(共10张PPT)
类似于判定三角形全等的SAS方法，我们能不
能通过两边和夹角来判断两个三角形相似呢？
问
题
探究
探究2
利用刻度尺和量角器画△ABC和△A'B'C'，使∠A＝∠A'，
和
都等于给定的值k，量出它们的第三组对应边BC和B'C'的长，它们的比等于k吗？另外两组对应角∠B与∠B'，∠C与∠C'是否相等？
改变∠A或K值的大小，再试一试，是否有同样的结论？
实际上，我们有利用两边和夹角判定两个三角形相似的方法：
等于k
∠B
=∠B'
∠C
=∠C'
改变k的值具有相同的结论
A'
B'
C'
A
B
C
∠A＝∠A'
△ABC
∽
△A'B'C'
如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似．
类似于证明通过三边判定三角形相似的方法，请你自己证明这个结论．
已知：如图，
△A'B'C'和
△ABC中，∠A
'
=∠A，A'B'：AB＝A'C'：AC
求证：△A'B'C'
∽
△ABC
证明：在△ABC
的边AB、AC（或它们的延长线）上别截取AD＝A'B'，AE＝A'C'，连结DE，因∠A
'
=∠A，这样△A'B'C'
≌
△ADE
∴
DE//BC
∴
△ADE
∽
△ABC
∴
△A'B'C'
∽
△ABC
A'
B'
C'
A
B
C
D
E
对于△ABC和△A'B'C'，如果
∠B＝∠B'，这
两个三角形一定相似吗？试着画画看．
不
一
定
相
似
根据下列条件，判断△ABC与△A'B'C'是否相似，并说明理由：
（1）∠A＝120°，AB＝7cm，AC＝14cm，
∠A'＝120°，A'B'＝3cm，A'C'＝6cm；
（2）AB＝4cm，BC＝6cm，AC＝8cm．
'B'＝12cm，B'C'＝18cm，A'C'＝21cm
解：（1）∵
又
∠A＝∠A'
∴
△ABC∽△A'B'C'
（2）∵
△ABC与△A'B'C'的三组对应边的比不等，它们不相似
例1
两三角形的相似比是多少？
要使两三角形相似，不改变AC的长，A'C'的长应当改为多少？
1.根据下列条件，判断△ABC与△A'B'C'是否相似，并说明理由：
（1）∠A=40°，AB=8，AC=15
∠A'
=40°，A'B'
=16，A'C'
=30
（2）AB=10cm，BC=8cm，AC=16cm
A'B'
=16cm，B'C'
=12.8cm，A'C'
=25.6cm
解：
（1）
∠A=∠A'
∴△ABC∽△A'B'C'
练
习
∴△ABC∽△A'B'C'
（2）
2.
图中的两个三角形是否相似？
15
25
20
27
45
40
A
B
C
D
E
45
54
36
30
∠ACB=∠ECD
∴△ACB∽△ECD
对应边的比不相等
∴图中两个三角形不相似．
解：（1）
（2）
3.要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边长分别为4、5、6，另一个三角形框架的一边长为2，它的另外两条边长应当是多少？你有几个答案？
方案(1)
设另外两条边长分别为x
,
y
方案(2)
方案(3)27.2.1
相似三角形的判定（二）
一、教学目标
1．初步掌握“三组对应边的比相等的两个三角形相似”的判定方法，以及“两组对应边的比相等且它们的夹角相等的两个三角形相似”的判定方法．
2．经历两个三角形相似的探索过程，体验用类比、实验操作、分析归纳得出数学结论的过程；通过画图、度量等操作，培养学生获得数学猜想的经验，激发学生探索知识的兴趣，体验数学活动充满着探索性和创造性．
3．能够运用三角形相似的条件解决简单的问题．
二、重点、难点
1．
重点：掌握两种判定方法，会运用两种判定方法判定两个三角形相似．
2．
难点：（1）三角形相似的条件归纳、证明；
（2）会准确的运用两个三角形相似的条件来判定三角形是否相似．
3．
难点的突破方法
（1）关于三角形相似的判定方法1“三组对应边的比相等的两个三角形相似”，教科书虽然给出了证明，但不要求学生自己证明，通过教师引导、讲解证明，使学生了解证明的方法，并复习前面所学过的有关知识，加深对判定方法的理解．
（2）判定方法1的探究是让学生通过作图展开的，我们在教学过程中，要通过从作图方法的迁移过程，让学生进一步感受，由特殊的全等三角形到一般相似三角形，以及类比认识新事物的方法．
（3）讲判定方法1时，要扣住“对应”二字，一般最短边与最短边，最长边与最长边是对应边．
（4）判定方法2一定要注意区别“夹角相等”
的条件，如果对应相等的角不是两条边的夹角，这两个三角形不一定相似，课堂练习2就是通过让学生联想、类比全等三角形中SSA条件下三角形的不确定性，来达到加深理解判定方法2的条件的目的的．
（5）要让学生明确，两个判定方法说明：只
( http: / / www.21cnjy.com )要分别具备边或角的两个独立条件——“两边对应成比例，夹角相等”或“三边对应成比例”就能证明两个三角形相似．
