相似多边形对应角相等,对应边的比相等．
２７．３ 位 似
第１课时 位似图形的画法和性质
１．了解图形的位似,知道位似变换是特殊的相似变换．
２．能利用相似的方法,将一个图形放大或缩小．
３．掌握位似与相似的区别和联系．
４．会用刻度尺、圆规等作图工具画出位似图形．
开心预习梳理,轻松搞定基础.
１．两个图形不仅相似,而且对应顶点的连线相交于一点O,像这样的相似叫做 ,
点O
叫做 ．
２．有下列说法:①所有的位似图形都是相似图形;②所有的相似多边形都是位似图形;
③相似多边形的性质对位似图形同样适用;④位似图形的性质对相似多边形同样适用．
其中正确的有 ．(把所有说法正确的序号都填上)
３．如图,指出下列各图中的两个图形是否是位似图形,如果是位似图形,请指出其位似中心．
(第３题)
重难疑点,一网打尽.
４．若两个图形位似,则下列叙述不正确的是( )．
A．每对对应点所在的直线相交于同一点
B．两个图形上的对应线段之比等于位似比
C．两个图形上对应线段必平行
D．两个图形的面积比等于位似比的平方
５．△OCD
与△OAB
是位似图形,其中位似比为２∶３,若将两个图形放大,使放大前后对
应线段的比为１∶２,则放大后两个三角形的位似比为 ．
６．已知四边形ABCD
与四边形A′B′C′D′是位似图形,且它们对应边的比为３∶４,则四边
形ABCD
与四边形A′B′C′D′的周长之比为 ;面积之比为 ．
九年级数学(下)
７．如图,△ABC与△A′B′C′是位似图形,点A、B、A′、B′、O
共线,点O
为位似中心．
(１)AC与A′C′平行吗
请说明理由;
(２)若AB＝２A′B′,OC′＝５,求CC′的长．
(第７题)
源于教材,宽于教材,举一反三显身手.
８．如图,图中的小方格都是边长为１的正方形,△ABC
与△A′B′C′是关于点O
为位似
中心的位似图形,它们的顶点都在小正方形的顶点上．
(１)画出位似中心点O;
(２)求出△ABC与△A′B′C′的位似比;
(３)以点O
为位似中心,再画一个△A″B″C″,使它与△ABC的位似比等于１．５．
(第８题)
相似多边形对应角相等,对应边的比相等．
９．(１)四边形ABCD
在第四象限,以坐标原点为位似中心,将四边形放大为原来的２倍(指
边长放大),放大后的四边形有 个．
(２)已知点E(－４,２),F(－１,－１),以点O
为位似中心,按比例尺１∶２,把△EFO
缩小,
则点E
的对应点E′的坐标为 ．
(３)如图,矩形ABCD
的坐标分别为A(－２,１),B(－２,４),C(－６,４),D(－６,１)．画出
它的一个以原点O
为位似中心,相似比为１的位似图形２
．
(第９题)
瞧,中考曾经这么考!
１０．(２０１２ 辽宁锦州)如图所示,图中的小方格都是边长为１的正方形,△ABC
与△A′B′C′是
以O
为位似中心的位似图形,它们的顶点都在小正方形的顶点上．
(１)画出位似中心点O;
(２)直接写出△ABC与△A′B′C′的位似比;
(３)以位似中心O
为坐标原点,以格线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系,画出
△A′B′C′关于点O
中心对称的△A″B″C″,并直接写出△A″B″C″各顶点的坐标．
(第１０题)
２７．３
位 似
第１课时 位似图形的画法和性质
１．位似 位似中心 ２．①③
３．图(１)(２)和(４)三个图形中的两个图形都是位似图形,位
似中心分别是图(１)中的点A,图(２)中的点P
和图(４)中
的点O．图(３)中的点O
不是对应点连线的交点,故图(３)
不是位似图形,图(５)也不是位似图形
４．C ５．２∶３
６．３∶４ ９∶１６
７．(１)AC∥A′C′．理由如下:
由△ABC与△A′B′C′是位似图形,知△ABC∽△A′B′C′,
则∠A＝∠C′A′B′,所以AC∥A′C′．
(２)由AB＝２A′B′,得A′B′＝
１AB
２
．
又 △ABC与△A′B′C′是位似图形,
∴ O′C′＝A′B′,OC
AB
即
５
１
,
OC＝
２
OC＝１０．
故CC′＝５．
８．(１)图略 (２)１∶２ (３)图略
９．(１)１ (２)(２,－１) (３)图略
１０．(１)图中点O为所求．
(第１０题)
(２)△ABC与△A′B′C′的位似比是２∶１．
(３)△A″B″C″为所求．A″(６,０),B″(３,－２),C″(４,－４)．27.
