17.2勾股定理的逆定理
同步练习
一．选择题（共10小题）
1．如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC的形状为（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．以上答案都不对
2．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且（a+b）（a﹣b）=c2，则（ ）
A．∠A为直角 B．∠C为直角
C．∠B为直角 D．不是直角三角形
3．一艘轮船和一艘渔船同时沿各自的航向从港口O出发，如图所示，轮船从港口O沿北偏西20°的方向行60海里到达点M处，同一时刻渔船已航行到与港口O相距80海里的点N处，若M、N两点相距100海里，则∠NOF的度数为（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
4．在下列条件中：①∠A+∠B=∠C，②∠A：∠B：∠C=1：2：3，③∠A=90°﹣∠B，④∠A=∠B=∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2m，梯子的顶端B到地面的距离为7m，现将梯子的底端A向外移动到A′，使梯子的底端A′到墙根O的距离等于3m，同时梯子的顶端B下降至B′，那么BB′（ ）
A．小于1m B．大于1m C．等于1m D．小于或等于1m
6．下列各组数中不是勾股数的是（ ）
A．3，4，5 B．4，5，6 C．5，12，13 D．6，8，10
7．如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面5m处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部12m处，旗杆折断之前的高度是（ ）21世纪教育网版权所有
A．5m B．12m C．13m D．18m
8．如图，有两棵树，一棵树高8m，另一棵树高3m，两树相距12m．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（ ）
A．12m B．14m C．13m D．15m
9．如图为某楼梯，测得楼梯的长为5米，高3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要多米？（ ）21cnjy.com
A．4 B．8 C．9 D．7
10．已知a=3，b=4，若a，b，c能组成直角三角形，则c=（ ）
A．5 B． C．5或 D．5或6
二．填空题（共4小题）
11．如图，AD=8，CD=6，∠ADC=90°，AB=26，BC=24，该图形的面积等于 ．
12．如图，在一根长90cm的灯管上，缠满了彩色丝带，已知可近似地将灯管看作圆柱体，且底面周长为4cm，彩色丝带均匀地缠绕了30圈，则彩色丝带的总长度为 ．21·cn·jy·com
13．我们把符合等式a2+b2=c2 的a、b、c三个称为勾股数．现请你用计算器验证下列各组的数是否勾股数．你能发现其中规律吗？请完成下列空格．
3，4，5；
5，12，13；
7，24，25；
9，40，41；
11， ， ；…
14．如图，有一个长为50cm，宽为30cm，高为40cm的长方体木箱，一根长70cm的木棍 放入（填“能”或“不能”）．www.21-cn-jy.com
三．解答题（共6小题）
15．已知a、b、c满足|a﹣|++（c﹣4）2=0．
（1）求a、b、c的值；
（2）判断以a、b、c为边能否构成三角形？若能构成三角形，此三角形是什么形状？并求出三角形的面积；若不能，请说明理由．2·1·c·n·j·y
16．已知，如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC，垂足为D，交AB于点E，且BE2﹣EA2=AC2，【来源：21·世纪·教育·网】
①求证：∠A=90°．
②若DE=3，BD=4，求AE的长．
17．我们把满足方程x2+y2=z2的正整数的解（x、y、z）叫做勾股数，如，（3，4，5）就是一组勾股数．21·世纪*教育网
（1）请你再写出两组勾股数：（ 、 、 ），（ 、 、 ）；
（2）在研究直角三角形的勾股数时，古希腊的哲学家柏拉图曾指出：如果n表示大于1的整数，x=2n，y=n2﹣1，z=n2+1，那么以x，y，z为三边的三角形为直径三角形（即x，y，z为勾股数），请你加以证明．www-2-1-cnjy-com
18．如图所示，在△ABC中，AC=8cm，BC=6cm；在△ABE中，DE为AB边上的高，DE=12cm，△ABE的面积S=60cm2．2-1-c-n-j-y
（1）求出AB边的长；
（2）你能求出∠C的度数吗？请试一试．
19．如图，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13米，此人以0.5米每秒的速度收绳，10秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的，结果保留根号）
20．如图，有两条公路OM，ON相交成30°角．沿公路OM方向离O点80米处有一所学校A，当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心50米长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大．若已知重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为18千米/时．21教育网
（1）求对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离；
（2）求卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间．
