13.2.6斜边直角边 达标检测AB卷
A卷基础达标
题组一用H.L.证明三角形全等
1.如图,已知AC⊥BC,BD⊥AD,垂足分别为C,D,AC=BD,判定△ABC≌△BAD要用的判定方法是 ( )【来源：21·世纪·教育·网】
A.S.S.A. B.H.L.
C.S.A.S. D.S.S.S.
2.如图,∠B=∠D=90°,BC=CD,∠1=40°,则∠2= ( )
A.40° B.50°
C.60° D.75°
3.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=10,BC=5,线段PQ=AB,P,Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AO上运动,当AP= 时,△ABC和△PQA全等.21·世纪*教育网
4.如图,在△ABC中,AB=AC,DE是过点A的直线,BD⊥DE于D,CE⊥DE于E,且AD=CE,则AB和AC的位置关系是 .
5.如图,点C,E,B,F在一条直线上,AB⊥CF于点B,DE⊥CF于点E,AC=DF,AB=DE.求证:CE=BF.www-2-1-cnjy-com
题组二选择合适的判定方法证全等
1.如图,已知AB=AD,那么添加下列一个条件后,仍无法判定△ABC≌△ADC的是 ( )
A.CB=CD B.∠BAC=∠DAC
C.∠BCA=∠DCA D.∠B=∠D=90°
2.在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中,∠C=∠C′=90°,如图,那么下列各条件中,不能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′的是 ( )
A.AB=A′B′=5,BC=B′C′=3
B.AB=B′C′=5,∠A=∠B′=40°
C.AC=A′C′=5,BC=B′C′=3
D.AC=A′C′=5,∠A=∠A′=40°
3.如图所示,在△ABC中,AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为D,E,AD,CE交于点H,请你添加一个适当的条件: ,使△AEH≌△CEB.
4.如图,已知∠ABC=∠ADC=90°,E是AC上一点,AB=AD,求证:EB=ED.
5.已知:如图,AB=AC,点D是BC的中点,AB平分∠DAE,AE⊥BE,垂足为E.
求证:AD=AE.
【鉴前毖后】两个三角形的两边及其中一边上的高对应相等,这两个三角
形是否全等?若全等,请给出证明;若不全等,请说明理由.
(1)找错:从第________步开始出现错误.
(2)纠错:__________________________________________________
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B卷能力达标
(测试时间30分钟 试题总分50分)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.如图,可以用H.L.判断Rt△ABC和Rt△DEF全等的条件是 ( )
A.AC=DF,BC=EF B.∠A=∠D,AB=DE
C.AC=DF,AB=DE D.∠B=∠E,BC=EF
2.如图,∠ACB=90°,AC=BC,AE⊥CD于E,BD⊥CE于D,AE=5cm,BD=2cm,则DE的长是 ( )21教育网
A.8cm B.5cm
C.3cm D.2cm
3.下列说法正确的是 ( )
A.面积相等的两个直角三角形全等
B.周长相等的两个直角三角形全等
C.斜边相等的两个直角三角形全等
D.有一个锐角和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等
【变式训练】使两个直角三角形全等的条件是 ( )
A.一个锐角分别相等 B.两个锐角分别相等
C.一条边分别相等 D.两条边分别相等
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.如图,AB⊥CF,垂足为B,AB∥DE,点E在CF上,CE=FB,AC=DF,依据以上条件可以判定△ABC≌△DEF,这种判定三角形全等的方法,可以简写为 .www.21-cn-jy.com
5.如图,AC⊥BC于C,DE⊥AC于E,AD⊥AB于A,BC=AE.若AB=5,则AD= .2·1·c·n·j·y
6.如图,等腰直角三角形ABC的直角顶点B在直线PQ上,AD⊥PQ于D,CE⊥PQ于E,且AD=2cm,DB=4cm,则梯形ADEC的面积是 .
三、解答题(共26分)
7.(8分)如图,AD是△ABC的高,E为AC上一点,BE交AD于F,且有BF=AC,FD=CD,试说明BE与AC的位置关系.21cnjy.com
8.(8分)如图,已知在△ABC中,AC=BC,∠C=90°,BD为∠ABC的平分线,AD⊥BD,垂足为D,且AD=3,求BE的长.21·cn·jy·com
【培优训练】9.(10分)已知,如图1,E,F分别为线段AC上的两个动点,且DE⊥AC于E点,BF⊥AC于F点,若AB=CD,AF=CE,BD交AC于M点.21世纪教育网版权所有
(1)求证:MB=MD,ME=MF.
