陕西省延安市实验中学大学区校际联盟2016-2017学年高一（上）期末数学试卷（b卷）（解析版）

2016-2017学年陕西省延安市实验中学大学区校际联盟高一（上）期末数学试卷（B卷）
　
一、选择题（共10小题，每小题4分，共计40分）
1．将一个直角三角形绕斜边所在的直线旋转一周，所得的几何体包括（　　）
A．一个圆台
B．一个圆锥
C．一个圆柱
D．两个圆锥
2．直线AB的倾斜角为45°，则直线AB的斜率等于（　　）
A．1
B．﹣1
C．5
D．﹣5
3．直线x﹣y+2=0与x﹣y+1=0的位置关系是（　　）
A．平行
B．垂直
C．相交
D．重合
4．下列说法中，正确的是（　　）
A．经过不同的三点有且只有一个平面
B．分别在两个平面内的两条直线是异面直线
C．垂直于同一个平面的两条直线平行
D．垂直于同一个平面的两个平面平行
5．以（﹣1，2）为圆心，为半径的圆的方程为（　　）
A．x2+y2﹣2x+4y=0
B．x2+y2+2x+4y=0
C．x2+y2+2x﹣4y=0
D．x2+y2﹣2x﹣4y=0
6．如图所示，是一个正方体的表面展开图，则图中“2”所对的面是（　　）
A．1
B．7
C．快
D．乐
7．点P（x，y）在直线2x﹣y+5=0上，O为原点，则|OP|的最小值为（　　）
A．
B．
C．2
D．2
8．已知直线m、n和平面α、β，若α⊥β，α∩β=m，n α，要使n⊥β，则应增加的条件是（　　）
A．m∥n
B．n⊥m
C．n∥α
D．n⊥α
9．若直线2x+y+a=0与圆x2+y2+2x﹣4y=0相切，则a的值为（　　）
A．±
B．±5
C．3
D．±3
10．如图a∥α，A是α的另一侧的点，B，C，D∈a，线段AB，AC，AD交α于E，F，G，若BD=4，AB=9，AE=5，则EG=（　　）
A．5
B．
C．3
D．
　
二、填空题（共4小题，每小题3分，共计12分）
11．已知两条直线y=ax﹣2和y=2x+1互相垂直，则a=　　．
12．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线AD1，B1C所成的角的度数为　　．
13．已知用斜二测画法画得的正方形的直观图的面积为，那么原正方形的面积为　　．
14．直线x﹣2y+2m=0与坐标轴围成的三角形的面积不小于1，则实数m的取值范围为　　．
　
三、解答题（本大题共有5小题，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
15．已知过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1=0平行，则m的值为　　．
16．设直线x﹣my﹣1=0与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4相交于A，B两点，且弦AB的长为，则实数m的值是　　．
17．已知E、F、G、H为空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上的点，且EH∥FG．求证：
（1）EH∥面BCD；
（2）EH∥BD．
18．已知直线2x+y﹣5=0与x﹣2y=0交于点P，直线l：3x﹣y﹣7=0．求：
（1）过点P与直线l平行的直线方程；
（2）过点P与直线l垂直的直线方程．
19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F分别是AP、AD的中点．求证：
（Ⅰ）直线EF∥平面PCD；
（Ⅱ）平面BEF⊥平面PAD．
　
2016-2017学年陕西省延安市实验中学大学区校际联盟高一（上）期末数学试卷（B卷）
参考答案与试题解析
　
一、选择题（共10小题，每小题4分，共计40分）
1．将一个直角三角形绕斜边所在的直线旋转一周，所得的几何体包括（　　）
A．一个圆台
B．一个圆锥
C．一个圆柱
D．两个圆锥
【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．
【分析】根据圆锥的几何特征，可得答案．
【解答】解：将一个直角三角形绕斜边所在的直线旋转一周，
所得的几何体是两个底面重合的圆锥，
故选：D
　
2．直线AB的倾斜角为45°，则直线AB的斜率等于（　　）
A．1
B．﹣1
C．5
D．﹣5
【考点】直线的斜率．
【分析】直接由斜率等于倾斜角的正切值得答案．
【解答】解：∵直线的倾斜角为45°，
∴该直线的斜率k=tan45°=1．
故选：A．
　
3．直线x﹣y+2=0与x﹣y+1=0的位置关系是（　　）
A．平行
B．垂直
C．相交
D．重合
【考点】直线的一般式方程．
【分析】化为斜截式即可得出．
【解答】解：直线x﹣y+2=0与x﹣y+1=0分别化为：y=x+2，y=x+1，
∴两条直线斜率都为1，而截距2≠1，
∴两条直线平行．
故选：A．
　
4．下列说法中，正确的是（　　）
A．经过不同的三点有且只有一个平面
