13.3.1 等腰三角形的性质 达标检测AB卷
A卷基础达标
题组一等腰三角形性质的应用
1.如图,在△ABC中,点D在BC上,AB=AD=DC,∠B=80°,则∠C的度数为 ( )
A.30° B.40°
C.45° D.60°
2.如图,AE∥BD,C是BD上的点,且AB=BC,∠ACD=110°,则∠EAB的度数是 ( )21cnjy.com
A.30° B.40°
C.45° D.60°
【变式训练】如图,AB∥CD,点E在BC上,且CD=CE,∠D=74°,则∠B的度数为 ( )
A.68° B.32°
C.22° D.16°
3.如图,在等腰△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD⊥AC于点D,则
∠CBD= .
4.如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,若AB=6,CD=4,则△ABC的周长是 .【来源：21·世纪·教育·网】
5.如图,在△ABC中,AB=AC,点D是BC的中点,作∠EAB=
∠BAD,AE边交CB的延长线于点E,延长AD到点F,使AF=AE,连接CF.
求证:BE=CF.
6.如图,已知:△ABC中,AB=AC,点M是BC的中点,点D,E分别是AB,AC边上的点,且BD=CE.求证:MD=ME.2·1·c·n·j·y
7.如图,B,D,F在AN上,C,E在AM上,且AB=BC=CD,EC=ED=EF,∠A=20°,求∠FEM的度数.21*cnjy*com
8.已知AB=AC,BD=DC,AE平分∠FAB,问:AE与AD是否垂直?为什么?
题组二等边三角形性质的应用
1.如图,已知等边△ABC中,BD=CE,AD与BE相交于点P,则∠APE的度数为
( )
A.45° B.60° C.55° D.75°
2.如图,已知△OAB是正三角形,OC⊥OB,OC=OB,将△OAB绕点O按逆时针方向旋转,使得OA与OC重合,得到△OCD,则旋转的角度是 ( )
A.150° B.120° C.90° D.60°
3.如图,l∥m,等边△ABC的顶点A在直线m上,则∠α= .
【变式训练】如图,△ABC是等边三角形,点D在AC边上,∠DBC=35°,则∠ADB的度数为 ( )21世纪教育网版权所有
A.25° B.60° C.85° D.95°
4.如图,已知△ABC为等边三角形,点P在AB上,以CP为边长作等边△PCE.求证:AE∥BC.
5.已知,如图,B是AC上一点,△ABD和△DCE都是等边三角形.
求证:AC=BE.
【鉴前毖后】等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°,试求顶角的度数.
(1)错因:________________________________________.
(2)纠错:______________________________________
B卷能力达标
(测试时间30分钟 试题总分50分)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.如图,在△ABC中,AB=AC,且D为BC上一点,CD=AD,AB=BD,则∠B的度数为 ( )21·cn·jy·com
A.30° B.36° C.40° D.45°
2.如图,在△ABC中,AB=AC,BD⊥AC,垂足为D,则∠DBC与∠A的关系为 ( )
A.∠DBC =∠A B.∠DBC =2∠A
C.2∠DBC=∠A D.无法确定
【变式训练】如图,△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD是AC边上的高,则∠DBC的度数是 ( )www.21-cn-jy.com
A.18° B.24°
C.30° D.36°
3.如图是一个等边三角形木框,甲虫P在边框AC上爬行(A,C端点除外),设甲虫P到另外两边的距离之和为d,等边三角形ABC的高为h,则d与h的大小关系是 21·世纪*教育网
( )
A.d>h B.dC.d=h D.无法确定
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.若等腰三角形的一边长为3cm,周长为15cm,则此等腰三角形的另两边长分别是 .
5.如图,在等边△ABC中,AB=6,D是BC上一点,且BC=3BD,△ABD绕点A旋转后得到△ACE,则CE的长度为 .2-1-c-n-j-y
6.如图,在第1个△A1BC中,∠B=30°,A1B=CB;在边A1B上任取一点D,延长CA1到A2,使A1A2=A1D,得到第2个△A1A2D;在边A2D上任取一点E,延长A1A2到A3,使A2A3=A2E,得到第3个△A2A3E,…,按此作法继续下去,则第n个三角形中以An为顶点的内角度数是 .
三、解答题(共26分)
7.(8分)如图,AB=AC,点D是BC的中点,AD=AE,AE⊥BE,垂足为E.则AB平分∠DAE吗?请说明理由.www-2-1-cnjy-com
8.(8分)如图,在△ABC中,∠BAC=60°,AD是∠BAC的平分线,且AC=AB+BD,求
∠ABC的度数.
【培优训练】9.(10分)如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC上任意一点,过D分别向AB,AC引垂线,垂足分别为E,F点.21教育网
(1)当点D在BC的什么位置时,DE=DF?并证明.
