13.3.2 等腰三角形的判定 达标检测AB卷
A卷基础达标
题组一等腰三角形的判定与应用
1.如图,AD是△ABC的边BC上的高,添加下列条件中的某一个不能推出△ABC为等腰三角形的是 ( )21教育网
A.∠BAD=∠ACD
B.∠BAD=∠CAD
C.BD=CD
D.AD所在的直线是BC的垂直平分线
2.在△ABC中,∠A的相邻外角是70°,要使△ABC为等腰三角形,则∠B为
( )
A.70° B.35° C.110°或35° D.110°
3.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=108°,∠ADB=72°,DE平分∠ADB,则图中等腰三角形的个数是 .21cnjy.com
4.已知,如图,OM为∠AOB的平分线,P为OM上一点,PC垂直OA于点C,PD垂直OB于点D,连接CD,则图中等腰三角形的个数为 .
5.如图,已知AB=AC,点D是AB上一点,DE⊥BC于点E.ED的延长线交CA的延长线于点F.
求证:AD=AF.
6.已知:如图,锐角△ABC的两条高BD,CE相交于点O,且OB=OC,
(1)求证:△ABC是等腰三角形.
(2)判断点O是否在∠BAC的平分线上,并说明理由.
题组二等边三角形的判定
1.若一个三角形的两个角的平分线分别垂直对边,则这个三角形是 ( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等边三角形 D.等腰直角三角形
2.一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶40海里到达B地,再由B地向北偏西20°的方向行驶40海里到达C地,则A,C两地相距 ( )21·cn·jy·com
A.30海里 B.40海里
C.50海里 D.60海里
3.等腰三角形的顶角为60°,底边为6cm,则腰长为 .
4.如图,点D,E,F分别是等边△ABC各边上的点,且AD=BE=CF,则△DEF的形状是 .www.21-cn-jy.com
5.等边△ABC中,点P在△ABC内,点Q在△ABC外,且∠ABP=∠ACQ,BP=CQ,问△APQ是什么形状的三角形?试说明你的结论.
6.如图,点D,E在线段BC上,BE=CD,∠B=∠C,∠AEB=120°,求证:△ADE为等边三角形.【来源：21·世纪·教育·网】
【鉴前毖后】如图,△ABC中,AB=AC,∠A=36°,以B为圆心,BC长为半径画弧,分别交AC,AB于D,E两点,连接BD,DE,则除△ABC外,图中是等腰三角形的还有哪几个三角形?21·世纪*教育网
(1)错因:_________________________________________________.
(2)纠错:_______________________________________________
B卷能力达标
(测试时间40分钟 试题总分60分)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.在△ABC中,∠B=60°,AB=AC,BC=3,则△ABC的周长为 ( )
A.9 B.8 C.6 D.12
2.如图所示的正方形网格中,网格线的交点称为格点,已知A,B两格点,如果点C也是图中的格点,且使得△ABC为等腰三角形,则满足条件的点C的个数是 www-2-1-cnjy-com
( )
A.3个 B.8个 C.5个 D.6个
3.在等边△ABC中,D是AC上一点,连接BD,将△BCD绕点B逆时针旋转60°,得到△BAE,连接ED,若BC=5,BD=4,则下列结论错误的是 ( )2-1-c-n-j-y
A.AE∥BC B.∠ADE=∠BDC
C.△BDE是等边三角形 D.△ADE的周长是9
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.上午8时,一条船从海岛A出发,以20n mile/h的速度向正北航行,11时到达海岛B处,从A,B望灯塔C,测得∠NAC=40°,∠NBC=80°,求从海岛B到灯塔C的距离是 .2·1·c·n·j·y
5.如图,E是等边△ABC中AC边上的点,∠1=∠2,BE=CD,则△ADE的形状是 .