B．分别在两个平面内的两条直线是异面直线
C．垂直于同一个平面的两条直线平行
D．垂直于同一个平面的两个平面平行
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．
【分析】A，经过不共线的三点有且只有一个平面；
B，分别在两个平面内的两条直线可能平行、相交；
C，垂直于同一个平面的两条直线平行；
D，垂直于同一个平面的两个平面平行或相交；
【解答】解：对于A，经过不共线的三点有且只有一个平面，故错；
对于B，分别在两个平面内的两条直线可能平行、相交，故错；
对于C，垂直于同一个平面的两条直线平行，正确；
对于D，垂直于同一个平面的两个平面平行或相交，故错；
故选：C
　
5．以（﹣1，2）为圆心，为半径的圆的方程为（　　）
A．x2+y2﹣2x+4y=0
B．x2+y2+2x+4y=0
C．x2+y2+2x﹣4y=0
D．x2+y2﹣2x﹣4y=0
【考点】圆的一般方程．
【分析】由圆心的坐标和半径写出圆的标准方程，再化为一般方程即可．
【解答】解：由圆心坐标为（﹣1，2），半径r=，
则圆的标准方程为：（x+1）2+（y﹣2）2=5，
化为一般方程为：x2+y2+2x﹣4y=0．
故选C．
　
6．如图所示，是一个正方体的表面展开图，则图中“2”所对的面是（　　）
A．1
B．7
C．快
D．乐
【考点】棱柱的结构特征．
【分析】根据已知中的正方体表面展开图，分析出三组相对的面，可得答案．
【解答】解：由已知中的正方体表面展开图可得：
2和7对面，0和快对面，1和乐对面，
故选：B
　
7．点P（x，y）在直线2x﹣y+5=0上，O为原点，则|OP|的最小值为（　　）
A．
B．
C．2
D．2
【考点】点到直线的距离公式．
【分析】求|OP|的最小值转化为原点O到直线的距离即可．
【解答】解：|OP|的最小值为原点O到直线的距离d==．
故选A．
　
8．已知直线m、n和平面α、β，若α⊥β，α∩β=m，n α，要使n⊥β，则应增加的条件是（　　）
A．m∥n
B．n⊥m
C．n∥α
D．n⊥α
【考点】直线与平面垂直的判定．
【分析】利用直线与平面垂直的性质定理，直接得到选项即可．
【解答】解：由直线与平面垂直的性质定理可知，要使n⊥β，
只需在已知直线m、n和平面α、β，若α⊥β，α∩β=m，n α，则应增加的条件n⊥m，
故选B．
　
9．若直线2x+y+a=0与圆x2+y2+2x﹣4y=0相切，则a的值为（　　）
A．±
B．±5
C．3
D．±3
【考点】圆的切线方程．
【分析】求出圆的圆心与半径，利用直线与圆相切，列出方程求解即可．
【解答】解：圆的方程可化为（x+1）2+（y﹣2）2=5，因为直线与圆相切，所以有=，即a=±5．
故选：B．
　
10．如图a∥α，A是α的另一侧的点，B，C，D∈a，线段AB，AC，AD交α于E，F，G，若BD=4，AB=9，AE=5，则EG=（　　）
A．5
B．
C．3
D．
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．
【分析】由a∥α，平面α∩平面ABD=EG，得BD∥EG，从而得到EG=．
【解答】解：∵a∥α，平面α∩平面ABD=EG，
∴a∥EG，即BD∥EG，
，
故选：D．
　
二、填空题（共4小题，每小题3分，共计12分）
11．已知两条直线y=ax﹣2和y=2x+1互相垂直，则a=　　．
【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．
【分析】先求出求出两直线的斜率，利用两直线垂直，斜率之积等于﹣1
求得a值．
【解答】解：直线y=ax﹣2的斜率等于a，y=2x+1
的斜率为2，
∵两条直线y=ax﹣2和y=2x+1互相垂直，
∴2a=﹣1，∴a=．
故答案为．
　
12．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线AD1，B1C所成的角的度数为　90°　．
【考点】异面直线及其所成的角．
【分析】如图所示，连接A1D，由正方体的性质可得：A1D∥B1C，A1D⊥AD1．即可得出．
【解答】解：如图所示，连接A1D，由正方体的性质可得：A1D∥B1C，A1D⊥AD1．
∴异面直线AD1，B1C所成的角的度数为90°．
故答案为：90°．
　
13．已知用斜二测画法画得的正方形的直观图的面积为，那么原正方形的面积为　72　．
【考点】斜二测法画直观图．
【分析】根据斜二测画法的原则得到直观图的对应边长关系，即可求出相应的面积．
【解答】解：设原正方形的边长为a，
根据斜二测画法的原则可知O'C'=a，
O'A'=，
高，
∴对应直观图的面积为，
即a2=72，
故原正方形的面积为72，
故答案为：72．
　
14．直线x﹣2y+2m=0与坐标轴围成的三角形的面积不小于1，则实数m的取值范围为　（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）　．