(2)过C点作AB边上的高CG,请问DE,DF,CG的长之间存在怎样的等量关系?并加以证明.
13.3.1 等腰三角形的性质 达标检测AB卷
A卷基础达标
题组一等腰三角形性质的应用
1.如图,在△ABC中,点D在BC上,AB=AD=DC,∠B=80°,则∠C的度数为 ( )
A.30° B.40°
C.45° D.60°
【解析】选B.∵AB=AD=DC,∠B=80°,∴∠ADB=∠B=80°,∴∠C=×80°=40°.【来源：21·世纪·教育·网】
2.如图,AE∥BD,C是BD上的点,且AB=BC,∠ACD=110°,则∠EAB的度数是 ( )
A.30° B.40°
C.45° D.60°
【解析】选B.∵∠ACD=110°,∴∠ACB=70°.∵AB=BC,∴∠BAC=∠ACB=70°.
∵AE∥BD,∴∠EAC=∠ACD=110°,∴∠EAB=110°-70°=40°.
【变式训练】如图,AB∥CD,点E在BC上,且CD=CE,∠D=74°,则∠B的度数为 ( )
A.68° B.32°
C.22° D.16°
【解析】选B.∵AB∥CD,∴∠C=∠ABC,又CD=CE,∴∠D=∠CED=74°,根据三角形内角和定理得:∠C+∠D+∠CED=180°,解得∠C=32°,∴∠B=32°.www-2-1-cnjy-com
3.如图,在等腰△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD⊥AC于点D,则
∠CBD= .
【解题指南】解答本题的两个关键:
1.利用“等边对等角”的性质.
2.利用“直角三角形两锐角互余”的性质.
【解析】∵AB=AC,∠A=36°,∴∠ABC=∠ACB=72°.
∵BD⊥AC于点D,∴∠CBD=90°-72°=18°.
答案:18°
4.如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,若AB=6,CD=4,则△ABC的周长是 .www.21-cn-jy.com
【解析】∵AB=AC,AD⊥BC于点D,∴BD=CD=4,∴△ABC的周长=6+6+8=20.
答案:20
5.如图,在△ABC中,AB=AC,点D是BC的中点,作∠EAB=
∠BAD,AE边交CB的延长线于点E,延长AD到点F,使AF=AE,连接CF.
求证:BE=CF.
【证明】∵AB=AC,点D是BC的中点,∴∠CAD=∠BAD.
又∵∠EAB=∠BAD,∴∠CAD=∠EAB.
在△ACF和△ABE中,
∵AC=AB,∠CAF=∠BAE,AF=AE,
∴△ACF≌△ABE(S.A.S.).∴BE=CF.
6.如图,已知:△ABC中,AB=AC,点M是BC的中点,点D,E分别是AB,AC边上的点,且BD=CE.求证:MD=ME.2·1·c·n·j·y
【证明】∵AB=AC,∴∠DBM=∠ECM,
∵点M是BC的中点,∴BM=CM,
在△BDM和△CEM中,∵BD=CE,∠DBM=∠ECM,BM=CM,∴△BDM≌△CEM(S.A.S.),21·世纪*教育网
∴MD=ME.
7.如图,B,D,F在AN上,C,E在AM上,且AB=BC=CD,EC=ED=EF,∠A=20°,求∠FEM的度数.【出处：21教育名师】
【解析】∵AB=BC,∴∠A=∠ACB=20°,
∴∠CBD=∠A+∠ACB=20°+20°=40°.
∵BC=CD,∴∠CBD=∠CDB=40°,
∴∠DCE=∠A+∠CDB=20°+40°=60°,
∵EC=ED,∴∠DCE=∠CDE=60°,
∴∠DEC=180°-∠DCE-∠CDE=60°,
∴∠EDF=∠A+∠DEC=20°+60°=80°,
∵ED=EF,∴∠EDF=∠EFD=80°,
∴∠FEM=∠A+∠EFD=20°+80°=100°.
【方法技巧】证明角相等的常见思路
(1)要证明的两个角是同位角或内错角时,可以考虑运用平行线的性质证明.
(2)要证明的两个角分布在两个三角形中时,可以通过三角形的全等证明.
(3)要证明的两个角在同一个三角形中时,可以通过等边对等角或等腰三角形中“三线合一”证明.
8.已知AB=AC,BD=DC,AE平分∠FAB,问:AE与AD是否垂直?为什么?
【解析】AE⊥AD,理由如下:
∵AB=AC,CD=BD,∴∠1=∠2,∠B=∠C,AD⊥BC,又∵AE是△ABC的外角平分线,∴∠3=∠4=(∠B+∠C)=∠C,∴AE∥BC,∠DAE+∠ADB=180°,又∵AD⊥BC,∴∠DAE=∠ADB=90°.∴AE⊥AD.