3
位似（一）
一、教学目标
1．了解位似图形及其有关概念，了解位似与相似的联系和区别，掌握位似图形的性质．
2．掌握位似图形的画法，能够利用作位似图形的方法将一个图形放大或缩小．
二、重点、难点
1．重点：位似图形的有关概念、性质与作图．
2．难点：利用位似将一个图形放大或缩小．
3．难点的突破方法
（1）位似图形：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比．
（2）掌握位似图形概念，需注意：①位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形；②两个位似图形的位似中心只有一个；③两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧；④位似比就是相似比．利用位似图形的定义可判断两个图形是否位似．
（3）位似图形首先是相似图形，所以它具有相似图形的一切性质．位似图形是一种特殊的相似图形，它又具有特殊的性质，位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离等于位似比（相似比）．
（4）两个位似图形的主要特征是：每对位似对应点与位似中心共线；不经过位似中心的对应线段平行．
（5）利用位似，可以将一个图形放大或缩小，其步骤见下面例题．作图时要注意:①首先确定位似中心，位似中心的位置可随意选择；②确定原图形的关键点，如四边形有四个关键点，即它的四个顶点；③确定位似比，根据位似比的取值，可以判断是将一个图形放大还是缩小；④符合要求的图形不惟一，因为所作的图形与所确定的位似中心的位置有关（如例2），并且同一个位似中心的两侧各有一个符合要求的图形（如例2中的图2与图3）．
三、例题的意图
本节课安排了两个例题，例1是补充的一个例题，通过辨别位似图形，巩固位似图形的概念，让学生理解位似图形必须满足两个条件：（1）两个图形是相似图形；（2）两个相似图形每对对应点所在的直线都经过同一点，二者缺一不可．例2是教材P61例题，通过例2
的教学，使学生掌握位似图形的画法，能够利用作位似图形的方法将一个图形放大或缩小．讲解例2时，要注意引导学生能够用不同的方法画出所要求作的图形，要让学生通过作图理解符合要求的图形不惟一，这和所作的图形与所确定的位似中心的位置有关（如位似中心O可能选在四边形ABCD外，可能选在四边形ABCD内，可能选在四边形ABCD的一条边上，可能选在四边形ABCD的一个顶点上）．并且同一个位似中心的两侧各有一个符合要求的图形（如例2
中的图2与图3），因此，位似中心的确定是作出图形的关键．要及时强调注意的问题（见难点的突破方法④），及时总结作图的步骤（见例2），并让学生练习找所给图形的位似中心的题目（如课堂练习2），以使学生真正掌握位似图形的概念与作图．
四、课堂引入
1．观察：在日常生活中，我们经常见到下面所给的这样一类相似的图形，它们有什么特征？
2．问：已知：如图，多边形ABCDE，把它放大为原来的2倍，即新图与原图的相似比为2．应该怎样做？你能说出画相似图形的一种方法吗？
五、例题讲解
例1（补充）如图，指出下列各图中的两个图形是否是位似图形，如果是位似图形，请指出其位似中心．
分析：位似图形是特殊位置上的相似图
( http: / / www.21cnjy.com )形，因此判断两个图形是否为位似图形，首先要看这两个图形是否相似，再看对应点的连线是否都经过同一点，这两个方面缺一不可．
解：图（1）、（2）和（4）三个图形中的两个图形都是位似图形，位似中心分别是图（1）中的点A
，图（2）中的点P和图（4）中的点O．（图（3）中的点O不是对应点连线的交点，故图（3）不是位似图形，图（5）也不是位似图形）
