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初中数学北师大版七年级下册
第四章
三角形
1
认识三角形
导入
在生活中，三角形是非常普通的图形之一.
你能在下面的图中找出三角形吗？
导入
在生活中，三角形是非常普通的图形之一.
你能在下面的图中找出三角形吗？
新课
观察下面的屋顶框架图：
（1）你能从图\4-1
中找出
4
个不同的三角形吗？
（2）这些三角形有什么共同的特点？
新课
由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所
组成的图形叫做三角形
．
三角形有三条边、三个
内角和三个顶点.“三角形”
可以用符号“△”
表示，如图
4-2
中顶点是
A，B，C
的三角形，记作
“△ABC
”
．
新课
下面哪一幅图是三角形？
（1）
（2）
（3）
（4）
新课
△ABC
的三边，有时也用
a，b，c
来表示．
如图
3-3
中，顶点
A
所对的边
BC
用
a
表示，边
AC、边
AB
分别用
b，c
来表示．
新课
做一做
我们知道，将一个三角形的三个角撕下来，拼
在一起，可以得到三角形的内角和为180°．
小明只撕下三角形的一个角，也得到了上面的
结论，他是这样做的：
新课
（1）如图
4-4所示，剪一个三角形纸片，它的三个
内角分别为
∠
1，∠
2
和
∠
3.
新课
（2）将
∠
1
撕下，按图
4-5
所示进行摆放，其中
∠1
的顶点与
∠2
的顶点重合，它的一条边与∠2
的一条边重合．
此时
∠1
的另一条边
b
与∠3
的一条边a
平行吗？为什么？
新课
（3）如图
4-6
所示，将∠3
与∠2
的公共边
延长，它与
b
所夹的角为
∠4．∠3
与∠4
的大小
有什么关系？为什么？
新课
归纳：三角形三个内角的和等于
180°
．
现在，你能够确定这个三角形的内角和了吗？
新课
议一议
（1）图4-7中小明所拿三角形被遮住的两个内角是
什么角？小颖的呢？试着说明理由.
新课
（2）图4-8中三角形被遮住的两个内角可能是什么
角？将所得结果与（1）的结果进行比较.
新课
三角形按角分类:
锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
新课
通常，我们用符号“Rt△ABC
”表示“直角三
角形
ABC
”
．把直角所对的边称为直角三角形的斜
边，夹直角的两条边称为直角边
．（图4-9）
新课
那么，直角三角形的两个锐角之间有什么关系呢？直角三角形的两个锐角互余.
新课
观察图4-11中的三角形，你能发现它们各自的边
长之间有什么关系吗？
新课
有两边相等的三角形叫做等腰三角形，如图
4-12.
三边都相等的三角形是等边三角形，也叫正三角形.
新课
三角形按边分类：
三角形
不等边三角形
等腰三角形
等边三角形
底边和腰不等的等腰三角形
新课
议一议
（1）元宵节的晚上，房梁上亮起了彩灯，装有
黄色彩灯的电线与装有红色彩灯的电线哪根长呢？
说明你的理由．
（2）在一个三角形中，任意两边之和与第三边
的长度有怎样的关系？为什么？
三角形任意两边之和大于第三边
新课
做一做
分别量出（图4-14）三个三角形的三边长度，并
填入空格内．
新课
（1）a
=
，
（2）a
=
，
（3）a
=
，
b
=
，
b
=
，
b
=
，
c
=
；
c
=
；
c
=
.
计算每个三角形的任意两边之差，并与第三边比
较，你能得到什么结论？
三角形任意两边之差小于第三边．
例题
例
有两根长度分别为
5
cm和
8
cm的木棒，用长
度为
2
cm的木棒与它们能摆成三角形吗？为什么？
长度为
13
cm的木棒呢？
例题
解：取长度为2cm的木棒时，由于2+5
=7＜8，
出现了两边之和小于第三边的情况，所以它们不能
摆成三角形．
取长度为13cm的木棒时，由于5+8=13，出
现了两边之和等于第三边的情况，所以它们也不能
摆成三角形．
新课
在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，
叫做这个三角形的中线（median）
．如图
4-16，
AE
是△ABC
的
BC
边上的中线．
BE=EC
图4 16
B
A
C
E
A
新课
议一议
（1）在纸上画出一个锐角三角形，并画出它的三
条中线，它们有怎样的位置关系？与同伴进行交
流．
（2）钝角三角形和直角三角形的三条中线也有同
样的位置关系吗？折一折，画一画，并与同伴进行
交流．
三角形的三条中线交于一点.
这点称为三角形的重心.
