13.2.2三角形全等的判定 边角边 达标检测AB卷
A卷基础达标
题组一找全等三角形的对应元素与全等三角形的性质
1.如图所示,图中两个三角形能完全重合,下列写法正确的是 ( )
A.△ABE≌△AFB
B.△ABE≌△ABF
C.△ABE≌△FBA
D.△ABE≌△FAB
2.如图,△ABC≌△CDA,∠BAC=∠DCA,则BC的对应边是 ( )
A.CD B.CA C.DA D.AB
3.如果△ABC≌△DEF,且△ABC的周长为100cm,A,B分别与D,E对应,AB=30cm,DF=25cm,则BC的长为 ( )21cnjy.com
A.45cm B.55cm C.30cm D.25cm
4已知△ABC与△DEF全等,∠A=∠D=70°,∠B=60°,则∠F的度数是 ( )
A.50° B.60° C.60°或50° D.70°或50°
5.如图,将长方形ABCD沿AE折叠,使点D落在BC边上的F处,如果AD=9cm,DE=2.4cm,∠BAF=60°,则AF= cm,EF= cm,∠DAE= .2·1·c·n·j·y
6.如图所示,△ABC≌△EDA,∠BAC与∠DEA是对应角,AB与ED是对应边,写出其他对应边及对应角.2-1-c-n-j-y
7.如图,已知△ACE≌△DBF,点A,B,C,D在同一条直线上,AE=DF,CE=BF,AD=8,21教育网
BC=2.
(1)求AC的长.
(2)求证:CE∥BF.
【变式训练】已知△DEF≌△ABC,AB=AC,且△ABC的周长为23cm,BC=4cm,则△DEF的三条边中,其中一条边边长等于多少?
题组二用S.A.S.证明三角形全等
1.下图中全等的三角形有 ( )
A.图1和图2 B.图2和图3
C.图2和图4 D.图1和图3
2.如图,AB=AC,AD=AE,欲证△ABD≌△ACE,可补充条件 ( )
A.∠1=∠2
B.∠B=∠C
C.∠D=∠E
D.∠BAE=∠CAD
【变式训练】如图,AB平分∠DAC,要用S.A.S.条件确定△ABC≌△ABD,还需要有条件( )www-2-1-cnjy-com
A.DB=CB
B.∠ABC=∠ABD
C.AD=AC
D.∠D=∠C
3.如图所示,AA′,BB′表示两根长度相同的木条,若O是AA′,BB′的中点,经测量AB=9cm,则容器的内径A′B′的长是 cm.
【变式训练】某大学计划为新生配备如图1所示的折叠凳.图2是折叠凳撑开后的侧面示意图(木条等材料宽度忽略不计),其中凳腿AB和CD的长相等,O是它们的中点.为了使折叠凳坐着舒适,厂家将撑开后的折叠凳宽度AD设计为30cm,则由以上信息可推得CB的长度是多少?21·世纪*教育网
4.已知AB∥DE,AB=DE,D,C在AF上,且AD=CF.
求证:△ABC≌△DEF.
5.如图,已知△ABC中,AD⊥BC于D,AD=BD,DC=DE,∠C=50°.求∠EBD的度数.
6.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D,F分别在AB,AC上,CF=CB.连接CD,将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE,连接EF.
(1)求证:△BCD≌△FCE.
(2)若EF∥CD.求∠BDC的度数.
【鉴前毖后】已知AD平分∠BAC,AB=AC,BD,CD的延长线交AC,AB于F,E.求证:∠ADE=∠ADF.21·cn·jy·com
(1)错因:____________________________.