例2（教材P61例题）把图1中的四边形ABCD缩小到原来的
．
分析：把原图形缩小到原来的
，也就是
( http: / / www.21cnjy.com )使新图形上各顶点到位似中心的距离与原图形各对应顶点到位似中心的距离之比为1∶2
．
作法一：（1）在四边形ABCD外任取一点O；
（2）过点O分别作射线OA，OB，
OC，OD；
（3）分别在射线OA，OB，OC，OD上取点A′、B′、C′、D′，使得
；
（4）顺次连接A′B′、B′C′、C′D′、D′A′，得到所要画的四边形A′B′C′D′，如图2．
问：此题目还可以如何画出图形？
作法二：（1）在四边形ABCD外任取一点O；
（2）过点O分别作射线OA，
OB，
OC，OD；
（3）分别在射线OA，
OB，
OC，
OD的反向延长线上取点A′、B′、C′、D′，使得
；
（4）顺次连接A′B′、B′C′、C′D′、D′A′，得到所要画的四边形A′B′C′D′，如图3．
作法三：（1）在四边形ABCD内任取一点O；
（2）过点O分别作射线OA，OB，OC，OD；
（3）分别在射线OA，OB，
OC，OD上取点A′、B′、C′、D′，
使得
；
（4）顺次连接A′B′、B′C′、C′D′、D′A′，得到所要画的四边形A′B′C′D′，如图4．
（当点O在四边形ABCD的一条边上或在四边形ABCD的一个顶点上时，作法略——可以让学生自己完成）
六、课堂练习
1．教材P61．1、2
2．画出所给图中的位似中心．
3．
把右图中的五边形ABCDE扩大到原来的2倍．
七、课后练习
1．已知：如图，△ABC，画△A′B′C′，
使△A′B′C′∽△ABC，且使相似比为1.5，要求
（1）位似中心在△ABC的外部； （2）位似中心在△ABC的内部；（3）位似中心在△ABC的一条边上；
（4）以点C为位似中心．(共7张PPT)
例如，放映幻灯时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上（如图显示了它工作的原理）．在照相馆中，摄影师通过照相机，把人物的形象缩小在底片上．
这样的放大缩小，没有改变图形形状，经过放大或缩小的图形，与原图形是相似的，因此，我们可以得到真实的图片和满意的照片．
在日常生活中，我们经常见到这样一类相似的图形，
图中有多边形相似吗？如果有，那么这种相似有什么特征？
图中每幅图中的两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，像这样的两个图形叫做位似图形，
O
O
O
这个点叫做位似中心．
2.
分别在线段OA、OB、OC、OD上取点A'、B'、C'、D'，
使得
3.
顺次连接点A'、B'、C'、D'，所得四边形A'B'C'D'就是所要求的图形．
O
D
A
B
C
A'
B'
C'
D'
利用位似，可以将一个图形放大或缩小．
例如，要把四边形ABCD缩小到原来的1/2，
1.
在四边形外任选一点O（如图），
探究
对于上面的问题，还有其他方法吗？如果在四边形外任选一个点O，分别在OA、OB、OC、OD的反向延长线上取A'
，B'
、C'
、D'
，使得
呢？如果点O取在四边形ABCD内部呢？
分别画出这时得到的图形．
O
D
A
B
C
A'
B'
C'
D'
O
D
A
B
C
1.如同，△OAB和△OCD是位似图形，AB与CD平行吗？
为什么？
O
A
B
C
D
AB∥CD
∵△OAB与△ODC是位似图形
∴△OAB∽△OCD
∴∠OAB=∠C
AB∥CD
练
习
2.
如图，以O为位似中心，将△ABC放大为原来的两倍．
O
A
B
C
①作射线OA
、OB
、
OC
②分别在OA、OB
、OC
上取点A'
、B'
、C'
使得
③顺次连结A'
、B'
、C'
就是所要求图形
A'
B'
C'