（6）要让学生学会自觉总结如何正确的选择三角形相似的判定方法：这两种方法无论哪一个，首先必需要有两边对应成比例的条件，然后又有目标的去探求另一组条件，若能找到一组角相等，而这组对应角又是两组对应边的“夹角”时，则选用判定方法2，若不是“夹角”，则不能去判定两个三角形相似；若能找到第三边也成比例，则选用判定方法1．
（7）两对应边成比例中的比例式既可以写成如
的形式，也可以写成
的形式．
（8）由比例的基本性质，“两边对应成比例”的条件也可以由等积式提供．
三、例题的意图
本节课安排的两个例题，其中例1是教材P46的例1，此例题是为了巩固刚刚学习过的两种三角形相似的判定方法，（1）是复习巩固“两组对应边的比相等且它们的夹角相等的两个三角形相似”的判定方法；（2）是复习巩固
“三组对应边的比相等的两个三角形相似”
的判定方法．通过此例题要让学生掌握如何正确的选择三角形相似的判定方法．
例2是补充的题目，它既运用了三角形相似的判定方法2，又运用了相似三角形的性质，有一点综合性，由于学生刚开始接触相似三角形的题目，而本节课的内容有较多，故此例题可以选讲．
四、课堂引入
1．复习提问：
(1)
两个三角形全等有哪些判定方法？
(2)
我们学习过哪些判定三角形相似的方法？
(3)
全等三角形与相似三角形有怎样的关系？
(4)
如图，如果要判定△ABC与△A’B’C’相似，是不是一定需要一一验证所有的对应角和对应边的关系？
2．（1）提出问题：首先，由三角形全等的S
( http: / / www.21cnjy.com )SS判定方法，我们会想如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么能否判定这两个三角形相似呢？
（2）带领学生画图探究；
（3）【归纳】
三角形相似的判定方法1
如果两个三角形的三组对应边的比相等，
那么这两个三角形相似．
3．（1）提出问题：怎样证明这个命题是正确的呢？
（2）教师带领学生探求证明方法．
4．用上面同样的方法进一步探究三角形相似的条件：
（1）提出问题：由三角形全等的SAS判定方
( http: / / www.21cnjy.com )法，我们也会想如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，那么能否判定这两个三角形相似呢？
（2）让学生画图，自主展开探究活动．
（3）【归纳】
三角形相似的判定方法2
两个三角形的两组对应边的比相等，且它们的夹角相等，那么这两个三角形相似．
五、例题讲解
例1（教材P46例1）
分析：判定两个三角形是否相似，可以根据已知条件，看是不是符合相似三角形的定义或三角形相似的判定方法，对于（1）由于是已知一对对应角相等及四条边长，因此看是否符合三角形相似的判定方法2“两组对应边的比相等且它们的夹角相等的两个三角形相似”，对于（2）给的几个条件全是边，因此看是否符合三角形相似的判定方法1“三组对应边的比相等的两个三角形相似”即可，其方法是通过计算成比例的线段得到对应边．
解：略
※例2
（补充）已知：如图，在四边形ABCD中，∠B=∠ACD，AB=6，BC=4，AC=5，CD=
，求AD的长．
分析：由已知一对对应角相等及四条边长，猜想应用“两组对应边的比相等且它们的夹角相等”来证明．计算得出
，结合∠B=∠ACD，证明△ABC∽△DCA，再利用相似三角形的定义得出关于AD的比例式
，从而求出AD的长．
解：略（AD=）．
六、课堂练习
1．教材P47．2．
2．如果在△ABC中∠B=30°，AB=5㎝，AC=4㎝，在△A’B’C’中，∠B’=30°A’B’=10㎝，A’C’=8㎝，这两个三角形一定相似吗？试着画一画、看一看？
3．如图，△ABC中，点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，求证：△ABC∽△DEF．
七、课后练习第２课时 相似三角形的判定(２)
１．探索两个三角形相似的条件:SAS．
２．通过类比相似三角形判定定理１、判定定理２与全等三角形的判
定定理SSS、SAS,体验事物间特殊与一般的关系．
３．灵活应用判定定理１、判定定理２说明两三角形相似．
４．综合运用相似三角形的性质和判定解题．
开心预习梳理,轻松搞定基础.
１．如果一个三角形的两组对应边的比 ,并且相应的夹角 ,那么这两个三
角形相似．如:在△ABC与△A′B′C′中,若 或 或
,则△ABC∽△A′B′C′．
２．如图,D、E
两
点
分
别
在
△ABC
的
边
AB、AC
上,DE
与BC
不
平
行,当
满
足
条
件
(写出一个即可)时,△ADE∽△ACB．
(第２题)
(第４题)
３．在△ABC和△DEF
中,已知∠A＝∠D,AB＝４,AC＝３,DE＝１,当DF＝ 时,
这两个三角形相似．
４．如图,已知AB＝AC＝BC,则∠BAD＝ ．(填图中另外一个角)AD
AE
DE
重难疑点,一网打尽.
