江苏省南通市启东市2016-2017学年高一（上）期末数学试卷（解析版）

2016-2017学年江苏省南通市启东市高一（上）期末数学试卷
　
一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）
1．求值：sin1440°=　　．
2．计算10lg3+log525=　　．
3．设向量=（k，2），=（1，﹣1），且∥，则实数k的值为　　．
4．满足{1} A {1，2，3，4}的集合A的个数为　　．
5．设函数f（x）=，则f（f（2））=　　．
6．已知α∈（0，π），sinα+cosα=﹣，则tanα=　　．
7．若函数f（x）=3x+b的图象不经过第二象限，则b的取值范围为　　．
8．已知sinθ=，θ∈（0，），则sin（2θ﹣）=　　．
9．平面向量⊥，||=2，则 =　　．
10．已知函数y=f（x），x∈R，对于任意的x，y∈R，f（x+y）=f（x）+f（y），若f（1）=，则f（﹣2016）=　　．
11．若α∈（，2π），化简+=　　．
12．函数f（x）=log2（ax2﹣x﹣2a）在区间（﹣∞，﹣1）上是单调减函数，则实数a的取值范围是　　．
13．若，是单位向量，且 =，若向量满足 = =2，则||=　　．
14．已知函数f（x）=2sin（2x﹣）﹣1在区间[a，b]（a，b∈R，且a＜b）上至少含有10个零点，在所有满足条件的[a，b]中，b﹣a的最小值为　　．
　
二、解答题（共6小题，满分90分）
15．设函数f（x）=+的定义域是A，集合B={x|m≤x≤m+2}．
（1）求定义域A；
（2）若A∪B=A，求m的取值范围．
16．如图，在平行四边形ABCD中，P，Q分别是BC和CD的中点．
（1）若AB=2，AD=1，∠BAD=60°，求 及cos∠BAC的余弦值；
（2）若=λ+，求λ+μ的值．
17．已知函数y=f（x）是R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）=log（1﹣x）+x．
（1）求f（1）的值；
（2）求函数y=f（x）的表达式，并直接写出其单调区间（不需要证明）；
（3）若f（lga）+2＜0，求实数a的取值范围．
18．已知a∈R，函数f（x）=x2﹣2ax+5．
（1）若a＞1，且函数f（x）的定义域和值域均为[1，a]，求实数a的值；
（2）若不等式x|f（x）﹣x2|≤1对x∈[，]恒成立，求实数a的取值范围．
19．如图所示，我市某居民小区拟在边长为1百米的正方形地块ABCD上划出一个三角形地块APQ种植草坪，两个三角形地块PAB与QAD种植花卉，一个三角形地块CPQ设计成水景喷泉，四周铺设小路供居民平时休闲散步，点P在边BC上，点Q在边CD上，记∠PAB=a．
（1）当∠PAQ=时，求花卉种植面积S关于a的函数表达式，并求S的最小值；
（2）考虑到小区道路的整体规划，要求PB+DQ=PQ，请探究∠PAQ是否为定值，若是，求出此定值，若不是，请说明理由．
20．已知函数f（x）=sinxcosx+sin2x﹣．
（1）求f（x）的最小正周期及其对称轴方程；
（2）设函数g（x）=f（+），其中常数ω＞0，|φ|＜．
（i）当ω=4，φ=时，函数y=g（x）﹣4λf（x）在[，]上的最大值为，求λ的值；
（ii）若函数g（x）的一个单调减区间内有一个零点﹣，且其图象过点A（，1），记函数g（x）的最小正周期为T，试求T取最大值时函数g（x）的解析式．
　
2016-2017学年江苏省南通市启东市高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
　