【考点】直线的一般式方程．
【分析】由直线x﹣2y+2m=0，可得与坐标轴的交点（﹣2m，0），（0，m），根据与坐标轴围成的三角形的面积不小于1，可得≥1，解得m范围．
【解答】解：由直线x﹣2y+2m=0，可得与坐标轴的交点（﹣2m，0），（0，m），
∵与坐标轴围成的三角形的面积不小于1，∴≥1，解得m≤﹣1或m≥1．
故答案为：（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）．
　
三、解答题（本大题共有5小题，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
15．已知过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1=0平行，则m的值为　﹣8　．
【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．
【分析】因为过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1=0平行，所以，两直线的斜率相等．
【解答】解：∵直线2x+y﹣1=0的斜率等于﹣2，
∴过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线的斜率k也是﹣2，
∴解得：m=﹣8
故答案为：﹣8
　
16．设直线x﹣my﹣1=0与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4相交于A，B两点，且弦AB的长为，则实数m的值是　　．
【考点】直线与圆相交的性质．
【分析】由圆的标准方程找出圆心坐标和半径r，然后利用点到直线的距离公式表示出圆心到已知直线的距离d，再由弦AB的长，利用垂径定理及勾股定理列出关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值．
【解答】解：由圆的方程（x﹣1）2+（y﹣2）2=4，得到圆心坐标为（1，2），半径r=2，
∵圆心到直线x﹣my﹣1=0的距离d=，又|AB|=2，
∴r2=d2+（）2，即4=+3，
整理后得到3m2=1，解得：m=±．
故答案为：±
　
17．已知E、F、G、H为空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上的点，且EH∥FG．求证：
（1）EH∥面BCD；
（2）EH∥BD．
【考点】直线与平面平行的判定；空间中直线与直线之间的位置关系．
【分析】（1）根据线面平行的判定定理得出；
（2）根据线面平行的性质定理得出．
【解答】证明：（1）∵EH∥FG，EH 平面BCD，FG 平面BCD，
∴EH∥平面BCD．
（2）∵EH∥平面BCD，EH 平面ABD，平面ABD∩平面BCD=BD，
∴EH∥BD．
　
18．已知直线2x+y﹣5=0与x﹣2y=0交于点P，直线l：3x﹣y﹣7=0．求：
（1）过点P与直线l平行的直线方程；
（2）过点P与直线l垂直的直线方程．
【考点】直线的一般式方程．
【分析】（1）联立，可得交点P（2，1）．设过点P与直线l平行的直线方程为：3x﹣y+m=0．把点P（2，1）代入解得m．
（2）过点P与直线l垂直的直线方程为：x+3y+n=0，把点P（2，1）代入解得n．
【解答】解：（1）联立，解得，可得交点P（2，1）．
设过点P与直线l平行的直线方程为：3x﹣y+m=0．
把点P（2，1）代入可得：6﹣1+m=0，解得m=﹣5．
∴过点P与直线l平行的直线方程为3x﹣y﹣5=0．
（2）过点P与直线l垂直的直线方程为：x+3y+n=0，
把点P（2，1）代入可得：2+3+n=0，解得n=﹣5．
∴过点P与直线l垂直的直线方程为：x+3y﹣5=0．
　
19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F分别是AP、AD的中点．求证：
（Ⅰ）直线EF∥平面PCD；
（Ⅱ）平面BEF⊥平面PAD．
【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．
【分析】（Ⅰ）由已知得EF∥PD，由此能证明直线EF∥平面PCD．
（Ⅱ）连结DB，则△ABD为正三角形，BF⊥AD，从而BF⊥平面PAD，由此能证明平面BEF⊥平面PAD．
【解答】证明：（Ⅰ）在△PAD中，∵，E、F分别是AP、AD的中点，
∴EF∥PD，
又∵EF 平面PCD，PD 平面PCD，
∴直线EF∥平面PCD．
（Ⅱ）连结DB，∵AB=AD，∠BAD=60°，
∴△ABD为正三角形，
∵F是AD的中点，∴BF⊥AD，
∵平面PAD⊥平面ABCD，
BF 平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴BF⊥平面PAD，
又∵BF 平面BEF，∴平面BEF⊥平面PAD．
　
2017年2月16日