新课
在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边
相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形
的角平分线．如图
4-17，AD
是△ABC
的一条角平
分线．
B
A
C
D
∠1=∠2
1
2
新课
做一做
每人准备锐角三角形、钝角三角形和直角三角形纸
片各一个．
（1）你能分别画出这三个三角形的三条角平分线
吗？
（2）你能用折纸的办法得到它们吗？
（3）在每个三角形中，这三条角平分线之间有怎
样的位置关系？将你的结果与同伴进行交流．
新课
三角形的三条角平分线交于同一点.
新课
如图4-18所示，下面三角形房梁中，立柱与横梁有什么特殊的位置关系？
新课
从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高（height）
．如图
4-19，线段
AF
是△ABC的
BC
边上的高．
新课
做一做
每人准备一个锐角三角形纸片．
（1）你能画出这个三角形的三条高吗？你能用折纸的方法得到它们吗？
O
新课
（2）这三条高之间有怎样的位置关系？
将你的结果与同伴进行交流．
锐角三角形的三条高交于同一点.
新课
议一议
在纸上画出一个直角三角形和一个钝角三角形．
（1）画出直角三角形的三条高，它们有怎样的位置关系？
A
B
C
D
直角三角形的三条高交于直角顶点.
新课
（2）你能折出钝角三角形的三条高吗？你能画出它们吗？
A
C
B
B
A
A
A
A
B
C
D
F
C
C
A
B
C
D
F
C
A
B
C
D
F
E
新课
（3）钝角三角形的三条高交于一点吗？它们所在的直线交于一点吗？
将你的结果与同伴进行交流．
钝角三角形的三条高不相交于一点.
钝角三角形的三条高所在直线交于一点.
A
B
C
D
E
F
新课
钝角三角形的三条高不相交于一点
钝角三角形的三条高所在直线交于一点
归纳：三角形的三条高所在的直线交于一点．
习题
1．下图中，△ABC
的
BC
边上的高画得对吗？若不对，请改正.
（1）不对
（2）不对
拓展
1.一块三角形的煎饼,要把它分成大小相同的6块应怎样分 你有多少种分法 如果限定只能切三刀呢
小结
通过本节课的内容，你有哪些收获？
1.知道三角形的定义、三角形的内角和，会对三角形进行分类；
2.三角形的中线、角平分线、高线的定义和性质.《认识三角形》教案
教学目标
一、知识与技能
1．理解三角形内角和定理及其验证方法，能够运用其解决一些简单问题；
2．掌握三角形按边分类方法，能够判定三角形是否为特殊的三角形；
3．掌握三角形的中线、角平分线、高的定义；
二、过程与方法
1．经历观察、操作、想象、推理、交流等活动，进一步发展推理能力和有条理表达的能力；
2．经历探索三角形的中线、角平分线和高线，并能够对其进行简单的应用；
三、情感态度和价值观
1．激发学生学习数学的兴趣，认识三角形的中线、角平分线和高线；
2．使学生在积极参与探索、交流的数学活动中，进一步体验数学与实际生活的密切联系；
教学重点
探索并掌握三角形三边之间的关系，能够运用三角形的三边关系解决问题；
教学难点
理解直角三角形的相关性质并能够运用其解决问题；
教学方法
引导发现法、启发猜想
课前准备
教师准备
课件、多媒体
学生准备
练习本；
课时安排
3课时
教学过程
一、导入
在生活中，三角形是非常普通的图形之一.
你能在下面的图中找出三角形吗？
二、新课
观察下面的屋顶框架图：
（1）你能从图
4-1
中找出
4
个不同的三角形吗？
（2）这些三角形有什么共同的特点？
由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形
．
三角形有三条边、
三个内角和三个顶点.“三角形”
可以用符号“△”表示，如图
4-2
中顶点是
A，B，C
的三角形，
记作“△ABC
”
．
下面哪一幅图是三角形？
△ABC
的三边，有时也用
a，b，c
来表示．
如图
3-3
中，顶点
A
所对的边
BC
用
a
表示，边AC、边
AB
分别用
b，c
来表示．
做一做
我们知道，将一个三角形的三个角撕下来，拼在一起，可以得到三角形的内角和为180°．
小明只撕下三角形的一个角，也得到了上面的结论，他是这样做的：
（1）如图
4-4所示，剪一个三角形纸片，它的三个内角分别为
∠
1，∠
2
和
∠
3.