(2)当E,F两点移动至如图2所示的位置时,其余条件不变,上述结论能否成立?若成立,请给出你的证明;若不成立,请说明你的理由.
13.2.6斜边直角边 达标检测AB卷
A卷基础达标
题组一用H.L.证明三角形全等
1.如图,已知AC⊥BC,BD⊥AD,垂足分别为C,D,AC=BD,判定△ABC≌△BAD要用的判定方法是 ( )【出处：21教育名师】
A.S.S.A. B.H.L.
C.S.A.S. D.S.S.S.
【解析】选B.由题知△ABC和△BAD都是直角三角形,直角边AC=BD,又AB是公共斜边,故用“H.L.”.21*cnjy*com
2.如图,∠B=∠D=90°,BC=CD,∠1=40°,则∠2= ( )
A.40° B.50°
C.60° D.75°
【解析】选B..∵∠B=∠D=90°.
在Rt△ABC和Rt△ADC中∵BC=CD,AC=AC.
∴Rt△ABC≌Rt△ADC(H.L.),
∴∠2=∠ACB=90°-∠1=50°.
3.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=10,BC=5,线段PQ=AB,P,Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AO上运动,当AP= 时,△ABC和△PQA全等.21教育网
【解析】当AP=5或10时,△ABC和△PQA全等.
理由是:∵∠C=90°,AO⊥AC,
∴∠C=∠QAP=90°,
①当AP=5=BC时,在Rt△ACB和Rt△QAP中,
∵AB=PQ,BC=AP,
∴Rt△ACB≌Rt△QAP(H.L.),
②当AP=10=AC时,
在Rt△ACB和Rt△PAQ中,AB=PQ,AC=AP.
∴Rt△ACB≌Rt△PAQ(H.L.).
答案:5或10
【易错警示】本题因为P,Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AO上运动,所以答案有两种可能.一种是当AP=5=BC时全等,另一种是当AP=10=AC时全等,易遗漏.www.21-cn-jy.com
【知识拓展】动态几何题几种元素变化形式
1.点动(有单动点型、多动点型),出现点在直线的同侧和异侧两种情况.
2.线动(主要有线平移型、旋转型),线动实质就是点动,即点动带动线动,进而还会产生形动,因而线动型几何问题可以通过转化成点动型问题来求解.【来源：21·世纪·教育·网】
3.形动(就其运动形式而言,有平移、旋转、翻折、滚动).
4.如图,在△ABC中,AB=AC,DE是过点A的直线,BD⊥DE于D,CE⊥DE于E,且AD=CE,则AB和AC的位置关系是 .
【解析】∵BD⊥DE,CE⊥DE,∴∠ADB=∠AEC=90°,
在Rt△ABD和Rt△CAE中,AB=AC,AD=CE,
∴Rt△ABD≌Rt△CAE(H.L.).
∴∠DAB=∠ECA,∠DBA=∠EAC.
∵∠EAC+∠ECA=90°,
∴∠EAC+∠BAD=90°.即∠BAC=90°,
∴AB⊥AC.
答案:垂直
5.如图,点C,E,B,F在一条直线上,AB⊥CF于点B,DE⊥CF于点E,AC=DF,AB=DE.求证:CE=BF.21世纪教育网版权所有
【解题指南】解答本题的两个关键
1.利用“H.L.”证明Rt△ABC≌Rt△DEF.
2.根据全等三角形的性质和等式的性质解题.
【证明】∵AB⊥CF,DE⊥CF,∴∠ABC=∠DEF=90°.
在Rt△ABC和Rt△DEF中,∵AC=DF,AB=DE,
∴Rt△ABC≌Rt△DEF(H.L.),
∴BC=EF,∴BC-BE=EF-BE,即CE=BF.
题组二选择合适的判定方法证全等
1.如图,已知AB=AD,那么添加下列一个条件后,仍无法判定△ABC≌△ADC的是 ( )
A.CB=CD B.∠BAC=∠DAC
C.∠BCA=∠DCA D.∠B=∠D=90°
【解析】选C.若添加CB=CD,根据S.S.S.,能判定△ABC≌△ADC,故A选项不符合题意;若添加∠BAC=∠DAC,根据S.A.S.,能判定△ABC≌△ADC,故B选项不符合题意;若添加∠BCA=∠DCA,不能判定△ABC≌△ADC,故C选项符合题意;若添加∠B=∠D=90°,根据H.L.,能判定△ABC≌△ADC,故D选项不符合题意.21·世纪*教育网
2.在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中,∠C=∠C′=90°,如图,那么下列各条件中,不能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′的是 ( )
A.AB=A′B′=5,BC=B′C′=3
B.AB=B′C′=5,∠A=∠B′=40°
C.AC=A′C′=5,BC=B′C′=3
D.AC=A′C′=5,∠A=∠A′=40°
【解析】选B.∵在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中,∠C=∠C′=90°选项A:AB=
A′B′=5,BC=B′C′=3,符合直角三角形全等的判定条件H.L.;选项B:AB=
B′C′=5,∠A=∠B′=40°,不符合直角三角形全等的判定条件;选项C符合
Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等的判定条件S.A.S.;选项D符合Rt△ABC和
Rt△A′B′C′全等的判定条件A.S.A..
