第4章相交线与平行线单元检测卷
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湘教版七年级下第4章相交线与平行线单元检测卷
姓名：__________班级：__________考号：__________
一．选择题（共12小题）
1．平面内三条直线的交点个数可能有（ ）
A．1个或3个 B．2个或3个
C．1个或2个或3个 D．0个或1个或2个或3个
2．下列各组角中，∠1与∠2是对顶角的为（ ）
3．在同一平面内，两条直线的位置关系是（ ）
A．平行或垂直 B．平行或相交
C．垂直或相交 D．平行、垂直或相交
4．如果a∥b，b∥c，那么a∥c，这个推理的依据是（ ）
A．等量代换
B．平行线的定义
C．经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行
D．平行于同一直线的两直线平行
5．如图所示是“福娃欢欢”的五幅图案，②，③，④，⑤哪一个图案可以通过平移图案①得到（ ）
A．② B．③ C．④ D．⑤
6．如图，△ABC沿着由点B到点E的方向，平移到△DEF，已知BC=5．EC=3，那么平移的距离为（ ）
A．2 B．3 C．5 D．7
7．如图，AB∥CD∥EF，那么∠BAC+∠ACE+∠CEF=（ ）
A．180° B．270° C．360° D．540°
8．如图，直线AB∥CD，P是AB上的动点，当点P的位置变化时，三角形PCD的面积将（ ）
A．变大B．变小C．不变D．变大变小要看点P向左还是向右移动
9．如图，下列条件中不能判定AB∥CD的是（ ）
A．∠3=∠4 B．∠1=∠5 C．∠1+∠4=180° D．∠3=∠5
10．如图，已知∠1=50°，∠2=50°，∠3=100°，则∠4的度数为（ ）
A．40° B．50° C．80° D．100°
11．下列说法中：①棱柱的上、下底面的形状相同；②若AB=BC，则点B为线段AC的中点；③相等的两个角一定是对顶角；④不相交的两条直线叫做平行线；⑤直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．如图，已知AB∥CD，OA、OC分别平分∠BAC和∠ACD，OE⊥AC于点E，且OE=2，则AB、CD之间的距离为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
二．填空题（共6小题）
13．如图，直线a、b相交，∠1=36度，则∠2= 度．
14．已知三条直线a，b，c，如果a∥b，b∥c，那么a与c的位置关系是 ．
15．如图，△ABC沿BC方向平移到△DEF的位置，若BE=2cm，则CF= ．
16．如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是 ．
17．如图所示，在四边形ABCD中，BD是它的一条对角线，若∠1=∠2，∠A=55°16′，则∠ADC= ．
18．如图，计划把河水引到水池A中，先作AB⊥CD，垂足为B，然后沿AB开渠，能使所开的渠道最短，这样设计的依据是 ．
三．解答题（共8小题）
19．如图，已知直线AB、CD交于点O，且∠1：∠2=2：3，∠AOC=60°，求∠2的度数．
20．如图，经过平移，△ABC的边AB移到了EF，作出平移后的三角形．
21．完成下面的证明：已知，如图，AB∥CD∥GH，EG平分∠BEF，FG平分∠EFD
求证：∠EGF=90°
证明：∵HG∥AB（已知）
∴∠1=∠3
又∵HG∥CD（已知）
∴∠2=∠4
∵AB∥CD（已知）
∴∠BEF+ =180°
又∵EG平分∠BEF（已知）
∴∠1=∠
又∵FG平分∠EFD（已知）
∴∠2=∠
∴∠1+∠2=（ ）
∴∠1+∠2=90°
∴∠3+∠4=90° 即∠EGF=90°．
22．如图，已知∠1=∠2，∠C=∠D，求证：∠A=∠F．
23．已知：如图，AB∥DC，点E是BC上一点，∠1=∠2，∠3=∠4．求证：AE⊥DE．
24．已知：如图，AB∥CD，∠1=∠2．求证：∠E=∠F．
25．如图1，AB∥CD，EOF是直线AB、CD间的一条折线．
（1）试证明：∠O=∠BEO+∠DFO．
（2）如果将折一次改为折二次，如图2，则∠BEO、∠O、∠P、∠PFC之间会满足怎样的数量关系，证明你的结论．
26．如图所示，AOB是一条直线，∠AOD：∠DOB=3：1，OD平分∠COB．
（l）求∠DOC的度数；
（2）判断AB与OC的位置关系．
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1． 分析:根据相交线的定义，作出所有可能的图形即可得解．
解：如图所示，
分别有0个交点，1个交点，2个交点，3个交点，