(2)纠错:__________________________________________________
___________________________________________________________
___________________________________________________________
___________________________________________________________
___________________________________________________________
___________________________________________________________
B卷能力达标
(测试时间30分钟 试题总分50分)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.如图,△ABC≌△AEF,AB=AE,∠B=∠E,有以下结论:①AC=AE;
②∠FAB=∠EAB;③EF=BC;
④∠EAF=∠BAC,其中正确的个数是 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.如图,已知点A,D,C,F在同一条直线上,AB=DE,BC=EF,要使△ABC≌△DEF,还需要添加一个条件是 ( )www.21-cn-jy.com
A.∠BCA=∠F B.∠B=∠E
C.BC∥EF D.∠A=∠EDF
3.如图,E,F在线段BC上,AB=DC,AE=DF,BF=CE.下列问题不一定成立的是
( )
A.∠B=∠C B.AF∥DE
C.AE=DE D.AB∥DC
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.如图,AD⊥BC,垂足为D,且BD=DC,延长BA至点E,若∠B=46°,则∠CAE等于 °.【来源：21·世纪·教育·网】
5.如图为6个边长相等的正方形的组合图形,则
∠1+∠2+∠3= °.
6.在△ABC中,AB=5,AC=3,AD是BC边上的中线,则AD的取值范围是 .
三、解答题(共26分)
7.(8分)如图,点E,F在BC上,BE=FC,AB=DC,∠B=∠C,求证:∠A=∠D.
8.(8分)如图所示,在有公共顶点的△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,且∠CAB=
∠EAD.
求证:CE=BD.
【培优训练】9.(10分)如图①,正方形ABCD的边AB,AD分别在等腰直角△AEF的腰AE,AF上,点C在△AEF内,则有DF=BE(不必证明).将正方形ABCD绕点A逆时针旋转一定角度α(0°<α<90°)后,连结BE,DF.请在图②中用实线补全图形,这时DF=BE还成立吗?请说明理由.21世纪教育网版权所有
13.2.2三角形全等的判定 边角边 达标检测AB卷
A卷基础达标
题组一找全等三角形的对应元素与全等三角形的性质
1.如图所示,图中两个三角形能完全重合,下列写法正确的是 ( )
A.△ABE≌△AFB
B.△ABE≌△ABF
C.△ABE≌△FBA
D.△ABE≌△FAB
【解析】选B.由图形知,点B的对应点是本身,点A的对应点也是本身,点E的对应点是F,因为记三角形全等时,对应点的位置应对应,故选B.【版权所有：21教育】
2.如图,△ABC≌△CDA,∠BAC=∠DCA,则BC的对应边是 ( )
A.CD B.CA C.DA D.AB
【解析】选C.从图形易知,BC与DA都是两个三角形中最大的边,故BC的对应边是DA.
3.如果△ABC≌△DEF,且△ABC的周长为100cm,A,B分别与D,E对应,AB=30cm,DF=25cm,则BC的长为 ( )21教育名师原创作品
A.45cm B.55cm C.30cm D.25cm
【解析】选A.由三角形全等的性质可知AC=DF=25cm,∴BC=100-30-25=45cm.
4已知△ABC与△DEF全等,∠A=∠D=70°,∠B=60°,则∠F的度数是 ( )
A.50° B.60° C.60°或50° D.70°或50°
【解析】选C.∵∠A=70°,∠B=60°,∴∠C=180°-∠A-∠B=50°,若△ABC≌
△DEF,则有∠F=∠C=50°;若△ABC≌△DFE,则有∠F=∠B=60°,∴∠F的度数是60°或50°.
5.如图,将长方形ABCD沿AE折叠,使点D落在BC边上的F处,如果AD=9cm,DE=2.4cm,∠BAF=60°,则AF= cm,EF= cm,
∠DAE= .
【解析】在长方形ABCD中,∠BAD=90°.
∵△ADE沿AE折叠得到△AFE,∴△ADE≌△AFE.
∴AF=AD=9cm,EF=DE=2.4cm,∠DAE=∠FAE.
又∵∠BAF=60°,
∴∠FAD=∠BAD-∠BAF=90°-60°=30°.
∴∠DAE=∠FAE=∠FAD=×30°=15°.
答案:9 2.4 15°
【知识归纳】图形折叠类问题解题要点
1.图形折叠前后的图形是全等形,所以符合全等三角形的性质,即对应边相等、对应角相等.