6.如图所示,在△ABC中,∠B=90°,AB=12cm,BC=16cm,点P从点A出发沿AB边向点B以1cm/s的速度运动,点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm/s的速度运动,如果P,Q同时出发, 秒后△PQB是以BP,BQ为腰的等腰三角形.21*cnjy*com
三、解答题(共36分)
7.(8分)在△ABC中,AD平分∠BAC.BD⊥AD,垂足为点D,过点D作DE//AC,交AB于点E,若AB=5,求线段DE的长.【来源：21cnj*y.co*m】
8.(8分)如图,在△ABC中,AB=AC,点D是BC的中点,点E在AD上.
(1)求证:BE=CE.
(2)若BE的延长线交AC于点F,且BF⊥AC,垂足为F,∠BAC=45°,原题设其他条件不变.
求证:△AEF≌△BCF.
9.(10分)如图,在等边三角形ABC中,点D,E分别在边BC,AC上,且DE∥AB,过点E作EF⊥DE,交BC的延长线于点F.(1)求∠F的度数.
(2)若CD=2,求DF的长.
【培优训练】10.(10分)如图,△ABC中,AB=AC,∠A=36°,称满足此条件的三角形为黄金等腰三角形.请完成以下操作:(画图不要求使用圆规,以下问题所指的等腰三角形个数均不包括△ABC)
(1)在图①中画1条线段,使图中有2个等腰三角形,并直接写出这2个等腰三角形的顶角度数分别是 度和 度.
(2)在图②中画2条线段,使图中有4个等腰三角形.
(3)继续按以上操作发现:在△ABC中画n条线段,则图中有 个等腰三角形,其中有 个黄金等腰三角形.21世纪教育网版权所有
13.3.2 等腰三角形的判定 达标检测AB卷
A卷基础达标
题组一等腰三角形的判定与应用
1.如图,AD是△ABC的边BC上的高,添加下列条件中的某一个不能推出△ABC为等腰三角形的是 ( )【出处：21教育名师】
A.∠BAD=∠ACD
B.∠BAD=∠CAD
C.BD=CD
D.AD所在的直线是BC的垂直平分线
【解析】选A.根据A的条件不能判定△ABD与△ACD全等;由B,C的条件都可以判定△ABD与△ACD全等,进而得到AB=AC,D可以直接应用线段垂直平分线的性质得到AB=AC.【来源：21·世纪·教育·网】
2.在△ABC中,∠A的相邻外角是70°,要使△ABC为等腰三角形,则∠B为
( )
A.70° B.35° C.110°或35° D.110°
【解析】选B.∵∠A的相邻外角是70°,∴∠A=180°-70°=110°,
∵△ABC为等腰三角形,∴∠B=(180°-110°)=35°.
3.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=108°,∠ADB=72°,DE平分∠ADB,则图中等腰三角形的个数是 .21教育名师原创作品
【解析】∵AB=AC,∠BAC=108°,∴∠B=∠C=36°,∵∠ADB=72°,∴∠BAD=72°,∴∠CAD=36°,∵DE平分∠ADB,∴∠BDE=36°,∴∠AED=72°,∴BE=ED=AD=DC,
AB=BD,∴△ABC,△ABD,△ADC,△ADE,△BED都是等腰三角形.
答案:5
4.已知,如图,OM为∠AOB的平分线,P为OM上一点,PC垂直OA于点C,PD垂直OB于点D,连接CD,则图中等腰三角形的个数为 .
【解析】①∵OP平分∠AOB,PC⊥OA,PD⊥OB,∴PC=PD.
∴△PCD是等腰三角形.
②∵PC=PD,∴∠PCD=∠PDC.
又∵PC⊥OA,PD⊥OB,
∴∠PCO=∠PDO=90°.
∴∠OCD=∠CDO.∴OC=OD.
∴△OCD是等腰三角形.
答案:2
5.如图,已知AB=AC,点D是AB上一点,DE⊥BC于点E.ED的延长线交CA的延长线于点F.
求证:AD=AF.
