相似多边形对应角相等,对应边的比相等．
第３课时 相似三角形的判定(３)
１．会利用相似三角形的判定定理３判定两个三角形相似．
２．通过类比相似三角形判定定理３与全等三角形的判定定理
AAS、
ASA,体验事物间特殊与一般的关系．
３．能综合运用相似三角形的性质与判定解题,证角相等,线段成
比例．
４．会综合运用相似三角形的判定定理．
开心预习梳理,轻松搞定基础.
１．如图,点P
是△ABC的边AB
上一点,当∠ACP＝ 时,△ACP∽△ABC．
(第１题)
(第２题)
２．如图,锐角三角形ABC的边AB、AC上的高线CE
和BF
相交于点D,写出图中的两对
相似三角形: ．
３．如图,在△ABC
中,CD⊥AB,垂足为D,一定能确定△ABC
为
直角三角形的条件的个数是( )．
①∠１＝∠A;②CD＝BD;AD
CD
③∠B＋∠２＝９０°
;④BC∶AC∶AB
＝３∶４∶５;⑤AC BD＝AC CD．
(第３题)
A．１
B．２
C．３
D．４
重难疑点,一网打尽.
４．如图,CD
是
Rt△ABC
的高,DE⊥BC,垂足为E,则图中与△ABC
相似的三角形共有
( )．
A．５个
B．４个
C．３个
D．２个
(第４题)
(第５题)
(第６题)
５．如图,∠１＝∠２＝∠３,则图中相似三角形共有( )．
A．１对
B．２对
C．３对
D．４对
九年级数学(下)
６．如图,Rt△ABC中,∠ACB＝９０°,CD⊥AB,则图中相似的三角形有( )．
A．０对
B．１对
C．２对
D．３对
７．如图,在△ABC中,AB＝AC,D
是AB
的中点,延长AB
到点E,使BE＝AB．求证:
(１)△ADC∽△ACE;
(２)CE＝２DC．
(第７题)
８．如图,AC⊥BC,∠ADC＝９０°,∠１＝∠B,若AC＝５,AB＝６,求AD．
(第８题)
９．如图,在矩形ABCD
中(AB＞AD),E
为线段AD
上的一个动点(点E
不与A、D
两点重
合),连接EC,过点E
作EF⊥EC交AB
于点F,连接FC．
(１)△AEF
与△DCE
是否相似
并说明理由;
(２)点E
运动到什么位置时,EF
平分∠AFC
证明你的结论．
(第９题)
相似多边形对应角相等,对应边的比相等．
１０．如图,在△ABC中,∠BAC＝９０°,AD⊥BC,E
是AC
的中点,ED
交AB
的延长线于
点F．求证:AB∶AC＝DF∶AF．
(第１０题)
源于教材,宽于教材,举一反三显身手.
１１．如图,AB⊥BD,ED⊥BD,C是线段BD
的中点,且AC⊥CE,如果ED＝１,BD＝４,那
么AB＝ ．
(第１１题)
(第１２题)
１２．如图,Rt△ABC中,∠ACB＝９０°,CD⊥AB
于点D,若AD∶AB＝１∶４,则CD∶AC＝
．
瞧,中考曾经这么考!
