相似多边形对应角相等,对应边的比相等．
２７．２ 相似三角形
第１课时 相似三角形的判定(１)
１．理解相似三角形的概念,并会利用相似三角形的概念判断三角形
相似．
２．会利用“平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三
角形与原三角形相似”判定三角形相似．
３．能应用三边对应成比例来判定两三角形相似．
４．会选择恰当的方法判定两个三角形相似．
开心预习梳理,轻松搞定基础.
１．在△ABC和△A′B′C′中,如果∠A＝∠A′,∠B＝∠B′,∠C＝∠C′,AB
＝
BCA′B′
B′C′＝
CA
C′A′
＝k,那么△ABC与△A′B′C′ ,记作 ．△ABC
与△A′B′C′的相
似比是 ,△A′B′C′与△ABC
的相似比是 ．全等三角形也是相似三角
形,它们的相似比为 ．
２．平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形 ．
如:在△ABC中,DE
∥BC,且
DE
分
别
交
AB、AC
于
点
D、E,则
△
∽
△ ．
３．如果两个三角形的三组对应边的比 ,那么这两个三角形相似,如:在△ABC
与
△A′B′C′中,若 ,则△ABC∽△A′B′C′．
４．在△ABC和△DEF
中,AB＝３,BC＝４,AC＝５,DE＝６,EF＝８,DF＝１０,则△ABC
与
△DEF
．(填“相似”或“不相似”)
重难疑点,一网打尽.
５．△ABC的三边长分别为
２,
１０,３,△A′B′C′的两边长分别为１和
５,若△ABC
与
△A′B′C′相似,则△A′B′C′的第三条边长为 ．
６．如图,在正方形网格上有６个斜三角形:①△ABC;②△BCD;③△DEB;④△FBG;
⑤△HGF;⑥△EKF．在②~⑥中,与①相似的三角形的序号是 ．(把你认为正
确的都填上)
(第６题)
九年级数学(下)
７．已知在△ABC中,DE∥BC,AD∶DB＝１∶３,若DE＝２,则BC的长为 ．
(第７题)
(第８题)
８．如图,梯子AB
斜靠在墙上,点B
到墙的距离为８０cm,点D
到墙的距离为７０cm,BD＝
５５cm,则梯子的长AB＝ ．
９．梯形ABCD
中,AB∥CD,点E、F
分别是AB、CD
的中点,EF
与AC、BD
分别交于点
M、N
,AB＝１３,CD＝５,求MN
的长度．
(第９题)
源于教材,宽于教材,举一反三显身手.
１０．如图,已知点E、F
分别是△ABC
中边AC、AB
的中点,BE、CF
相交于点G,FG＝２,
则CF
的长为( )．
A．４
B．４．５
C．５
D．６
(第１０题)
(第１２题)
１１．若平行四边形ABCD
中,AB＝１０,AD＝６,E
是AD
的中点,在AB
上取一点F,使
△CBF∽△CDE,则BF
的长为( )．
A．１．８
B．５
C．６或４
D．８或２
１２．如图,小东用长为３．２m的竹竿测量学校旗杆的高度,移动竹竿,使竹竿、旗杆顶端的
影子恰好落在地面的同一点．此时,竹竿与这一点相距８m,与旗杆相距２２m,则旗杆
的高为( )．
A．１２m
B．１０m
C．８m
D．７m
相似多边形对应角相等,对应边的比相等．
１３．如图,AB＝BC＝AC,AD
DE
AE
∠BAD＝２０°
,求∠CAE
的大小．
(第１３题)
１４．如图,四边形ABEG、GEFH、HFCD
都是正方形．请你在图中找出一对相似比不等于
１的相似三角形,并说明理由．
(第１４题)
１５．如图,在 ABCD
中,EF
交AB
的延长线于点E,交BC于点M,交AC于点P,交AD
于点N,交CD
的延长线于点F．求证:PE PM＝PF PN．
(第１５题)
瞧,中考曾经这么考!