【证明】∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
∵DE⊥BC于点E,
∴∠DEB=∠FEC=90°,
∴∠B+∠EDB=∠C+∠F=90°.
∴∠EDB=∠F.
又∵∠EDB=∠ADF.
∴∠F=∠ADF,
∴AD=AF.
【知识归纳】证明线段相等常用的证法
1.若两条线段属于两个三角形,则考虑对应的三角形全等.
2.若两条线段是同一个三角形的两边,则考虑用等角对等边证明.
3.寻找中间线段,通过等量代换来证明.
6.已知:如图,锐角△ABC的两条高BD,CE相交于点O,且OB=OC,
(1)求证:△ABC是等腰三角形.
(2)判断点O是否在∠BAC的平分线上,并说明理由.
【解析】(1)∵BD,CE是△ABC的高,
∴∠BEC=∠CDB=90°.
∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB.
又∵BC是公共边,∴△BEC≌△CDB(AAS).
∴∠ABC=∠ACB.∴AB=AC,即△ABC是等腰三角形.
(2)点O在∠BAC的平分线上.
理由如下:∵△BEC≌△CDB,∴BD=CE.
∵OB=OC,∴OD=OE.又∵OD⊥AC,OE⊥AB,
∴点O在∠BAC的平分线上.
题组二等边三角形的判定
1.若一个三角形的两个角的平分线分别垂直对边,则这个三角形是 ( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等边三角形 D.等腰直角三角形
【解析】选C.一个三角形的两个角的平分线分别垂直对边,则角平分线分成的两个三角形全等(A.S.A.),则三角形中这个角的两边相等,同理可求另一个角的两边也相等,即三角形的三边都相等,所以这是一个等边三角形.2·1·c·n·j·y
2.一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶40海里到达B地,再由B地向北偏西20°的方向行驶40海里到达C地,则A,C两地相距 ( )21*cnjy*com
A.30海里 B.40海里
C.50海里 D.60海里
【解析】选B.由题意得∠ABC=60°,AB=BC.
∴△ABC是等边三角形,∴AC=AB=40海里.
3.等腰三角形的顶角为60°,底边为6cm,则腰长为 .
【解析】由等腰三角形的一个内角是60°,可得此等腰三角形为等边三角形,所以腰长为6cm.
答案:6cm
4.如图,点D,E,F分别是等边△ABC各边上的点,且AD=BE=CF,则△DEF的形状是 .www.21-cn-jy.com
【解析】∵△ABC为等边三角形,且AD=BE=CF,∴AF=BD=CE,又∵∠A=∠B=∠C=
60°,∴△ADF≌△BED≌△CFE(S.A.S.),∴DF=ED=EF,∴△DEF是一个等边三角形.【来源：21cnj*y.co*m】
答案:等边三角形
5.等边△ABC中,点P在△ABC内,点Q在△ABC外,且∠ABP=∠ACQ,BP=CQ,问△APQ是什么形状的三角形?试说明你的结论.
【解题指南】先证△ABP≌△ACQ得AP=AQ,再证∠PAQ=60°,从而得出△APQ是等边三角形.
【解析】△APQ为等边三角形.证明:∵△ABC为等边三角形,
∴AB=AC.在△ABP与△ACQ中,
∵
∴△ABP≌△ACQ(S.A.S.).
∴AP=AQ,∠BAP=∠CAQ.
∵∠BAC=∠BAP+∠PAC=60°,
∴∠PAQ=∠CAQ+∠PAC=60°,
∴△APQ是等边三角形.
【知识归纳】等边三角形证明题的几种类型
1.求角度.当题目出现等边三角形时,利用等边三角形三个角都是60°,或者三线合一来求角的度数.
2.求线段的长度.在证明线段相等或者和差问题时,往往利用等边三角形三条边相等来进行证明.