3.如图所示,在△ABC中,AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为D,E,AD,CE交于点H,请你添加一个适当的条件: ,使△AEH≌△CEB.
【解析】∵AD⊥BC,CE⊥AB,∴∠AEH=∠ADC=90°.
又∠AHE=∠CHD,在Rt△AEH和Rt△CDH中,
90°-∠AHE=90°-∠CHD,即∠BAD=∠BCE.
因为本题的已知条件是∠AEH=∠CEB=90°,又∠EAH=∠ECB,若用A.S.A.来证明,则填入EA=EC;2·1·c·n·j·y
若用A.A.S.来证明,则填入EH=EB或HA=BC.
答案:EA=EC(答案不唯一)
【方法技巧】在解决开放性探究问题时,首先从题中找到已知条件、隐含条件和可证出的条件,然后再利用三角形全等的判定条件来寻找缺少的条件.www-2-1-cnjy-com
4.如图,已知∠ABC=∠ADC=90°,E是AC上一点,AB=AD,求证:EB=ED.
【证明】在Rt△ADC和Rt△ABC中,
∴Rt△ABC≌Rt△ADC(H.L.),
∴∠DCE=∠BCE,DC=BC,
∴在△DCE和△BCE中,
∴△DCE≌△BCE(S.A.S.),∴EB=ED.
5.已知:如图,AB=AC,点D是BC的中点,AB平分∠DAE,AE⊥BE,垂足为E.
求证:AD=AE.
【证明】∵AB=AC,点D是BC的中点,∴∠ADB=90°,
∵AE⊥EB,∴∠E=∠ADB=90°,
∵AB平分∠DAE,∴∠1=∠2.
在△ADB和△AEB中,∠E=∠ADB,
∠1=∠2,AB=AB,
∴△ADB≌△AEB(A.A.S.),
∴AD=AE.
【知识归纳】利用三角形全等证明线段相等的一般步骤
1.首先确定线段所在的三角形.
2.其次看由已知条件能得到哪些结论.
3.然后选择有用结论证明三角形全等.
4.最后根据三角形全等性质判定线段相等.
【鉴前毖后】两个三角形的两边及其中一边上的高对应相等,这两个三角
形是否全等?若全等,请给出证明;若不全等,请说明理由.
(1)找错:从第________步开始出现错误.
(2)纠错:__________________________________________________
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答案: (1) ①
(2)如图,在△ABC,△AB′C中,AC=AC,BC=B′C,高AD=AD,但△ABC和
△AB′C不全等.
B卷能力达标
(测试时间30分钟 试题总分50分)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.如图,可以用H.L.判断Rt△ABC和Rt△DEF全等的条件是 ( )
A.AC=DF,BC=EF B.∠A=∠D,AB=DE
C.AC=DF,AB=DE D.∠B=∠E,BC=EF
【解析】选C.在两个直角三角形中AB,DE是斜边,AC;DF是直角边.
2.如图,∠ACB=90°,AC=BC,AE⊥CD于E,BD⊥CE于D,AE=5cm,BD=2cm,则DE的长是 ( )21cnjy.com
A.8cm B.5cm
C.3cm D.2cm
【解析】选C.∵∠ACB=90°,AE⊥CD于E,BD⊥CE于D,∴∠CAE+∠ACD=∠ACD+∠BCD,2-1-c-n-j-y
∴∠CAE=∠BCD,
又∵∠AEC=∠CDB=90°,AC=BC,
∴△AEC≌△CDB,
∴CE=BD=2 cm,CD=AE=5 cm,
∴ED=CD-CE=5-2=3(cm).
3.下列说法正确的是 ( )
A.面积相等的两个直角三角形全等
B.周长相等的两个直角三角形全等
C.斜边相等的两个直角三角形全等
D.有一个锐角和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等
【解析】选D.如图,在Rt△ABC和Rt△A1B1C1中,CD,C1D1分别是两个三角形斜边上的高,若CD= C1D1,∠A=∠A1,由“A.A.S.”可证Rt△ACD≌Rt△A1C1D1,所以AC=A1C1,再由“A.S.A.”可证Rt△ABC≌Rt△A1B1C1.