（2）将
∠
1
撕下，按图
4-5
所示进行摆放，其中∠1
的顶点与
∠2
的顶点重合，它的一
条边与∠2的一条边重合．
此时
∠1
的另一条边
b
与∠3
的一条边a
平行吗？为什么？
（3）如图
4-6
所示，将∠3
与∠2
的公共边延长，它与
b
所夹的角为
∠4．∠3
与∠4
的
大小有什么关系？为什么？
现在，你能够确定这个三角形的内角和了吗？
归纳：三角形三个内角的和等于
180°
．
在教学中，教师通过必要的提示指明学生思考问题的方向，在学生提出验证三角形内角和的不
同方法时，教师注意让学生上台演示自己的操作过程和说明自己的想法，这样有助于学生接受三角形的内角和是180°这一结论
议一议
（1）图4-7中小明所拿三角形被遮住的两个内角是什么角？小颖的呢？试着说明理由.
（2）图4-8中三角形被遮住的两个内角可能是什么角？将所得结果与（1）的结果进行比较.
通常，我们用符号“Rt△ABC
”表示“直角三角形
ABC
”
．把直角所对的边称为直角三角形
的斜边，夹直角的两条边称为直角边
．（图4-9）
那么，直角三角形的两个锐角之间有什么关系呢？直角三角形的两个锐角互余.
观察图4-11中的三角形，你能发现它们各自的边长之间有什么关系吗？
有两边相等的三角形叫做等腰三角形，如图
4-12.
三边都相等的三角形是等边三角形，也叫正三角形.
议一议
（1）元宵节的晚上，房梁上亮起了彩灯，装有黄色彩灯的电线与装有红色彩灯的电线哪根长
呢？说明你的理由．
（2）在一个三角形中，任意两边之和与第三边的长度有怎样的关系？为什么？
三角形任意两边之和大于第三边
做一做
分别量出（图4-14）三个三角形的三边长度，并填入空格内．
（1）a
=
，
（2）a
=
，
（3）a
=
，
b
=
，
b
=
，
b
=
，
c
=
；
c
=
；
c
=
.
计算每个三角形的任意两边之差，并与第三边比较，你能得到什么结论？
三角形任意两边之差小于第三边．
通过观察、验证、再操作，最终发现三角形任意两边之和大于第三边这一结论．这样教学符合学生的认知特点，既增加了学习兴趣，又增强了学生的动手能力.
例
有两根长度分别为
5
cm和
8
cm的木棒，用长度为
2
cm的木棒与它们能摆成三角形
吗？为什么？长度为
13
cm的木棒呢？
解：取长度为2cm的木棒时，由于2+5
=7＜8，出现了两边之和小于第三边的情况，所以它们
不能摆成三角形．
取长度为13cm的木棒时，由于5+8=13，出现了两边之和等于第三边的情况，所以它们也不能摆成三角形．
在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线（median）
．如图
4-16，AE
是△ABC
的
BC
边上的中线．
议一议
（1）在纸上画出一个锐角三角形，并画出它的三条中线，它们有怎样的位置关系？与同伴进
行交流．
（2）钝角三角形和直角三角形的三条中线也有同样的位置关系吗？折一折，画一画，并与同
伴进行交流．
三角形的三条中线交于一点.
这点称为三角形的重心.
在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角
形的角平分线．如图
4-17，AD
是△ABC
的一条角平分线．
做一做
每人准备锐角三角形、钝角三角形和直角三角形纸片各一个．
（1）你能分别画出这三个三角形的三条角平分线吗？
（2）你能用折纸的办法得到它们吗？
（3）在每个三角形中，这三条角平分线之间有怎样的位置关系？将你的结果与同伴进行交流．
三角形的三条角平分线交于同一点.
如图4-18所示，下面三角形房梁中，立柱与横梁有什么特殊的位置关系？
从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高（height）
．如图
4-19，线段
AF
是△ABC的
BC
边上的高．
做一做
每人准备一个锐角三角形纸片．
（1）你能画出这个三角形的三条高吗？你能用折纸的方法得到它们吗？
（2）这三条高之间有怎样的位置关系？
将你的结果与同伴进行交流．锐角三角形的三条高交于同一点.
议一议
在纸上画出一个直角三角形和一个钝角三角形．
（1）画出直角三角形的三条高，它们有怎样的位置关系？
直角三角形的三条高交于直角顶点.
（2）你能折出钝角三角形的三条高吗？你能画出它们吗？
（3）钝角三角形的三条高交于一点吗？它们所在的直线交于一点吗？将你的结果与同伴进行交流．
归纳：三角形的三条高所在的直线交于一点．
三、习题
1．下图中，△ABC
的
BC
边上的高画得对吗？若不对，请改正.
四、拓展
1.一块三角形的煎饼,要把它分成大小相同的6块应怎样分 你有多少种分法 如果限定只能切三刀呢
五、小结
通过本节课的内容，你有哪些收获？
1.知道三角形的定义、三角形的内角和，会对三角形进行分类；
2.三角形的中线、角平分线、高线的定义和性质.