6.如图,点D,E在线段BC上,BE=CD,∠B=∠C,∠AEB=120°,求证:△ADE为等边三角形.21·cn·jy·com
【证明】∵∠B=∠C,∴AB=AC,
∵BE=CD,∴△ABE≌△ACD,
∴AE=AD,∵∠AEB=120°,
∴∠AED=180°-∠AEB=180°-120°=60°,
∴△ADE为等边三角形.
【知识归纳】等边三角形的判定方法
1.有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形.
2.三边相等的三角形是等边三角形.
3.三个角都相等的三角形是等边三角形.
4.有两个角是60°的三角形是等边三角形.
【鉴前毖后】如图,△ABC中,AB=AC,∠A=36°,以B为圆心,BC长为半径画弧,分别交AC,AB于D,E两点,连接BD,DE,则除△ABC外,图中是等腰三角形的还有哪几个三角形?【版权所有：21教育】
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答案: (1)解中没有考虑△BAD和△AED
(2)除△ABC外,等腰三角形还有△BDC,△BED,△BAD,△AED.
B卷能力达标
(测试时间40分钟 试题总分60分)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.在△ABC中,∠B=60°,AB=AC,BC=3,则△ABC的周长为 ( )
A.9 B.8 C.6 D.12
【解析】选A.在△ABC中,∵∠B=60°,AB=AC,
∴∠B=∠C=60°,∴∠A=180°-60°-60°=60°,
∴△ABC为等边三角形.
∵BC=3,∴△ABC的周长=3BC=9.
2.如图所示的正方形网格中,网格线的交点称为格点,已知A,B两格点,如果点C也是图中的格点,且使得△ABC为等腰三角形,则满足条件的点C的个数是 21·世纪*教育网
( )
A.3个 B.8个 C.5个 D.6个
【解析】选B.如图,以AB为底边的点有4个,在线段AB的垂直平分线上,以AB为腰的有4个.满足条件的点C的个数是8个.
【易错警示】当问题的已知条件中没有明确底和腰的长度时,必须充分运用分类讨论思想将可能出现的情况考虑清楚,注意不要漏解.
3.在等边△ABC中,D是AC上一点,连接BD,将△BCD绕点B逆时针旋转60°,得到△BAE,连接ED,若BC=5,BD=4,则下列结论错误的是 ( )21*cnjy*com
A.AE∥BC B.∠ADE=∠BDC
C.△BDE是等边三角形 D.△ADE的周长是9
【解析】选B.由旋转易知△DBC≌△EBA,∠DBE=60°,∴∠BAE=∠C=∠ABC=60°,
∴AE∥BC;△DBE是等边三角形;△ADE的周长为AE+AD+DE=CD+AD+BD=AC+BD=5+421cnjy.com
=9.故A,C,D都正确.
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.上午8时,一条船从海岛A出发,以20n mile/h的速度向正北航行,11时到达海岛B处,从A,B望灯塔C,测得∠NAC=40°,∠NBC=80°,求从海岛B到灯塔C的距离是 .
【解题指南】根据已知可求得AB的长,再根据三角形外角的性质可求得∠A=
∠C,即AB=BC,从而求解.
【解析】∵船的速度是20n mile/h,从A到B所用的时间=11-8=3h,∴AB=20×3=60(n mile),
∵∠NAC=40°,∠NBC=80°=∠A+∠C,
∴∠C=40°,∴BC=AB=60(n mile).
答案:60n mile
5.如图,E是等边△ABC中AC边上的点,∠1=∠2,BE=CD,则△ADE的形状是 .
【解析】∵△ABC为等边三角形,∴AB=AC,
∵∠1=∠2,BE=CD,∴△ABE≌△ACD,
∴AE=AD,∠BAE=∠CAD=60°,
∴△ADE是等边三角形.