∴交点个数可能有0个或1个或2个或3个．
故选D．
2．分析:根据对顶角的定义进行判断：两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角．
解：根据两条直线相交，才能构成对顶角进行判断，
A、B、C都不是由两条直线相交构成的图形，错误；
D是由两条直线相交构成的图形，正确．
故选D．
3． 分析:在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种情况，平行或相交．
解：在同一个平面内，两条直线只有两种位置关系，即平行或相交，
故选：B．
4． 分析:因为平行于同一直线的两直线平行，所以如果a∥b，b∥c，那么a∥c．
解：这个推理的依据是平行于同一直线的两直线平行．
故选D．
5．分析:根据平移的性质，结合图形进行分析，求得正确答案．
解：A、②是由旋转得到，故错误；
B、③是由轴对称得到，故错误；
C、④是由旋转得到，故错误；
D、⑤形状和大小没有变化，由平移得到，故正确．
故选D．
6．分析:观察图象，发现平移前后，B、E对应，C、F对应，根据平移的性质，易得平移的距离=BE=5﹣3=2，进而可得答案．
解：根据平移的性质，
易得平移的距离=BE=5﹣3=2，
故选A．
7．分析:先根据平行线的性质得出∠BAC+∠ACD=180°，∠DCE+∠CEF=180°，进而可得出结论．
解：∵AB∥CD∥EF，
∴∠BAC+∠ACD=180°①，∠DCE+∠CEF=180°②，
①+②得，∠BAC+∠ACD+∠DCE+∠CEF=360°，即∠BAC+∠ACE+∠CEF=360°．
故选C．
8． 分析:根据两平行线间的平行线段相等，可以推出点P在AB上运动时到CD的距离始终相等，再根据三角形PCD的面积等于CD与点P到CD的距离的积的一半，所以三角形的面积不变．
解：设平行线AB、CD间的距离为h，
则S△PCD=CD?h，
∵CD长度不变，h大小不变，
∴三角形的面积不变．
故选C．
9．分析:由平行线的判定定理易知A、B都能判定AB∥CD；
选项C中可得出∠1=∠5，从而判定AB∥CD；
选项D中同旁内角相等，但不一定互补，所以不能判定AB∥CD．
解：∠3=∠5是同旁内角相等，但不一定互补，所以不能判定AB∥CD．
故选D．
10．分析:因为∠1=∠2，所以两直线平行，则∠4与∠5互补，又因为∠3=∠5，故∠4的度数可求．
解：∵∠1=50°，∠2=50°
∴a∥b，
∴∠4与∠5互补，
∵∠3=∠5=100°，
∴∠4=180°﹣∠5=180°﹣100°=80°．
故选C．
11． 分析:分别根据棱柱的特征以及对顶角和垂线段的性质得出答案即可．
解：①棱柱的上、下底面的形状相同，此选项正确；
②若AB=BC，则点B为线段AC的中点，A，B，C不一定在一条直线上，故此选项错误；
③相等的两个角一定是对顶角，交的顶点不一定在一个位置，故此选项错误；
④不相交的两条直线叫做平行线，必须在同一平面内，故此选项错误；
⑤直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，此选项正确．
正确的有2个．
故选：B．
12．分析:要求二者的距离，首先要作出二者的距离，作OF⊥AB，OG⊥CD，根据角平分线的性质可得，OE=OF=OG，即可求得AB与CD之间的距离．
解：作OF⊥AB，延长FO与CD交于G点，
∵AB∥CD，∴FG垂直CD，
∴FG就是AB与CD之间的距离．
∵∠ACD平分线的交点，OE⊥AC交AC于E，
∴OE=OF=OG，
∴AB与CD之间的距离等于2OE=4．
故选B．
二．填空题（共6小题）
13．分析:根据邻补角的定义和性质，结合图形可得∠1与∠2互为邻补角，即∠1+∠2=180°，把∠1=36°代入，可求∠2．
解：由图示得，∠1与∠2互为邻补角，即∠1+∠2=180°，
又∵∠1=36°，
∴∠2=180°﹣36°=144°．
14．分析:根据平行公理的推论，平行于同一直线的两直线平行解答．
解：∵a∥b，b∥c，
∴a∥c．
15．分析:根据平移的性质可得BC=EF，然后求出BE=CF．
解：∵△ABC沿BC方向平移得到△DEF，
∴BC=EF，
∴BC﹣EC=EF﹣EC，
即BE=CF，
∵BE=2cm，
∴CF=2cm．
故答案为：2．
16．分析:过A点作AB∥a，利用平行线的性质得AB∥b，所以∠1=∠2，∠3=∠4=30°，加上∠2+∠3=45°，易得∠1=15°．
解：如图，过A点作AB∥a，
∴∠1=∠2，
∵a∥b，
∴AB∥b，
∴∠3=∠4=30°，
而∠2+∠3=45°，
∴∠2=15°，
∴∠1=15°．
故答案为15°．
17．分析:利用平行线的判定和性质即可解决问题．
解：∵∠1=∠2，
∴CD∥AB，