一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）
1．求值：sin1440°=　0　．
【考点】运用诱导公式化简求值．
【分析】直接利用诱导公式化简为sin0°，求出它的值即可．
【解答】解：sin1440°=sin（4×360°）=sin0°=0．
故答案为：0．
　
2．计算10lg3+log525=　5　．
【考点】对数的运算性质．
【分析】利用对数的运算性质即可得出．
【解答】解：原式=3+2=5．
故答案为：5．
　
3．设向量=（k，2），=（1，﹣1），且∥，则实数k的值为　﹣2　．
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．
【分析】利用向量共线定理即可得出．
【解答】解：∵∥，∴﹣k﹣2=0，解得k=﹣2．
故答案为：﹣2．
　
4．满足{1} A {1，2，3，4}的集合A的个数为　7　．
【考点】子集与真子集．
【分析】根据子集和真子集的定义求出A的个数即可．
【解答】解：若{1} A {1，2，3，4}，
则A={1，2}或{1，3}或{1，4}
或{1，2，3}或{1，2，4}或{1，3，4}或{1，2，3，4}
显然这样的集合A有7个，
故答案为：7．
　
5．设函数f（x）=，则f（f（2））=　3　．
【考点】函数的值．
【分析】先求出f（2）=﹣22+2=﹣2，从而f（f（2））=f（﹣2），由此能求出结果．
【解答】解：∵函数f（x）=，
∴f（2）=﹣22+2=﹣2，
f（f（2））=f（﹣2）=（）﹣2﹣1=3．
故答案为：3．
　
6．已知α∈（0，π），sinα+cosα=﹣，则tanα=　﹣　．
【考点】同角三角函数基本关系的运用．
【分析】利用同角三角函数的基本关系、以及三角函数在各个象限中的符号，求得sinα
和cosα的值，可得则tanα的值．
【解答】解：∵α∈（0，π），sinα+cosα=﹣，
∴α为钝角，结合sin2α+cos2α=1，
可得sinα=，cosα=﹣，则tanα==﹣，
故答案为：﹣．
　
7．若函数f（x）=3x+b的图象不经过第二象限，则b的取值范围为　（﹣∞，﹣1]　．
【考点】指数函数的图象与性质．
【分析】由条件可得1+b≤0，求得
b的范围即可．
【解答】解：由函数y=3x+b的图象不经过第二象限，
可得1+b≤0，求得
b≤﹣1，
故答案为：（﹣∞，﹣1]．
　
8．已知sinθ=，θ∈（0，），则sin（2θ﹣）=　　．
【考点】三角函数的化简求值．
【分析】由已知求出cosθ，进一步得到sin2θ与cos2θ的值，展开两角差的正弦得答案．
【解答】解：∵sinθ=，θ∈（0，），
∴cosθ=，
∴sin（2θ﹣）=
==
==．
故答案为：．
　
9．平面向量⊥，||=2，则 =　4　．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】由已知结合向量减法的三角形法则化简求解．
【解答】解：∵⊥，且||=2，
∴=0，
则．
故答案为：4．
　
10．已知函数y=f（x），x∈R，对于任意的x，y∈R，f（x+y）=f（x）+f（y），若f（1）=，则f（﹣2016）=　1008　．
【考点】函数的值．
【分析】推导出函数f（x）是奇函数，由此根据f（1）=，f（﹣2016）=f，x∈R，对于任意的x，y∈R，f（x+y）=f（x）+f（y），
∴令x=0，y=0
得
f（0）=f（0）+f（0）即
f（0）=0，
令y=﹣x
代入得
f（0）=f（x）+f（﹣x）=0
所以原函数是奇函数，
∵f（1）=，
∴f（﹣2016）=f=2016×=1008．
故答案为：1008．
　
11．若α∈（，2π），化简+=　　．