2.找对应边与对应角时应该从对称的角度考虑.
6.如图所示,△ABC≌△EDA,∠BAC与∠DEA是对应角,AB与ED是对应边,写出其他对应边及对应角.www.21-cn-jy.com
【解析】因为∠BAC与∠DEA是对应角,所以BC与DA是对应边.
又因为AB与ED是对应边,
所以∠ACB与∠EAD是对应角,
所以AC与EA是对应边,∠ADE与∠CBA是对应角.
7.如图,已知△ACE≌△DBF,点A,B,C,D在同一条直线上,AE=DF,CE=BF,AD=8,21*cnjy*com
BC=2.
(1)求AC的长.
(2)求证:CE∥BF.
【解析】(1)∵△ACE≌△DBF,
∴AC=DB,
∵AC+DB=AD+BC=8+2=10,∴AC=5.
(2)∵△ACE≌△DBF,∴∠ACE=∠DBF,∴CE∥BF.
【变式训练】已知△DEF≌△ABC,AB=AC,且△ABC的周长为23cm,BC=4cm,则△DEF的三条边中,其中一条边边长等于多少?
【解析】△ABC的周长为23cm,
BC=4cm,AB=AC,
则AB=AC==9.5(cm),
又因为全等三角形的对应边相等,
因而△DEF的边中必有一条边等于4cm或9.5cm.
【易错警示】全等三角形的对应边相等,因为对应边长度不确定,所以本题很容易漏掉一个解,做题时,加强注意.
题组二用S.A.S.证明三角形全等
1.下图中全等的三角形有 ( )
A.图1和图2 B.图2和图3
C.图2和图4 D.图1和图3
【解析】选D.从图中可以看到图1和图3符合S.A.S.定理.
2.如图,AB=AC,AD=AE,欲证△ABD≌△ACE,可补充条件 ( )
A.∠1=∠2
B.∠B=∠C
C.∠D=∠E
D.∠BAE=∠CAD
【解析】选A.由∠1=∠2,可得∠CAE=∠BAD,故可用“S.A.S.”证△ABD≌△ACE.
【变式训练】如图,AB平分∠DAC,要用S.A.S.条件确定△ABC≌△ABD,还需要有条件( )21·cn·jy·com
A.DB=CB
B.∠ABC=∠ABD
C.AD=AC
D.∠D=∠C
【解析】选C.由题意可得,
∵在△CAB和△DAB中,
∵AC=AD,∠CAB=∠DAB,AB=AB,
∴△CAB≌△DAB(S.A.S.),选项C正确.
3.如图所示,AA′,BB′表示两根长度相同的木条,若O是AA′,BB′的中点,经测量AB=9cm,则容器的内径A′B′的长是 cm.
【解题指南】关键是要先证明△AOB≌△A′OB′,然后利用全等的性质求解.
【解析】由题意知:在△AOB和△A′OB′中,
∵OA=OA′,∠AOB=∠A′OB′,OB=OB′,
∴△AOB≌△A′OB′(S.A.S.),
∴A′B′=AB=9cm.
答案:9
【变式训练】某大学计划为新生配备如图1所示的折叠凳.图2是折叠凳撑开后的侧面示意图(木条等材料宽度忽略不计),其中凳腿AB和CD的长相等,O是它们的中点.为了使折叠凳坐着舒适,厂家将撑开后的折叠凳宽度AD设计为30cm,则由以上信息可推得CB的长度是多少?【来源：21·世纪·教育·网】
【解析】∵O是AB,CD的中点,
∴OA=OB,OD = OC,
在△AOD和△BOC中,
∵OA=OB,∠AOD=∠BOC,OD=OC,
∴△AOD≌△BOC(S.A.S.),∴CB=AD,
∵AD=30cm,∴CB=30cm.
4.已知AB∥DE,AB=DE,D,C在AF上,且AD=CF.
求证:△ABC≌△DEF.