１３．(２０１２ 甘肃天水)如图所示,等边三角形ABC的边长为３,P
为BC
上
一点,且BP＝１,D
为AC
上一点,若∠APD＝６０°,则CD
的长为
．
(第１３题)
第３课时 相似三角形的判定(３)
１．∠B
∵ AE＝ED,
２．△AFB∽△AEC,△EDB∽△FDC
∴ AF∶AE＝EF∶CE．
３．C ４．B ５．D ６．D
又
()
∠A＝∠FEC＝９０°
,
７．１
设AD＝a,则AC＝２a,AE＝４a,
∴ △AEF∽△ECF．
可得AD＝AC
１AC
AE＝
２
．
∴ ∠AFE＝∠CFE,
又 ∠A＝∠A,
即EF平分∠AFC．
∴ △ADC∽△ACE．
１０．∵ E是AC
的中点,AD⊥BC,
(２)∵ △ADC∽△ACE,
∴ DE＝EC．
∴ CD＝AD＝
１
∴ ∠C＝∠EDC．
EC
AC
２
．
∵ ∠BDF＝∠EDC,
∴ CE＝２DC．
∴ ∠BDF＝∠C．
８．∵ AC⊥BC,∠ADC＝９０°,
∵ ∠C＝∠BAD,
∴ ∠D＝∠ACB＝９０°．
∴ ∠BDF＝∠BAD．
∵ ∠１＝∠B,
又 ∠F＝∠F,
∴ △ADC∽△ACB．
∴ △ADF∽△DBF．
∴ AB＝AC
∴ BD∶DA＝DF∶AF．AC
AD．
２
∵ ∠BAC＝９０°,AD⊥BC,
∴ AD＝AC
２５AB＝
６
．
∴ △ABC∽△DBA．
９．(１)△AEF与△DCE相似．理由如下:
∴ AB∶AC＝DB∶DA．
∵ 四边形ABCD
是矩形,
∴ AB∶AC＝DF∶AF．
∴ ∠A＝∠D＝９０°．
１１．４ １２．３∶２ １３．２３
∵ EF⊥EC,
∴ ∠AEF＋∠CED＝９０°．
∵ ∠AEF＋∠AFE＝９０°,
∴ ∠AFE＝∠CED．
∴ △AEF∽△DCE．
(２)当点E是AD
的中点时,EF平分∠AFC．证明如下:
∵ △AEF∽△DCE,
∴ AF∶DE＝EF∶CE．27.2.1
相似三角形的判定（三）
一、教学目标
1．经历两个三角形相似的探索过程，进一步发展学生的探究、交流能力．
2．掌握“两角对应相等，两个三角形相似”的判定方法．
3．能够运用三角形相似的条件解决简单的问题．
二、重点、难点
1．重点：三角形相似的判定方法3——“两角对应相等，两个三角形相似”
2．难点：三角形相似的判定方法3的运用．
3．难点的突破方法
（1）在两个三角形中，只要满足两个对应角相等，那么这两个三角形相似，这是三角形相似中最常用的一个判定方法．
（2）公共角、对顶角、同角的余角（或补角）、同弧上的圆周角都是相等的，是判别两个三角形相似的重要依据．
（3）如果两个三角形是直角三角形，
则只要再找到一对锐角相等即可说明这两个三角形相似．
三、例题的意图
本节课安排了两个例题，例1是教材P48的例2，是一个圆中证相似的题目，这个题目比较简单，可以让学生来分析、让学生说出思维的方法、让学生自己写出证明过程．并让学生掌握遇到等积式，应先将其化为比例式的方法．
例2是一个补充的题目，选择这个题目是希望学生通过这个题的学习，掌握利用三角形相似的知识来求线段长的方法，为下节课学习“27.2.2
相似三角形的应用举例”打基础．
四、课堂引入
1．复习提问：
（1）我们已学习过哪些判定三角形相似的方法？
（2）如图，△ABC中，点D在AB上，如果AC2=AD AB，
那么△ACD与△ABC相似吗？说说你的理由．
（3）如（2）题图，△ABC中，点D在AB上，如果∠ACD=∠B，
那么△ACD与△ABC相似吗？——引出课题．
（4）教材P48的探究3．
五、例题讲解
例1（教材P48例2）．
分析：要证PA PB=PC PD，需要证
，则需要证明这四条线段所在的两个三角形相似．由于所给的条件是圆中的两条相交弦，故需要先作辅助线构造三角形，然后利用圆的性质“同弧上的圆周角相等”得到两组角对应相等，再由三角形相似的判定方法3，可得两三角形相似．
证明：略（见教材P48例2）．
例2
（补充）已知：如图，矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE于F，若AB=4，AD=5，AE=6，求DF的长．