答案:等边三角形
6.如图所示,在△ABC中,∠B=90°,AB=12cm,BC=16cm,点P从点A出发沿AB边向点B以1cm/s的速度运动,点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm/s的速度运动,如果P,Q同时出发, 秒后△PQB是以BP,BQ为腰的等腰三角形.21世纪教育网版权所有
【解析】设经过t秒后,△PBQ是等腰三角形,
根据题意可得,12-t=2t,3t=12,t=4,
即4秒后△PQB为以BP,BQ为腰的等腰三角形.
答案:4
三、解答题(共36分)
7.(8分)在△ABC中,AD平分∠BAC.BD⊥AD,垂足为点D,过点D作DE//AC,交AB于点E,若AB=5,求线段DE的长.21教育网
【解析】∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD,
∵DE∥AC,∴∠CAD=∠ADE,
∴∠BAD=∠ADE,∴AE=DE,
∵AD⊥DB,∴∠ADB=90°,
∴∠EAD+∠ABD=90°,∠ADE+∠BDE=∠ADB=90°,
∴∠ABD=∠BDE,∴DE=BE,
∵AB=5,∴DE=BE=AE=AB=2.5.
8.(8分)如图,在△ABC中,AB=AC,点D是BC的中点,点E在AD上.
(1)求证:BE=CE.
(2)若BE的延长线交AC于点F,且BF⊥AC,垂足为F,∠BAC=45°,原题设其他条件不变.
求证:△AEF≌△BCF.
【证明】(1)∵AB=AC,D是BC的中点,
∴∠BAE=∠EAC.
在△ABE和△ACE中,
∵AB=AC,∠BAE=∠EAC,AE=AE,
∴△ABE≌△ACE.
∴BE=CE.
(2)∵∠BAC=45°,BF⊥AF,
∴△ABF为等腰直角三角形,∴AF=BF,
由(1)知AD⊥BC,∴∠EAF=∠CBF,
在△AEF和△BCF中,AF=BF,
∠AFE=∠BFC=90°,∠EAF=∠CBF,
∴△AEF≌△BCF.
9.(10分)如图,在等边三角形ABC中,点D,E分别在边BC,AC上,且DE∥AB,过点E作EF⊥DE,交BC的延长线于点F.(1)求∠F的度数.
(2)若CD=2,求DF的长.
【解析】(1)∵△ABC为等边三角形,∴∠B=60°,
∵DE∥AB,∴∠EDC=∠B=60°.
∵EF⊥DE,∴∠DEF=90°,
∴∠F=90°-∠EDC=30°.
(2)∵∠ACB=60°,∠EDC=60°.
∴△EDC为等边三角形.∴ED=DC=2,
∵EF⊥DE,∴∠DEF=90°,
∴∠CEF=90°-∠DEC=30°=∠F,∴CE=CF,
∴DF=DC+CF=2CD=4.
【培优训练】
10.(10分)如图,△ABC中,AB=AC,∠A=36°,称满足此条件的三角形为黄金等腰三角形.请完成以下操作:(画图不要求使用圆规,以下问题所指的等腰三角形个数均不包括△ABC)www-2-1-cnjy-com
(1)在图①中画1条线段,使图中有2个等腰三角形,并直接写出这2个等腰三角形的顶角度数分别是 度和 度.
(2)在图②中画2条线段,使图中有4个等腰三角形.
(3)继续按以上操作发现:在△ABC中画n条线段,则图中有 个等腰三角形,其中有 个黄金等腰三角形.2-1-c-n-j-y
【解析】(1)如图①所示:∵AB=AC,∠A=36°,
∴当AE=BE,则∠A=∠ABE=36°,
则∠AEB=108°,则∠EBC=36°,
∴这2个等腰三角形的顶角度数分别是108度和36度.
答案:108 36
(2)如图②所示.
(3)如图③所示:当画1条线段时可得到2个等腰三角形;
当画2条线段时可得到4个等腰三角形;
当画3条线段时可得到6个等腰三角形;…
∴在△ABC中画n条线段,则图中有2n个等腰三角形,其中有n个黄金等腰三角形.
答案:2n n