【证明】∵AD=CF,∴AD+CD=CF+CD,即AC=DF,
∵AB∥DE,∴∠A=∠EDF,
在△ABC和△DEF中,∵AB=DE,∠A=∠EDF,AC=DF,
∴△ABC≌△DEF(S.A.S.).
5.如图,已知△ABC中,AD⊥BC于D,AD=BD,DC=DE,∠C=50°.求∠EBD的度数.
【解析】∵AD⊥BC于点D,
∴∠BDA=∠ADC=90°.
在△BDE和△ADC中,
∵BD=AD,∠BDA=∠ADC,DE=DC,
∴△BDE≌△ADC(S.A.S.),
∴∠EBD =∠CAD=180°-∠C-∠ADC=40°.
6.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D,F分别在AB,AC上,CF=CB.连接CD,将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE,连接EF.
(1)求证:△BCD≌△FCE.
(2)若EF∥CD.求∠BDC的度数.
【解析】(1)∵CD绕点C顺时针方向旋转90°得CE,∴CD=CE,∠DCE=90°.
∵∠ACB=90°,
∴∠BCD=90°-∠ACD=∠FCE.在△BCD和△FCE中,
∵CB=CF,∠BCD=∠FCE,CD=CE,∴△BCD≌△FCE.
(2)由△BCD≌△FCE得∠BDC=∠E.∵EF∥CD,
∴∠E=180°-∠DCE=90°,∴∠BDC=90°.
【鉴前毖后】
已知AD平分∠BAC,AB=AC,BD,CD的延长线交AC,AB于F,E.求证:∠ADE=∠ADF.www-2-1-cnjy-com
(1)错因:____________________________.
(2)纠错:__________________________________________________
___________________________________________________________
___________________________________________________________
___________________________________________________________
___________________________________________________________
___________________________________________________________
答案: (1)所列条件与所证全等三角形不对应.
(2)在△ABD和△ACD中,
∵AB=AC,∠BAD=∠CAD,AD=AD,?
∴△ABD≌△ACD(SAS),
∴∠ADB=∠ADC,
又∵∠EDB=∠FDC,
B卷能力达标
(测试时间30分钟 试题总分50分)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.如图,△ABC≌△AEF,AB=AE,∠B=∠E,有以下结论:①AC=AE;
②∠FAB=∠EAB;③EF=BC;
④∠EAF=∠BAC,其中正确的个数是 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【解析】选B.由∠B=∠E,知AC与AF是对应边,AC=AF,故①不正确;∠FAB与
∠EAB不是全等三角形中的角,不能判断二者的相等关系;故②不正确;③是两个全等三角形的对应边,④是两个全等三角形的对应角,故③④正确.2-1-c-n-j-y
2.如图,已知点A,D,C,F在同一条直线上,AB=DE,BC=EF,要使△ABC≌△DEF,还需要添加一个条件是 ( )21·世纪*教育网
A.∠BCA=∠F B.∠B=∠E
C.BC∥EF D.∠A=∠EDF
【解析】选B.只有选项B符合S.A.S.,其他选项都是S.S.A.不能判定全等.
3.如图,E,F在线段BC上,AB=DC,AE=DF,BF=CE.下列问题不一定成立的是
( )
A.∠B=∠C B.AF∥DE
C.AE=DE D.AB∥DC
【解析】选C.∵BF=CE,
∴BF+EF=CE+EF,即BE=CF.
又∵AB=DC,AE=DF,∴△AEB≌△DFC,
∴∠B=∠C,故A成立;
∴AB∥DC,故D成立;
∵AB=CD,∠B=∠C,BF=CE,∴△ABF≌△DCE,
∴∠AFB=∠DEC,∴∠AFC=∠DEB,
∴AF∥DE,故B成立;无法证明AE=DE.
【易错警示】应用S.A.S.定理时,两个三角形中的边角关系必须是两边及其夹角分别相等,才能判定两个三角形全等.如果有两条边和其中一边的对角分别相等,无法判定两个三角形全等.21世纪教育网版权所有
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.如图,AD⊥BC,垂足为D,且BD=DC,延长BA至点E,若∠B=46°,则∠CAE等于 °.21cnjy.com
【解析】在△ABD和△ACD中,
∵BD=CD,∠BDA=∠CDA=90°,DA=DA,
∴△ABD≌△ACD(S.A.S.),∴∠BAD=∠CAD.