【考点】三角函数的化简求值．
【分析】把根式内部的代数式化为完全平方式，结合α的范围开方化简得答案．
【解答】解：∵α∈（，2π），∴∈（），
∴+=
=．
故答案为：．
　
12．函数f（x）=log2（ax2﹣x﹣2a）在区间（﹣∞，﹣1）上是单调减函数，则实数a的取值范围是　[0，1）　．
【考点】对数函数的图象与性质．
【分析】令g（x）=ax2﹣x﹣2a，通过讨论a的范围，结合函数的单调性以及二次函数的性质求出a的范围即可．
【解答】解：令g（x）=ax2﹣x﹣2a，
a=0时，g（x）=﹣x，在（﹣∞，﹣1）递减，
故f（x）在（﹣∞，﹣1）递减，符合题意，
a≠0时，则a＞0，g（x）的对称轴x=＞0，
故g（x）在（﹣∞，﹣1）递减，
只需g（﹣1）=a+1﹣2a＞0即a＜1即可，
综上：0≤a＜1，
故答案为：[0，1）．
　
13．若，是单位向量，且 =，若向量满足 = =2，则||=　　．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】，是单位向量，且 =，不妨设=（1，0），=．设=（x，y）．利用 = =2，即可得出．
【解答】解：∵，是单位向量，且 =，
不妨设=（1，0），=．
设=（x，y）．
∵ = =2，∴x=2，
y=2，
解得y=．∴=（2，）．
则||==．
故答案为：．
　
14．已知函数f（x）=2sin（2x﹣）﹣1在区间[a，b]（a，b∈R，且a＜b）上至少含有10个零点，在所有满足条件的[a，b]中，b﹣a的最小值为　　．
【考点】正弦函数的图象．
【分析】根据函数零点的条件，求出相邻两个零点的间隔，进行求解即可．
【解答】解：函数f（x）=2sin（2x﹣）﹣1，
令f（x）=0，即2sin（2x﹣）﹣1，
sin（2x﹣）=，
解得：x=或x=，（k∈Z）．
故相邻的零点之间的间隔依次为，．
y=f（x）在[a，b]上至少含有6个零点，等价于b﹣a的最小值为4×+5×=．
故答案为：．
　
二、解答题（共6小题，满分90分）
15．设函数f（x）=+的定义域是A，集合B={x|m≤x≤m+2}．
（1）求定义域A；
（2）若A∪B=A，求m的取值范围．
【考点】集合的包含关系判断及应用；函数的定义域及其求法．
【分析】（1）利用函数的定义域能求出定义域A．
（2）由A={x|1≤x≤4}，B={x|m≤x≤m+2}，A∪B=A，知B A，根据B= 、B≠ 分类讨论，能求出m的取值范围．
【解答】解：（1）∵函数f（x）=+的定义域是A，
∴定义域A={x|}={x|1≤x≤4}．
（2）∵A={x|1≤x≤4}，B={x|m≤x≤m+2}，A∪B=A，
∴B A，
当B= 时，m＞m+2，无解；
当B≠ 时，，解得1≤m≤2．
∴m的取值范围是[1，2]．
　
16．如图，在平行四边形ABCD中，P，Q分别是BC和CD的中点．
（1）若AB=2，AD=1，∠BAD=60°，求 及cos∠BAC的余弦值；
（2）若=λ+，求λ+μ的值．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】（1）由已知中AB=2，AD=1，∠BAD=60°，代入向量数量积公式，可得 ，求出||，代入cos∠BAC=可得cos∠BAC的余弦值；
（2）若=λ+，则，解得答案．
【解答】解：（1）∵平行四边形ABCD中，AB=2，AD=1，∠BAD=60°，
∴ = （+）=2+ =22+2×1×cos60°=5，
||2=2=（+）2=2+2 +2=22+2×2×1×cos60°+1=7，
∴||=，
cos∠BAC===；
（2）∵P，Q分别是BC和CD的中点．
∴=+，