１６．(２０１２ 吉林长春)如图,在△ABC中,AB＝５,AC＝４,点D
在边AB
上,∠ACD＝∠B,则
AD
的长为 ．
(第１６题)
２７．２
相似三角形
第１课时 相似三角形的判定(１)
１．相似 △ABC∽△A′B′C′ k
１k
１
２．相似 ADE ABC
３．相等
AB
＝B′C′A′B′
B′C′＝
CA
相似
C′A′ ４．
５．３２
２ ６．③④⑤
７．８ ８．４４０cm ９．４
１０．D １１．A １２．A
１３．∵ AB＝BC＝AC,AD
DE
AE
∴ △ABC∽△ADE．
∴ ∠BAC＝∠DAE．
又 ∠DAC是公共角,
∴ ∠CAE＝∠BAD＝２０°．
１４．△AEF∽△CEA,理由如下:
设正方形ABEG的边长为a．
由勾股定理,得AE＝
２a,AF＝
５a,CA＝
１０a．
则AE＝EF＝AF＝
２CE
EA
CA
２
．
所以△AEF∽△CEA．
１５．∵ 四边形ABCD
是平行四边形,
∴ AB∥CD,BC∥AD．
∵ AB∥CD,
∴ PE∶PF＝PA∶PC．
∵ BC∥AD,
∴ PN∶PM＝PA∶PC．
∴ PE∶PF＝PN∶PM．
∴ PE PM＝PF PN．
１６．１６５(共9张PPT)
27.2相似三角形
27.2.1相似三角形的判断（第1课时）
在相似多边形中，最简单的就是相似三角形．
在△ABC和△A'B'C'中，如果：
如果
∠A＝∠A'，∠B＝∠B'，∠C＝∠C'，
我们就说△ABC与△A'B'C'相似，
如果k=1，这两个三角形有怎样的关系？
A
B
C
A'
B'
C'
活动1
相似三角形及相关概念
△ABC≌△A'B'C'
记作△ABC∽△A'B'C'．
k就是它们的相似比．
如图，在△ABC中，点D是边AB的中点，DE∥BC，DE交AC于点E
，△ADE与△ABC有什么关系？
A
B
C
D
E
我们通过相似的定义证明这个结论．
活动2
直觉告诉我们，△ADE与△ABC相似．
这样，我们证明了△ADE和△ABC的对应角相等，对应边的比相等，所以它们相似，相似比为
先证明两个三角形的对应角相等．
在△ADE与△ABC中，∠A＝∠A
∵DE∥BC
∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C
再证明两个三角形的对应边的比相等．
过点E作EF∥AB，EF交BC于点F．
在
BFED中，DE＝BF，DB＝EF
∵AD＝BD＝
AB
∴AD＝EF
又∠A＝∠1，∠2＝∠C
∴△ADE≌△EFC
∴AE＝EC＝
AC
DE＝FC＝BF＝
BC
A
B
C
D
E
F
1
2
A
B
C
D
E
改变点D在AB上的位置，继续观察图形，进一步想
△ADE与△ABC是否存在着相似关系．
平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．
证明：过点E作EF//AB，交BC于点F
∵DE//BC,DF//AB
（平行于三角形一边的直线截其它两边所得的对应线段成比例）
∵四边形DEFB是平行四边形，
F
学习三角形全等时，我们知道，除了可以通过证明对应角相等．对应边相等来判定两个三角形全等外，还有判定的简便方法（SSS、SAS、ASA、AAS）．类似地，判定两个三角形相似时，是不是对所有的对应角和对应边都要一一验证呢？
类似于判定三角形全等的SSS方法，我们能不能通过三边来判断两个三角形相似呢？
活动3
不需要
能
探究1
在一张方格纸上任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原来三角形各边长的k倍，度量这两个三角形的对应角，它们相等吗？这两个三角形相似吗？与邻座交流一下，看看是否有同样的结论．
如图在△ABC和△A'B'C'中，
求证：
△ABC∽△A'B'C'
这两个三角形是相似的.