又∵∠B=46°,∠BDA=90°,
∴∠BAD=∠CAD=90°-46°=44°,
∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=88°,
∴∠CAE=180°-88°=92°.
答案:92
5.如图为6个边长相等的正方形的组合图形,则
∠1+∠2+∠3= °.
【解析】由S.A.S.易证△ABC≌△BDE,
∴∠1=∠4,
∵∠3+∠4=90°,
∴∠1+∠3=90°,
又∵∠2=45°,∴∠1+∠2+∠3=135°.
答案:135
6.在△ABC中,AB=5,AC=3,AD是BC边上的中线,则AD的取值范围是 .
【解析】如图,延长AD至点E使DE=AD,连接CE,∵AD是BC边上的中线,∴BD=CD,
在△ABD和△ECD中,
∵BD=CD,
∠ADB=∠EDC,
AD=ED,
∴△ABD≌△ECD(S.A.S.),
∴EC=AB=5.
在△ACE中,EC-AC
即5-3<2AD<3+5.∴1答案:1【方法技巧】应用转化思想,实现边的转移
延长三角形一边的中线,利用全等,可实现边的转移,把不是一个三角形三边的三条线段转化到一个三角形中,再利用三角形的三边关系解决问题.21教育网
三、解答题(共26分)
7.(8分)如图,点E,F在BC上,BE=FC,AB=DC,∠B=∠C,求证:∠A=∠D.
【证明】∵BE=FC,∴BE+EF=FC+EF,
∴BF=CE,在△ABF和△DCE中,
∵BF=CE,∠B=∠C,AB=DC,
∴△ABF≌△DCE.(S.A.S.),∴∠A=∠D.
【知识归纳】挖掘证明三角形全等的隐含条件
在证明三角形全等的题目中,给出的条件有些不能直接利用.这就需要我们认真审题和读图,善于把隐含的条件找出来.例如,给出了平行就间接告诉了角的关系,再比如2·1·c·n·j·y
图(1)中,若已知AB=CD,则隐含着AC=BD;图(2)中,若已知∠AOB=∠COD,则隐含着∠AOC=∠BOD.21*cnjy*com
8.(8分)如图所示,在有公共顶点的△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,且∠CAB=
∠EAD.
求证:CE=BD.
【证明】∵∠CAB=∠EAD,
∴∠CAB-∠EAB=∠EAD-∠EAB,
即∠CAE=∠BAD.
在△CAE和△BAD中,
∵AC=AB,∠CAE=∠BAD,AE=AD,
∴△CAE≌△BAD(S.A.S.),∴CE=BD.
【互动探究】若将△ADE绕A点沿逆时针方向旋转,当旋转到点C,E,D在同一条直线上时,如图所示,则题目中的结论是否成立?如果结论成立,请证明;如果不成立,请说明理由.【来源：21cnj*y.co*m】
提示:当旋转到点C,E,D在一条直线上时,题目中结论CE=BD仍然成立.证明同上.
【培优训练】9.(10分)如图①,正方形ABCD的边AB,AD分别在等腰直角△AEF的腰AE,AF上,点C在△AEF内,则有DF=BE(不必证明).将正方形ABCD绕点A逆时针旋转一定角度α(0°<α<90°)后,连结BE,DF.请在图②中用实线补全图形,这时DF=BE还成立吗?请说明理由.【出处：21教育名师】
【解析】题干图②用实线补全后如图,此时DF=BE还成立.
理由:∵正方形ABCD绕点A逆时针旋转一定角度α,
∴∠FAD=∠EAB,
在△ADF与△ABE中,
∵AF=AE,∠FAD=∠EAB,AD=AB,
∴△ADF≌△ABE(S.A.S.),∴DF=BE.