题组二等边三角形性质的应用
1.如图,已知等边△ABC中,BD=CE,AD与BE相交于点P,则∠APE的度数为
( )
A.45° B.60° C.55° D.75°
【解析】选B.等边△ABC中,有∠ABC=∠C=60°,AB=BC,BD=CE,∴△ABD≌△BCE,∴∠BAD=∠CBE,∴∠APE=∠BAD+∠ABP=∠ABP+∠PBD=∠ABD=60°.【来源：21cnj*y.co*m】
2.如图,已知△OAB是正三角形,OC⊥OB,OC=OB,将△OAB绕点O按逆时针方向旋转,使得OA与OC重合,得到△OCD,则旋转的角度是 ( )
A.150° B.120° C.90° D.60°
【解析】选A.将△OAB绕点O按逆时针方向旋转,使得OA与OC重合,得到△OCD,那么旋转的角度就是∠AOC的大小.∵OC⊥OB,△OAB是正三角形,∴∠AOC=
∠AOB+∠BOC=60°+90°=150°.
3.如图,l∥m,等边△ABC的顶点A在直线m上,则∠α= .
【解析】如图,延长CB交直线m于D,
∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=60°,∵l∥m,∴∠1=40°.
∴∠α=∠ABC-∠1=60°-40°=20°.
答案:20°
【变式训练】如图,△ABC是等边三角形,点D在AC边上,∠DBC=35°,则∠ADB的度数为 ( )21*cnjy*com
A.25° B.60° C.85° D.95°
【解析】选D.∠ADB=∠DBC+∠C=35°+60°=95°.
4.如图,已知△ABC为等边三角形,点P在AB上,以CP为边长作等边△PCE.求证:AE∥BC.
【证明】∵△ABC和△PCE为等边三角形,
∴BC=AC,PC=EC,∠ACB=∠ABC=∠ECP,
∴∠ACB-∠ACP=∠ECP-∠ACP,即∠BCP=∠ACE,
在△PCB和△ECA中,∵BC=AC,∠BCP=∠ACE,PC=EC,
∴△PCB≌△ECA,∴∠ABC=∠CAE,
∴∠ACB=∠CAE,∴AE∥BC.
5.已知,如图,B是AC上一点,△ABD和△DCE都是等边三角形.
求证:AC=BE.
【证明】∵△ABD和△DCE都是等边三角形,
∴∠ADB=∠CDE=60°,AD=BD,CD=DE.
∴∠ADB+∠BDC=∠BDC+∠FDE,即∠ADC=∠BDE.
∴△ADC≌△BDE.∴AC=BE.
【鉴前毖后】等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°,试求顶角的度数.
(1)错因:________________________________________.
(2)纠错:______________________________________
答案: (1)漏掉了三角形为钝角三角形的情况.
(2)由题意知:BD⊥AC,∠ABD=30°.当高在三角形内部时(如图1),∠A=90°-
30°=60°,即顶角为60°;当高在三角形外部时(如图2),∠BAD=90°-30°=
60°,则∠BAC=180°-60°=120°,即顶角是120°.综上所述,顶角为60°或
120°.
B卷能力达标
(测试时间30分钟 试题总分50分)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.如图,在△ABC中,AB=AC,且D为BC上一点,CD=AD,AB=BD,则∠B的度数为 ( )21教育网
A.30° B.36° C.40° D.45°
【解析】选B.设∠B的度数为x°,∵AB=AC,∴∠C=∠B,又∵AD=CD,∴∠C=∠CAD,∴∠ADB=∠C+∠CAD=2∠C=2x°,又∵AB=BD,∴∠BAD=∠ADB=2x°,2-1-c-n-j-y
∴2x+2x+x=180,解得x=36,∴∠B的度数为36°.
2.如图,在△ABC中,AB=AC,BD⊥AC,垂足为D,则∠DBC与∠A的关系为 ( )
A.∠DBC =∠A B.∠DBC =2∠A
C.2∠DBC=∠A D.无法确定
【解析】选C.如图,作AE⊥BC于点E,因为BD⊥AC,AE⊥BC,所以∠BDC=∠AEC=90°,根据三角形内角和定理,知∠EAC+∠C=90°,∠DBC+∠C=90°,根据同角的余角相等,所以∠EAC=∠DBC,又因为AB=AC,根据等腰三角形三线合一,所以AE是∠BAC的平分线,所以2∠EAC=∠BAC,即2∠DBC=∠BAC.21cnjy.com
【变式训练】如图,△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD是AC边上的高,则∠DBC的度数是 ( )
A.18° B.24°
C.30° D.36°
【解析】选A.在△ABC中,∵AB=AC,
∴∠C=∠ABC,设∠C=∠ABC=x°,
∵∠A=36°,∴x+x+36=180,解得x=72;
∴∠C=72°;
∵BD是AC边上的高,∴∠BDC=90°;
在△BDC中,∠DBC=180°-90°-72°=18°.