17.2勾股定理的逆定理
同步练习
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC的形状为（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．以上答案都不对
2．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且（a+b）（a﹣b）=c2，则（ ）
A．∠A为直角 B．∠C为直角
C．∠B为直角 D．不是直角三角形
解：∵（a+b）（a﹣b）=c2，
∴a2﹣b2=c2，即c2+b2=a2，故此三角形是直角三角形，a为直角三角形的斜边，
∴∠A为直角．
故选A．
3．一艘轮船和一艘渔船同时沿各自的航向从港口O出发，如图所示，轮船从港口O沿北偏西20°的方向行60海里到达点M处，同一时刻渔船已航行到与港口O相距80海里的点N处，若M、N两点相距100海里，则∠NOF的度数为（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
解：∵OM=60海里，ON=80海里，MN=100海里，
∴OM2+ON2=MN2，
∴∠MON=90°，
∵∠EOM=20°，
∴∠NOF=180°﹣20°﹣90°=70°，
故选C．
4．在下列条件中：①∠A+∠B=∠C，②∠A：∠B：∠C=1：2：3，③∠A=90°﹣∠B，④∠A=∠B=∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解：①因为∠A+∠B=∠C，则2∠C=180°，∠C=90°，所以△ABC是直角三角形；
②因为∠A：∠B：∠C=1：2：3，设∠A=x，则x+2x+3x=180，x=30°，∠C=30°×3=90°，所以△ABC是直角三角形；21世纪教育网版权所有
③因为∠A=90°﹣∠B，所以∠A+∠B=90°，则∠C=180°﹣90°=90°，所以△ABC是直角三角形；21·cn·jy·com
④因为∠A=∠B=∠C，所以三角形为等边三角形．
所以能确定△ABC是直角三角形的有①②③共3个．
故选：C．
5．如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2m，梯子的顶端B到地面的距离为7m，现将梯子的底端A向外移动到A′，使梯子的底端A′到墙根O的距离等于3m，同时梯子的顶端B下降至B′，那么BB′（ ）
A．小于1m B．大于1m C．等于1m D．小于或等于1m
解：在直角三角形AOB中，因为OA=2，OB=7
由勾股定理得：AB=，
由题意可知AB=A′B′=，
又OA′=3，根据勾股定理得：OB′=，
∴BB′=7﹣＜1．
故选A．
6．下列各组数中不是勾股数的是（ ）
A．3，4，5 B．4，5，6 C．5，12，13 D．6，8，10
解：A、∵32+42=52，
∴以3、4、5为边能组成直角三角形，
即3、4、5是勾股数，故本选项错误；
B、∵42+52≠62，
∴以4、5、6为边不能组成直角三角形，
即4、5、6不是勾股数，故本选项正确；
C、∵52+122=132，
∴以5、12、13为边能组成直角三角形，
即5、12、13是勾股数，故本选项错误；
D、∵62+82=102，
∴以6、8、10为边能组成直角三角形，
即6、8、10是勾股数，故本选项错误；
故选B．
7．如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面5m处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部12m处，旗杆折断之前的高度是（ ）21cnjy.com
A．5m B．12m C．13m D．18m
解：旗杆折断后，落地点与旗杆底部的距离为12m，旗杆离地面5m折断，且旗杆与地面是垂直的，
所以折断的旗杆与地面形成了一个直角三角形．
根据勾股定理，折断的旗杆为=13m，
所以旗杆折断之前高度为13m+5m=18m．
故选D．
8．如图，有两棵树，一棵树高8m，另一棵树高3m，两树相距12m．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（ ）
A．12m B．14m C．13m D．15m
解：如图，过点A作AB⊥BC于点B，连接AC，
∵一棵树高8m，另一棵树高3m，两树相距12m，
∴AB=12m，BC=8﹣3=5m，
∴AC==13m．
故选C．
9．如图为某楼梯，测得楼梯的长为5米，高3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要多米？（ ）21教育网
A．4 B．8 C．9 D．7
解：由勾股定理得：
楼梯的水平宽度==4，
∵地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，
地毯的长度至少是3+4=7米．
故选D．
10．已知a=3，b=4，若a，b，c能组成直角三角形，则c=（ ）
A．5 B． C．5或 D．5或6
解：分两种情况：
当c为斜边时，c==5；
当长4的边为斜边时，c==（根据勾股定理列出算式）．
故选C．
二．填空题（共4小题）
11．如图，AD=8，CD=6，∠ADC=90°，AB=26，BC=24，该图形的面积等于 96 ．
解：连接AC，在Rt△ACD中，AD=8，CD=6，
∴AC===10，
在△ABC中，
∵AC2+BC2=102+242=262=AB2，
∴△ABC为直角三角形；
∴图形面积为：
S△ABC﹣S△ACD=×10×24﹣×6×8=96．
故答案为：96．
12．如图，在一根长90cm的灯管上，缠满了彩色丝带，已知可近似地将灯管看作圆柱体，且底面周长为4cm，彩色丝带均匀地缠绕了30圈，则彩色丝带的总长度为 150cm ．2·1·c·n·j·y