证明：在线段A'B'（或它的延长线）上截取A'D＝AB，过点D作DE∥B'C'，交A'C'于点E，根据前面的结论可得△A'DE∽△A'B'C'
同理
DE＝BC
∴△A'DE≌△ABC
∴△ABC∽△A'B'C'
A'
B'
C'
D
E
A
B
C
要证明△ABC∽△A'B'C'，
可以先作一个与△ABC全
等的三角形，证明它与
△A'B'C'相似，这里所作
的三角形是证明的中介，把
△ABC与△A'B'C'联系起来
由此我们得到利用三边判定三角形相似的方法：
如果两个三角形的三组对应边的比
相等，那么这两个三角形相似．
A'
B'
C'
A
B
C
△ABC
∽
△A'B'C'27.2.1
相似三角形的判定（一）
一、教学目标
1．经历两个三角形相似的探索过程，体验分析归纳得出数学结论的过程，进一步发展学生的探究、交流能力．
2．掌握两个三角形相似的判定条件（三个角
( http: / / www.21cnjy.com )对应相等，三条边的比对应相等，则两个三角形相似）——相似三角形的定义，和三角形相似的预备定理（平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似）．
3．会运用“两个三角形相似的判定条件”和“三角形相似的预备定理”解决简单的问题．
二、重点、难点
1．重点：相似三角形的定义与三角形相似的预备定理．
2．难点：三角形相似的预备定理的应用．
3．难点的突破方法
（1）要注意强调相似三角形定义的符号表示方法（判定与性质两方面），应注意两个相似三角形中，三边对应成比例，
每个比的前项是同一个三角形的三条边，而比的后项分别是另一个三角形的三条对应边，它们的位置不能写错；
（2）要注意相似三角形与全等三角形的区别和联系，弄清两者之间的关系．全等三角形是特殊的相似三角形，其特殊之处在于全等三角形的相似比为1．两者在定义、记法、性质上稍有不同，但两者在知识学习上有很多类似之处，在今后学习中要注意两者之间的对比和类比；
（3）要求在用符号表示相似三角形时，对应顶点的字母要写在对应的位置上，这样就会很快地找到相似三角形的对应角和对应边；
（4）相似比是带有顺序性和对应性的（这一点也可以在上一节课中提出）：
如△ABC∽△A′B′C′的相似比，那么△
( http: / / www.21cnjy.com )A′B′C′∽△ABC的相似比就是，它们的关系是互为倒数．这一点在教学中科结合相似比“放大或缩小”的含义来让学生理解；
（5）“平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”定理也可以简单称为“三角形相似的预备定理”．这个定理揭示了有三角形一边的平行线，必构成相似三角形，因此在三角形相似的解题中，常作平行线构造三角形与已知三角形相似．
三、例题的意图
本节课的两个例题均为补充的题目，其中例1是训练学生能正确去寻找相似三角形的对应边和对应角，让学生明确可类比全等三角形对应边、对应角的关系来寻找相似三角形中的对应元素：即（1）对顶角一定是对应角；（2）公共角一定是对应角；最大角或最小的角一定是对应角；（3）对应角所对的边一定是对应边；（4）对应边所对的角一定是对应角；对应边所夹的角一定是对应角．
例2是让学生会运用“三角形相似的预备定理”
( http: / / www.21cnjy.com )解决简单的问题，这里要注意，此题两次用到相似三角形的对应边成比例（也可以先写出三个比例式，然后拆成两个等式进行计算），学生刚开始可能不熟练，教学中要注意引导．
四、课堂引入
1．复习引入
（1）相似多边形的主要特征是什么？
（2）在相似多边形中，最简单的就是相似三角形．
在△ABC与△A′B′C′中，
如果∠A=∠A′,
∠B=∠B′,
∠C=∠C′,
且
．
我们就说△ABC与△A′B′C′相似，记作△ABC∽△A′B′C′，k就是它们的相似比．
反之如果△ABC∽△A′B′C′，
则有∠A=∠A′,
∠B=∠B′,
∠C=∠C′,
且
．
（3）问题：如果k=1，这两个三角形有怎样的关系？
2．教材P42的思考，并引导学生探索与证明．
3．【归纳】
三角形相似的预备定理
平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．
五、例题讲解
例1（补充）如图△ABC∽△DCA，AD∥BC，∠B=∠DCA．
（1）写出对应边的比例式；
（2）写出所有相等的角；
（3）若AB=10,BC=12,CA=6．求AD、DC的长．
分析：可类比全等三角形对应边、对应角的关系来寻找相似三角形中的对应元素．对于（3）可由相似三角形对应边的比相等求出AD与DC的长．
解：略（AD=3，DC=5）
例2（补充）如图，在△ABC中，DE∥BC，
AD=EC，DB=1cm，AE=4cm，BC=5cm，求DE的长．
分析：由DE∥BC，可得△ADE∽△ABC，再由相似三角形的性质，有
，又由AD=EC可求出AD的长，再根据
求出DE的长．
解：略（
）．
六、课堂练习
1．（选择）下列各组三角形一定相似的是（
）
A．两个直角三角形
B．两个钝角三角形
C．两个等腰三角形
D．两个等边三角形
2．（选择）如图，DE∥BC，EF∥AB，则图中相似三角形一共有（
）
A．1对
B．2对
C．3对
D．4对
3．如图，在□ABCD中，EF∥AB，DE:EA=2:3，EF=4，求CD的长．
（CD=
10）
七、课后练习
1．如图，△ABC∽△AED,其中DE∥BC，写出对应边的比例式．
2．如图，△ABC∽△AED，其中∠ADE=∠B，写出对应边的比例式．
3．如图，DE∥BC，
（1）如果AD=2，DB=3，求DE:BC的值；
（2）如果AD=8，DB=12，AC=15，DE=7，求AE和BC的长．