=﹣，
∵=λ+，
∴+=λ（+）+μ（﹣），
∴，
解得：，
∴λ+μ=
　
17．已知函数y=f（x）是R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）=log（1﹣x）+x．
（1）求f（1）的值；
（2）求函数y=f（x）的表达式，并直接写出其单调区间（不需要证明）；
（3）若f（lga）+2＜0，求实数a的取值范围．
【考点】对数函数的图象与性质；函数奇偶性的性质．
【分析】（1）根据函数的奇偶性求出f（1）即f（﹣1）的值即可；
（2）令x＞0，得到﹣x＜0，根据函数的奇偶性求出f（x）的解析式，从而求出函数的单调区间即可；
（3）问题转化为f（lga）＜﹣2，得到关于a的不等式，解出即可．
【解答】解：（1）f（1）=f（﹣1）=﹣2；
（2）令x＞0，则﹣x＜0，
则f（﹣x）=（1+x）﹣x=f（x），
故x＞0时，f（x）=（1+x）﹣x，
故f（x）=；
故f（x）在（﹣∞，0]递增，在（0，+∞）递减；
（3）若f（lga）+2＜0，即f（lga）＜﹣2，
lga＞0时，f（lga）＜f（1），则lga＞1，
lga＜0时，f（lga）＜f（﹣1），则lga＜﹣1，
故lga＞1或lga＜﹣1，
解得：a＞10或0＜a＜．
　
18．已知a∈R，函数f（x）=x2﹣2ax+5．
（1）若a＞1，且函数f（x）的定义域和值域均为[1，a]，求实数a的值；
（2）若不等式x|f（x）﹣x2|≤1对x∈[，]恒成立，求实数a的取值范围．
【考点】二次函数的性质．
【分析】（1）判断出f（x）的单调性，利用单调性列方程解出；（2）问题转化为a≥且a≤在x∈[，]恒成立，根据函数的单调性求出a的范围即可．
【解答】解：（1）∵f（x）的图象开口向上，对称轴为x=a＞1，
∴f（x）在[1，a]上单调递减，
∴f（1）=a，即6﹣2a=a，解得a=2．
（2）不等式x|f（x）﹣x2|≤1对x∈[，]恒成立，
即x|2ax﹣5|≤1对x∈[，]恒成立，
故a≥且a≤在x∈[，]恒成立，
令g（x）=，x∈[，]，则g′（x）=﹣，
令g′（x）＞0，解得：≤x＜，令g′（x）＜0，解得：＜x≤，
故g（x）在[，）递增，在（，]递减，
故g（x）max=g（）=，
令h（x）=，x∈[，]，h′（x）=＜0，
故h（x）在x∈[，]递减，
h（x）min=h（）=7，
综上：≤a≤7．
　
19．如图所示，我市某居民小区拟在边长为1百米的正方形地块ABCD上划出一个三角形地块APQ种植草坪，两个三角形地块PAB与QAD种植花卉，一个三角形地块CPQ设计成水景喷泉，四周铺设小路供居民平时休闲散步，点P在边BC上，点Q在边CD上，记∠PAB=a．
（1）当∠PAQ=时，求花卉种植面积S关于a的函数表达式，并求S的最小值；
（2）考虑到小区道路的整体规划，要求PB+DQ=PQ，请探究∠PAQ是否为定值，若是，求出此定值，若不是，请说明理由．
【考点】正弦定理．
【分析】（1）由已知利用三角函数的定义可求PB=100tanα，DQ=100tan（﹣α），利用三角形面积公式及三角函数恒等变换的应用化简可求S花卉种植面积=，其中α∈[0，]，利用正弦函数的性质可求最小值．
（2）设∠PAB=α，∠QAD=β，CP=x，CQ=y，则可求BP，DQ，利用两角和的正切函数公式可求tan（α+β）=，由题意PB+DQ=PQ，可求：x+y=100+，即可得解tan（α+β）=1，可求α+β=，即可得解．
【解答】（本题满分为12分）
解：（1）∵边长为1百米的正方形ABCD中，∠PAB=a，∠PAQ=，
∴PB=100tanα，DQ=100tan（﹣α﹣）=100tan（﹣α），