【变式训练】使两个直角三角形全等的条件是 ( )
A.一个锐角分别相等 B.两个锐角分别相等
C.一条边分别相等 D.两条边分别相等
【解析】选D.选项D正确:两条边分别相等,若是两条直角边分别相等,可利用S.A.S.证全等;若是一直角边分别相等,一斜边分别相等,也可证全等.其余选项都不符合判定定理.21*cnjy*com
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.如图,AB⊥CF,垂足为B,AB∥DE,点E在CF上,CE=FB,AC=DF,依据以上条件可以判定△ABC≌△DEF,这种判定三角形全等的方法,可以简写为 .【来源：21cnj*y.co*m】
【解析】∵AB⊥CF,AB∥DE,
∴△ABC和△DEF都是直角三角形.∵CE=FB,∴CB=EF.
在Rt△ABC和Rt△DEF中,∵CB=EF,AC=DF.
∴Rt△ABC≌Rt△DEF(H.L.).
答案:H.L.
5.如图,AC⊥BC于C,DE⊥AC于E,AD⊥AB于A,BC=AE.若AB=5,则AD= .【版权所有：21教育】
【解析】根据“A.A.S.”或“A.S.A.”可证△ABC≌△DAE,
∴AD=AB=5.
答案:5
6.如图,等腰直角三角形ABC的直角顶点B在直线PQ上,AD⊥PQ于D,CE⊥PQ于E,且AD=2cm,DB=4cm,则梯形ADEC的面积是 .
【解题指南】解答本题的两个关键
1.用同角的余角相等证∠ABD=∠BCE或∠BAD=∠CBE.
2.证△ADB≌△BEC.
【解析】根据“A.A.S.”或“A.S.A.”可证△ADB≌△BEC,
∴BE=AD=2cm,CE=DB=4cm.
∴S梯形ADEC=(AD+CE)DE=×(2+4)×(2+4)=18(cm2).
答案:18cm2
三、解答题(共26分)
7.(8分)如图,AD是△ABC的高,E为AC上一点,BE交AD于F,且有BF=AC,FD=CD,试说明BE与AC的位置关系.21教育名师原创作品
【解析】BE⊥AC.理由如下:
∵AD是△ABC的高,
∴∠BDF=∠ADC=90°,
在Rt△BDF和Rt△ADC中,
∵BF=AC,FD=CD,
∴Rt△BDF≌Rt△ADC(H.L.),
∴∠FBD=∠CAD.
又∠CAD+∠C=90°,∴∠FBD+∠C=90°.
∴△BEC为直角三角形,∴BE⊥AC.
8.(8分)如图,已知在△ABC中,AC=BC,∠C=90°,BD为∠ABC的平分线,AD⊥BD,垂足为D,且AD=3,求BE的长.
【解析】延长AD与BC的延长线相交于F,
∵BD为∠ABC的平分线,∴∠ABD=∠FBD,
∵∠ADB=∠BDF=90°,BD=BD,
∴Rt△BAD≌Rt△BFD,
∴AD=DF,∴AF=2AD=6,
∵∠DAC+∠AED=90°,∠EBC+∠BEC=90°,
∠AED=∠BEC,∴∠DAC=∠EBC,
∵∠ACF=∠BCE=90°,AC=BC,
∴Rt△ACF≌Rt△BCE,∴BE=AF=6.
【培优训练】
9.(10分)已知,如图1,E,F分别为线段AC上的两个动点,且DE⊥AC于E点,BF⊥AC于F点,若AB=CD,AF=CE,BD交AC于M点.
(1)求证:MB=MD,ME=MF.
(2)当E,F两点移动至如图2所示的位置时,其余条件不变,上述结论能否成立?若成立,请给出你的证明;若不成立,请说明你的理由.
【解析】(1)如题干图1,∵DE⊥AC,BF⊥AC,
∴∠DEM=∠BFM=90°.
在Rt△AFB和Rt△CED中,
∵AB=CD,AF=CE,
∴Rt△AFB≌Rt△CED(H.L.),∴BF=DE;
在△BFM和△DEM中,
∵∠DEM=∠BFM,∠EMD=∠FMB,BF=DE,
∴△BFM≌△DEM(A.A.S.),
∴MB=MD,ME=MF.
(2)当E,F两点移动至如题干图2位置时,其余条件不变,上述结论仍成立.这是因为Rt△AFB≌Rt△CED,△BFM≌△DEM的关系没有发生变化,因而结论MB=MD,ME=MF仍成立.21·cn·jy·com
