2016年温州重点中学自主招生模拟测试数学试卷（含答案）

数学试卷
一.选择题：
1.
方程x＝
的根是x＝(
)
A.4-
B.4+
C.-4
D.
2.
将自然数1~22分别填在下面的“□”内（每个“□”只能填一个数）,
在形成的11个分数中,
分数值为整数的最多能有(
)个
A.6
B.8
C.10
D.12
3.
如图，平面直角坐标系内，正三角形A
( http: / / www.21cnjy.com )BC的顶点B，C的坐标分别为（1，0），（3，0），过坐标原点O的一条直线分别与边AB，AC交于点M，N，若OM=MN，则点M的坐标为(
)
A.
B.（2，1）
C.(2,
)
D.(
,)
4.
已知正整数满足：，则的最小可能值是(
)
A.78
B.92
C.86
D.98
5.
一个梯子有10级台阶，规定每步可以迈一级台阶或两级台阶，最多可迈3级台阶，从地面上到最上面一级台阶，一共有（
）钟迈法？
A.44
B.81
C.149
D.274
6.将2，3，4，5，6，7，8，9，10
( http: / / www.21cnjy.com )，11这10个数填入图中10个格子中，使得‘田’字形的4个格子中所填数字之和都等于P，则P的最大值为（
）
A.20
B.24
C.28
D.32
7.
方程的实数解的个数为(
)
A.1
B.2
C.2005
D.36
8.
将号码分别为1、2、…、9的九个小球
( http: / / www.21cnjy.com )放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同。甲从袋中摸出一个球，其号码为a，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b。则使不等式a 2b+10>0成立的事件发生的概率等于（
）
A.
B.
C.
D.
9.
方程组的有理数解的个数为
（
）
A.
1
B.
2
C.3
D.
4
10.
.
的值是(
).
A.;
B.;
C.;
D..
二.填空题：
11.
将2个a和2个b共
( http: / / www.21cnjy.com )4个字母填在如图所示的16个小方格内，每个小方格内至多填1个字母，若使相同字母既不同行也不同列，则不同的填法共有________种（用数字作答）。
12.
使不等式对一切正整数都成立的最小正整数的值为
．
13.
方程的非负整数解
．
14.
如图，设P为△
ABC外一点，
( http: / / www.21cnjy.com )P在边AC之外，在∠B之内．S△PBC：S△
PCA：S△
PAB＝4：2：3．又知△
ABC三边a，b，c上的高为ha＝3，hb＝5，hc＝6，则P到三边的距离之和为
．
15.
如图，正六边形的边长为1，它的6条对角线又围成一个正六边形，如此继续下去，则所有这些六边形的面积和是
．
16.
方程
的解是x＝
．
三．解答题：
17.如图，在平行四边形ABCD中，，，对角线AC与BD的夹角，记直线AB与CD的距离为．求的表达式，并写出x的取值范围．
18.如图，，分别为锐角三角形（）的外接圆上弧、的中点．过点作交圆于点，为的内心，连接并延长交圆于．
⑴求证：；
⑵在弧AB（不含点）上任取一点（，，），记，的内心分别为，，求证：，，，四点共圆．
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温州重点中学自主招生模拟题数学答案
一试
一.选择题：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
A
B
D
C
A
D
B
C
二.填空题：
11.__3960________;
12.__2009__________;
13.__(3,0)(2,2)_____;
14.___8___________;
15.___
______;
16.______6.5________;
三.解答题：
17.解：将代入
，
若有解
，
当满足
，
当满足
18.解：(1)当x
=
c时，y
=
0，即，又c>1，所以
设一元二次方程两个实根为
由，及x
=
c>1，得
又因为当0＜x＜c时，，所以，
于是二次函数的对称轴：
即
所以
即
(2)因为0＜x=1＜c时，，所以
由及得：
因为
而，，，
所以当x＞0时，，即
19.解：令p=x+z、q=xz，
( http: / / www.21cnjy.com )我们有p2=x2+z2+2q，p3=x3+z3+3pq，p4=x4+z4+4p2q 2q2。同样，令s=y+w、t=yw，有s2=y2+w2+2t，s3=y3+w3+3st，s4=y4+w4+4s2t 2t2。
在此记号系统下，原方程组的第一个方程为p=s+2。
（3.1）
于是p2=s2+4s+4，p3=s3+6s2
( http: / / www.21cnjy.com )+12s+8，p4=s4+8s3+24s2+32s+16。现在将上面准备的p2、p3、p4和s2、s3、s4的表达式代入，得x2+z2+2q=y2+w2+2t+4s+4，x3+z3+3pq=y3+w3+3st+6s2+12s+8，x4+z4+4p2q 2q2=y4+w4+4s2t 2t2+8s3+24s2+32s+16。
利用原方程组的第二至四式化简，得q=t+2s 1，
（3.2）
pq=st+2s2+4s 4，
（3.3）
2p2q q2=2s2t t2+4s3+12s2+16s 25。
（3.4）
将（3.1）和（3.2）代入（3.3），得，
（3.5）
将（3.5）代入（3.2），得，
（3.6）
将（3.1）（3.5）（3.6）代入（3.4），得s=2。所以有t=0，p=4，q=3。
这样一来，x、z和y、w分别是方程和的两根，即
或，且或。详言之，方程组有如下四组解：x=3，y=2，z=1，w=0；或x=3，y=0，z=1，w=2；或x=1，y=2，z=3，w=0；或x=1，y=0，z=3，w=2。
二试
一.解：由平行四边形对角线平方和等于四条边的平方和得
．
①
在△OBC中，由余弦定理，
所以
，
②
由①，②得
．
③
所以：，
故：，
所以
：．
由③可得，，故．
因为，结合②，③可得：，
解得（结合）
．
综上所述，，．
二.解：⑴连，．由于，，，，共圆，故是等腰梯形．因此，．
连，，则与交于，因为
，
所以．同理
．
于是
，．
故四边形为平行四边形．因此（同底，等高）．
又，，，四点共圆，故，由三角形面积公式
于是．
⑵因为，
所以，同理．由得．
由⑴所证，，故
．
又因
，
有
．
故，从而
．
因此，，，四点共圆．