∴S花卉种植面积=S△ABP+S△ADQ==100×100tanα+100tan（﹣α）
==，其中α∈[0，]，
∴当sin（2α+）=1时，即θ=时，S取得最小值为5000（2﹣）．…
（2）设∠PAB=α，∠QAD=β，CP=x，CQ=y，则BP=100﹣x，DQ=100﹣y，
在△ABP中，tanα=，在△ADQ中，tanβ=，
∴tan（α+β）==，
∵PB+DQ=PQ，
∴100﹣x+100﹣y=，整理可得：x+y=100+，
∴tan（α+β）===1，
∴α+β=，
∴∠PAQ是定值，且∠PAQ=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
　
20．已知函数f（x）=sinxcosx+sin2x﹣．
（1）求f（x）的最小正周期及其对称轴方程；
（2）设函数g（x）=f（+），其中常数ω＞0，|φ|＜．
（i）当ω=4，φ=时，函数y=g（x）﹣4λf（x）在[，]上的最大值为，求λ的值；
（ii）若函数g（x）的一个单调减区间内有一个零点﹣，且其图象过点A（，1），记函数g（x）的最小正周期为T，试求T取最大值时函数g（x）的解析式．
【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．
【分析】（1）利用二倍角以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期，结合三角函数的图象和性质对称轴方程
（2）（i）求出g（x）的解析式，当ω=4，φ=时，求函数y=g（x）﹣4λf（x），化简，结合三角函数的图象和性质在[，]上的最大值为，讨论，可求λ的值．
（ii）若函数的周期最大为T，单调减区间内有一个零点﹣，且其图象过点A（，1），则有==3π，求解T的最大值．可得ω；图象过点A（，1），带入g（x）化简，求解φ，从而可得函数g（x）的解析式．
【解答】解：（1）函数f（x）=sinxcosx+sin2x﹣．
化简可得：f（x）=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣）
f（x）的最小正周期T=，
由2x﹣=，（k∈Z），可得对称轴方程为：x=，（k∈Z）．
（2）由函数g（x）=f（+）=sin（ωx+φ），
（i）当ω=4，φ=时，函数y=g（x）﹣4λf（x）=sin（4x+）﹣4λsin（2x﹣）
=cos（4x﹣）﹣4λsin（2x﹣）=1﹣2sin2（2x﹣）﹣4λsin（2x﹣）=﹣2[sin（2x﹣）+λ]2+1+2λ2．
∵x∈[，]上，
则2x﹣∈[0，]．
故sin（2x﹣）∈[0，1]．
当λ∈[﹣1，0]时，则有1+2λ2=，解得：λ=；
当λ∈（0，+∞）时，sin（2x﹣）=0时，y取得最大值，此时﹣2[sin（2x﹣）+λ]2+1+2λ2=1，与题意不符．
当λ∈（﹣∞，﹣1）时，sin（2x﹣）=1时，y取得最大值，此时﹣2[1+λ]2+1+2λ2=﹣1﹣4λ=，解得：λ=﹣，不在其范围内，故舍去．
故得满足题意的λ的值为．
（ii）函数g（x）=sin（ωx+φ），若函数的周期最大为T，单调减区间内有一个零点﹣，
且其图象过点A（，1），则有==3π，解得：T=4π，∴ω==．
点（，1）在图象上，可得：
+φ=2kπ．∵|φ|＜．∴φ=﹣不符合题意．舍去．
当==3π，解得：T=．∴ω=．
点（，0）在图象上，
+φ=﹣π+2kπ．∵|φ|＜．∴φ=，
∴g（x）的解析式为：g（x）=sin（x﹣）
点（，1）在图象上，
验证：sin（）=sin=1符合题意．
故得g（x）的解析式为：g（x）=sin（x﹣）．
　
2017年2月17日