解：如下图，彩色丝带的总长度为=150cm，
故答案为：150cm．
13．我们把符合等式a2+b2=c2 的a、b、c三个称为勾股数．现请你用计算器验证下列各组的数是否勾股数．你能发现其中规律吗？请完成下列空格．
3，4，5；
5，12，13；
7，24，25；
9，40，41；
11， 60 ， 61 ；…
解：先用计算机验证是勾股数；
通过观察得到：这组勾股数用n表示为：2n+1，2n2+2n，2n2+2n+1，
11是第5组勾股数的第一个小数，
所以其它2个数为：2×52+2×5=60，
2×52+2×5+1=61，
故答案为：60、61．
14．如图，有一个长为50cm，宽为30cm，高为40cm的长方体木箱，一根长70cm的木棍 能 放入（填“能”或“不能”）．www.21-cn-jy.com
解：可设放入长方体盒子中的最大长度是xcm，
根据题意，得x2=502+402+302=5000，
702=4900，
因为4900＜5000，所以能放进去．
故答案是：能．
三．解答题（共6小题）
15．已知a、b、c满足|a﹣|++（c﹣4）2=0．
（1）求a、b、c的值；
（2）判断以a、b、c为边能否构成三角形？若能构成三角形，此三角形是什么形状？并求出三角形的面积；若不能，请说明理由．【来源：21·世纪·教育·网】
解：（1）∵a、b、c满足|a﹣|++（c﹣4）2=0．
∴|a﹣|=0，=0，（c﹣4）2=0．
解得：a=，b=5，c=4；
（2）∵a=，b=5，c=4，
∴a+b=+5＞4，
∴以a、b、c为边能构成三角形，
∵a2+b2=（）2+52=32=（4）2=c2，
∴此三角形是直角三角形，
∴S△==．
16．已知，如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC，垂足为D，交AB于点E，且BE2﹣EA2=AC2，21·世纪*教育网
①求证：∠A=90°．
②若DE=3，BD=4，求AE的长．
（1）证明：
连接CE，如图，
∵D是BC的中点，DE⊥BC，
∴CE=BE…（2分）
∵BE2﹣EA2=AC2，
∴CE2﹣EA2=AC2，
∴EA2+AC2=CE2，
∴△ACE是直角三角形，即∠A=90°；
（2）解：
∵DE=3，BD=4，
∴BE==5=CE，
∴AC2=EC2﹣AE2=25﹣EA2，
∵BC=2BD=8，
∴在Rt△BAC中由勾股定理可得：BC2﹣BA2=64﹣（5+EA）2=AC2，
∴64﹣（5+AE）2=25﹣EA2，解得AE=．
17．我们把满足方程x2+y2=z2的正整数的解（x、y、z）叫做勾股数，如，（3，4，5）就是一组勾股数．www-2-1-cnjy-com
（1）请你再写出两组勾股数：（ 6 、 8 、 10 ），（ 9 、 12 、 15 ）；
（2）在研究直角三角形的勾股数时，古希腊的哲学家柏拉图曾指出：如果n表示大于1的整数，x=2n，y=n2﹣1，z=n2+1，那么以x，y，z为三边的三角形为直径三角形（即x，y，z为勾股数），请你加以证明．2-1-c-n-j-y
解：（1）写出两组勾股数：（ 6，8，10），（ 9，12，15）．
（2）证明：x2+y2
=（2n）2+（n2﹣1）2
=4n2+n4﹣2n2+1
=n4+2n2+1
=（n2+1）2
=z2，
即x，y，z为勾股数．
故答案为：6，8，10；9，12，15．
18．如图所示，在△ABC中，AC=8cm，BC=6cm；在△ABE中，DE为AB边上的高，DE=12cm，△ABE的面积S=60cm2．21*cnjy*com
（1）求出AB边的长；
（2）你能求出∠C的度数吗？请试一试．
解：（1）∵DE=12，S△ABE=DE?AB=60，
∴AB=10；
（2）∵AC=8，BC=6，62+82=102，
∴AC2+BC2=AB2，
由勾股定理逆定理得∠C=90°．
19．如图，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13米，此人以0.5米每秒的速度收绳，10秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的，结果保留根号）
解：在Rt△ABC中：
∵∠CAB=90°，BC=13米，AC=5米，
∴AB==12（米），
∵此人以0.5米每秒的速度收绳，10秒后船移动到点D的位置，
∴CD=13﹣0.5×10=8（米），
∴AD===（米），
∴BD=AB﹣AD=12﹣（米），
答：船向岸边移动了（12﹣）米．
20．如图，有两条公路OM，ON相交成30°角．沿公路OM方向离O点80米处有一所学校A，当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心50米长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大．若已知重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为18千米/时．【来源：21cnj*y.co*m】
（1）求对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离；
（2）求卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间．
（2）如图以A为圆心50m为半径画圆，交ON于B、C两点，
∵AD⊥BC，
∴BD=CD=BC，
在Rt△ABD中，BD===30m，
∴BC=60m，
∵重型运输卡车的速度为18千米/时=300米/分钟，
∴重型运输卡车经过BC的时间=60÷300=0.2分钟=12秒，
答：卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间为12秒．
