵N是EF的中点，
∴MN⊥EF．
20．如图，在△ABC中，AB=AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于D，CE⊥DE于点E；
（1）若B、C在DE的同侧（如图所示）且AD=CE．求证：AB⊥AC；
（2）若B、C在DE的两侧（如图所示），其他条件不变，AB与AC仍垂直吗？若是请给出证明；若不是，请说明理由．21cnjy.com
（2）AB⊥AC．理由如下：
同（1）一样可证得Rt△ABD≌Rt△ACE．
∴∠DAB=∠ECA，∠DBA=∠EAC，
∵∠CAE+∠ECA=90°，
∴∠CAE+∠BAD=90°，即∠BAC=90°，
∴AB⊥AC．