分析：要求的是线段DF的长，观察图形，我们发现AB、AD、AE和DF这四条线段分别在△ABE和△AFD中，因此只要证明这两个三角形相似，再由相似三角形的性质可以得到这四条线段对应成比例，从而求得DF的长．由于这两个三角形都是直角三角形，故有一对直角相等，再找出另一对角对应相等，即可用“两角对应相等，两个三角形相似”的判定方法来证明这两个三角形相似．
解：略（DF=
）．
六、课堂练习
1．教材P49的练习1、2．
2．已知：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC∽△ADE．
3．下列说法是否正确，并说明理由．
（1）有一个锐角相等的两直角三角形是相似三角形；
（2）有一个角相等的两等腰三角形是相似三角形．
七、课后练习
1．
已知：如图，△ABC
的高AD、BE交于点F．
求证：
．
2．已知：如图，BE是△ABC的外接圆O的直径，CD是△ABC的高．（1）求证：AC BC=BE CD；
（2）若CD=6，AD=3，BD=8，求⊙O的直径BE的长(共9张PPT)
观察两副三角尺如图，其中同样角度（30°与60°，或45°与45°）的两个三角尺大小可能不同，但它们看起来是相似的．一般地，如果两个三角形有两组对应角相等，它们一定相似吗？
一定相
似
观
察
作△ABC和△A'B'C'，使得∠A＝∠A'，∠B＝∠B'，这时它们的第三个角满足∠C＝∠C'吗？分别度量这两个三角形的边长，计算
，你有什么现？
探究
A
B
C
A'
B'
C'
满足：∠C
=
∠C'
△ABC∽△A'B'C'
探究
把你的结果与邻座的同学比较，你们的结论一样吗？
△ABC和△A'B'C'相似吗？
一样
△ABC和△A'B'C'相似
得到判定两个三角形相似的又一个简便方法：
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．
如图，已知△ABC和△A'B'C'中，∠A=∠A',
∠B=∠B'，
求证:
△ABC∽△A'B'C'
证明：在△ABC的边AB（或延长线）上，截取AD=A'B'，过点D
作DE//BC，交AC于点E，则有△ADE∽△ABC
∵∠ADE=∠B,
∠B=∠B'
∴∠ADE=∠B'
又∵∠A=∠A',AD=A'B'
∴△ADE≌△A'B'C'
∴△A'B'C'∽△ABC
A
B
C
D
E
A'
B'
C'
例2
如图，弦AB和CD相交于⊙O内一点P，求证PA·PB＝PC·PD
证明：连接AC、BD．
∵
∠A和∠D都是
所对的圆周角，
∴
∠A＝∠D
同理
∠C＝∠B
∴
△PAC∽△PDB
即
PA·PB＝PC·PD
·
A
B
C
D
O
P
1.
底角相等的两个等腰三角形是否相似？顶角相等的两个等腰三角形呢？证明你的结论．
B
A
C
B'
A'
C'
已知：等腰△ABC
AB
=
AC
和等腰△A'B'C'
，A'B'=A'C'
且有∠B=∠B',
求证:△ABC∽△A'B'C'
证明：∵等腰三角形
AB=AC
∴∠B=∠C
∴△ABC∽△A'B'C'
∵等腰三角形
A'B'=A'C'
∴∠B'=∠C'
∵∠B=∠B',
∴∠C=∠C'
练
习
已知:第腰△ABC
有AB=AC
和
△A'B'C'
有A'B'=A'C'，
并且∠A=∠A',
求证:△ABC∽△A'B'C'
证明：∵
△ABC中AB=AC，∠B
=∠C
∴
2∠B
=180°－∠A
同理
△A'B'C'中A'B'=A'C'，∠B'
=∠C'
∴
2∠B'
=180°－∠A'
又
∠A=∠A'
∵
∠B=∠B',
∵
△ABC∽△A'B'C'
B
A
C
B'
A'
C'
2.
如图，Rt△ABC中，CD是斜边上的高，△ACD和△CBD都
和△ABC相似吗？证明你的结论．
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
1
2
△ACD∽△ABC
△CBD∽△ABC
证明：
∵∠ACB=∠ADC=90°
又∠
A
=
∠
A=90°
∴
△ACD∽△ABC
∵∠CDB=∠ACB=90°
∠B
=
∠B
=
90°
∴
△CBD∽△ABC