５．如图,小正方形的边长均为１,则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC
相似的是
( )．
(第５题)
６．下列说法错误的是( )．
A．两个等腰直角三角形相似
B．两个等腰三角形相似
C．两条直角边的比相等的直角三角形相似
D．两个等边三角形相似
相似多边形对应角相等,对应边的比相等．
７．如图,点C、D
在线段AB
上,△PCD
是等边三角形．
(１)当AC、CD、DB
满足怎样的关系时,△ACP∽△PDB
(２)当△ACP∽△PDB
时,求∠APB．
(第７题)
８．在正方形ABCD
中,P
是BC
上的点,且BP＝３PC,Q
是CD
的中点,
求证:△ADQ∽△QCP．
(第８题)
９．如图,在△ABC中,AC＞BC,D
是边AC
上一点,连接BD．
(１)要使△CBD∽△CAB,还需要补充一个条件是 ;(只要求填一个)
(２)若△CBD∽△CAB,且AD＝２,BC＝
３,求CD
的长．
(第９题)
１０．如图,一次函数y＝－３x＋３的图象与x
轴,y轴分别相交于A、B
两点,点４
C
在AB
上以每秒１个单位的速度从点B
向点A
运动,同时点D
在线段AO
上以同样的速度
从点A
向点O
运动,运动时间用t(单位:秒)表示．
(１)求AB
的长;
(２)当t为何值时,△ACD
与△ABO
相似
并直接写出此时点C的坐标．
(第１０题)
九年级数学(下)
１１．如图,△ABC、△DCE、△FEG
是３个全等的等腰三角形,底边BC、CE、EG
在同一直
线上,且AB＝
３,BC＝１,连接BF,分别交AC、DC、DE
于点P、Q、R．
(１)△BFG
与△FEG
相似吗
请说明理由;
(２)求BF
的长;
(３)观察图形,请你提出一个与点P
相关的问题,并进行解答．
(第１１题)
源于教材,宽于教材,举一反三显身手.
１２．如图,已知在△ABC中,∠C＝９０°,D、E
分别是AB、AC上的点,AD AB＝AE AC．
试问:DE
与AB
垂直吗
为什么
(第１２题)
瞧,中考曾经这么考!
１３．(２０１２
甘
肃
庆
阳)如
图,∠DAB＝
∠CAE,请
补
充
一
个
条
件:
,使△ABC∽△ADE．
(第１３题)
第２课时 相似三角形的判定(２)
１．相等 相等
ABA′B′＝
AC
,
A′C′
∠A＝∠A′
BC
＝
BA
,
CA
BC
,B′C′
B′A′
∠B＝∠B′ C′A′＝B′C′
∠C＝∠C′
(３)问题可以是①线段间的平行关系,如:PC∥FG;
AE
AD
②线段长度与比值,如:BP的长度为多少,BP与PF长度的２．
＝
(答案不唯一)AB
AC
比值是多少,PC与AP的比值是多少等;
３．３
或
４
４．∠EAC
③三角形的相似,如△BPC∽△ABC,△PQC∽△PBA等;４
３
④三角形的全等,如△QPC≌△QRD
等．
５．B ６．B
解答略．
７．(１)当CD２＝AC DB时,△ACP∽△PDB．
１２．DE⊥AB．理由如下:
(２)∠APB＝１２０°
∵ AD AB＝AE AC,
８．∵ 四边形ABCD
是正方形,
AD
AE
∴ AD＝BC＝DC,∠C＝∠D＝９０°．
∴ AC＝AB．
又 BP＝３PC,Q
是CD
的中点,
又 ∠A＝∠A,
∴ AD＝QCDQ
PC＝２．
∴ △ABC∽△ADE．
∴ ∠ADE＝∠C＝９０°．
∴ △ADQ∽△QCP．
∴ DE与AB
垂直．
９．(１)∠CBD＝∠A
１３．答案不唯一．如:∠D＝∠B
或∠AED＝∠C
或AD∶AB
(或∠CDB＝∠CBA
或CD
BC等)
CB＝AC
＝AE∶AC或AD
AC＝AB
AE．
(２)设CD＝x,则CA＝x＋２．
当△CBD∽△CAB,且AD＝２,BC＝
３,
有CD＝BC,CB
AC
即x
＝
３
,
３
x＋２
所以x２＋２x－３＝０．所以x１＝１,x２＝－３．
经检验,x１＝１,x２＝－３都是原方程的解,但x２＝－３不
符合题意,应舍去．
所以CD＝１．
１０．(１)A(４,０),B(０,３),
故AB＝
３２＋４２＝５．
(２)当△ACD∽△ABO时,有AC∶AB＝AD∶AO,
即５－t
５
＝
t
,解得
４
t＝
２０
９
．
故C
(１６,５９
３
)
．
当△ACD∽△AOB时,有AC∶AO＝AD∶AB,
即５－t＝t
,４
５
解得t＝２５９
．
故C
(２０,４９
３
)
．
１１．(１)相似,因为有公共角∠G,且FG
EG
３BG＝FG＝
３
．
(２)３