3.如图是一个等边三角形木框,甲虫P在边框AC上爬行(A,C端点除外),设甲虫P到另外两边的距离之和为d,等边三角形ABC的高为h,则d与h的大小关系是 21·cn·jy·com
( )
A.d>h B.dC.d=h D.无法确定
【解析】选C.如图,连结BP,过点P作PD⊥BC,PE⊥AB,分别交BC,AB于点D,E,
∴S△ABC=S△BPC+S△BPA=BC·PD+AB·PE=
BC·PD+BC·PE=BC(PD+PE)
=d·BC=h·BC,∴d=h.
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.若等腰三角形的一边长为3cm,周长为15cm,则此等腰三角形的另两边长分别是 .
【解析】若长为3的边为底,则这个等腰三角形的另两边长分别为6和6;若长为3的边为腰,则这个等腰三角形的另两边长分别为3和9,根据三角形的三边关系可判断,这个等腰三角形不存在.
答案:6和6
5.如图,在等边△ABC中,AB=6,D是BC上一点,且BC=3BD,△ABD绕点A旋转后得到△ACE,则CE的长度为 .【版权所有：21教育】
【解析】由旋转可知△ABD≌△ACE,所以CE=BD,在等边△ABC中,AB=6,则BC=6,由BC=3BD,可知BD=2,所以CE=2.21*cnjy*com
答案:2
6.如图,在第1个△A1BC中,∠B=30°,A1B=CB;在边A1B上任取一点D,延长CA1到A2,使A1A2=A1D,得到第2个△A1A2D;在边A2D上任取一点E,延长A1A2到A3,使A2A3=A2E,得到第3个△A2A3E,…,按此作法继续下去,则第n个三角形中以An为顶点的内角度数是 .
【解析】选C.∵在△CBA1中,∠B=30°,A1B=CB,∴∠BA1C==75°.∵A1A2=A1D,∠BA1C是△A1A2D的外角,∴∠DA2A1=∠BA1C=×75°;同理可得,∠EA3A2=×75°,∠FA4A3=×75°,∴第n个三角形中以An为顶点的内角度数是×75°.21世纪教育网版权所有
答案:×75°
三、解答题(共26分)
7.(8分)如图,AB=AC,点D是BC的中点,AD=AE,AE⊥BE,垂足为E.则AB平分∠DAE吗?请说明理由.
【解析】平分.∵AB=AC,点D是BC的中点,∴AD⊥BC,
又AE⊥BE,
在Rt△ABE和Rt△ABD中,
∵AD=AE,AB=AB,
∴Rt△ABE≌Rt△ABD(H.L.),
∴∠EAB=∠DAB,∴AB平分∠DAE.
8.(8分)如图,在△ABC中,∠BAC=60°,AD是∠BAC的平分线,且AC=AB+BD,求
∠ABC的度数.
【解题指南】解答本题的两个关键:
1.在AC上截取AE=AB,连接DE,构造出全等三角形,实现线段和角的转化.
2.利用“等边对等角”和三角形外角与内角的关系求角的度数.
【解析】如图,在AC上截取AE=AB,连接DE.∵AC=AB+BD,AC=AE+CE,
∴CE=BD,
在△ABD和△AED中,
∵AB=AE,∠BAD=∠EAD,AD=AD,
∴△ABD≌△AED,
∴BD=DE,∠B=∠AED,∴CE=DE,
∴∠C=∠EDC,
∴∠AED=2∠C,∴∠B=2∠C,
∵∠B+∠C=180°-∠BAC=180°-60°=120°,
∴∠B=80°.
【培优训练】
9.(10分)如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC上任意一点,过D分别向AB,AC引垂线,垂足分别为E,F点.21教育名师原创作品
(1)当点D在BC的什么位置时,DE=DF?并证明.
(2)过C点作AB边上的高CG,请问DE,DF,CG的长之间存在怎样的等量关系?并加以证明.
【解析】(1)当点D在BC的中点上时,DE=DF,
证明如下:∵D为BC中点,∴BD=CD,∵AB=AC,
∴∠B=∠C,∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴∠DEB=∠DFC=90°,
∵在△BED和△CFD中∵∠B=∠C,
∠DEB=∠DFC,BD=CD,
∴△BED≌△CFD(A.A.S.),∴DE=DF.
(2)CG=DE+DF.证明如下:连接AD,
∵S三角形ABC=S三角形ADB+S三角形ADC,
∴AB×CG=AB×DE+AC×DF,
∵AB=AC,∴CG=DE+DF.