∴∠A+∠ADC=180°，
∴∠ADC=124°44′．
18．分析:过直线外一点作直线的垂线，这一点与垂足之间的线段就是垂线段，且垂线段最短．
解：根据垂线段定理，连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短，
∴沿AB开渠，能使所开的渠道最短．
故答案为：连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短．
三．解答题（共8小题）
19．分析:∠1和∠2的比值为x．根据∠AOC=60°和∠1：∠2=2：3，即可求出x，然后即可求出∠2的度数．
解：设∠1和∠2的比值为x，则∠=2x，∠2=3x，
∵∠AOC=60°=∠1+∠2，∠1：∠2=2：3
∴2x+3x=60°，x=12°，
则∠2=3x=3×12°=36°．
答：∠2的度数为36°
20．分析:连接AE，BF，利用平移时，对应点的连线段平行且相等，作线段CG∥BF，且CG=BF，得出G点，△EFG即为所求．
解：连接AE，BF，
过C点作线段CG∥BF，且CG=BF，
连接FG，EG，△EFG即为所求．
21．分析:此题首先由平行线的性质得出∠1=∠3，∠2=∠4，∠BEF+∠EFD=180°，再由EG平分∠BEF，FG平分∠EFD得出∠1+∠2=90°，然后通过等量代换证出∠EGF=90°．
解：∵HG∥AB（已知）
∴∠1=∠3 （两直线平行、内错角相等）
又∵HG∥CD（已知）
∴∠2=∠4
∵AB∥CD（已知）
∴∠BEF+∠EFD=180°（两直线平行、同旁内角互补）
又∵EG平分∠BEF，FG平分∠EFD
∴∠1=∠BEF，
∠2=∠EFD，
∴∠1+∠2=（∠BEF+∠EFD），
∴∠1+∠2=90°
∴∠3+∠4=90° （等量代换），
即∠EGF=90°．
故答案分别为：两直线平行、内错角相等，∠EFD，两直线平行、同旁内角互补，∠BEF，∠EFD，∠BEF+∠EFD，等量代换．
22．分析:根据平行线判定推出BD∥CE，求出∠D+∠CBD=180°，推出AC∥DF，根据平行线性质推出即可．
证明：∵∠1=∠2，
∴BD∥CE，
∴∠C+∠CBD=180°，
∵∠C=∠D，
∴∠D+∠CBD=180°，
∴AC∥DF，
∴∠A=∠F．
23．分析:过E作EF∥AB，再由条件AB∥DC，可得EF∥AB∥CD，根据平行线的性质可得∠1=∠5，∠4=∠6，然后可得∠5+∠6=∠BEF+∠FEC=90°，进而得到结论．
证明：过E作EF∥AB，
∵AB∥DC，
∴EF∥AB∥CD，
∴∠1=∠5，∠4=∠6，
∵∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠5+∠6=∠BEF+∠FEC=90°，
∴AE⊥DE．
24．分析:分别过E、F 点作CD的平行线EM、FN，根据平行线的性质得CD∥FN∥EM∥AB，则∠3=∠2，∠4=∠5，∠1=∠6，而∠1=∠2，于是3+∠4=∠5+∠6．
证明：分别过E、F 点作CD的平行线EM、FN，如图
∵AB∥CD，
∴CD∥FN∥EM∥AB，
∴∠3=∠2，∠4=∠5，∠1=∠6，
而∠1=∠2，
∴∠3+∠4=∠5+∠6，
即∠E=∠F．
25．分析:（1）作OM∥AB，根据平行线的性质得∠1=∠BEO，由于AB∥CD，根据平行线的传递性得OM∥CD，根据平行线的性质得∠2=∠DFO，所以∠1+∠2=∠BEO+∠DFO；
（2）作OM∥AB，PN∥CD，由AB∥CD得到OM∥PN∥AB∥CD，根据平行线的性质得∠1=∠BEO，∠2=∠3，∠4=∠PFC，所以∠1+∠2+∠PFC=∠BEO+∠3+∠4，即∠O+∠PFC=∠BEO+∠P．
（1）证明：作OM∥AB，如图1，
∴∠1=∠BEO，
∵AB∥CD，
∴OM∥CD，
∴∠2=∠DFO，
∴∠1+∠2=∠BEO+∠DFO，
即：∠O=∠BEO+∠DFO．
（2）解：∠O+∠PFC=∠BEO+∠P．理由如下：
作OM∥AB，PN∥CD，如图2，
∵AB∥CD，
∴OM∥PN∥AB∥CD，
∴∠1=∠BEO，∠2=∠3，∠4=∠PFC，
∴∠1+∠2+∠PFC=∠BEO+∠3+∠4，
∴∠O+∠PFC=∠BEO+∠P．
26．分析:（1）根据∠AOD：∠DOB=3：1和平角的定义求出∠BOD，即可求出答案；
（2）根据∠BOD和∠DOC的度数求出∠BOC的度数，根据垂直定义求出即可．
解：（1）∵AOB是一条直线，∠AOD：∠DOB=3：1，
∴∠AOD=×180°=135°，∠BOD=180°﹣135°=45°，
∵OD平分∠COB，
∴∠DOC=∠BOD=45°；
（2）∵∠DOC=∠BOD=45°，
∴∠BOC=45°+45°=90°，
∴OC⊥AB，
即AB与OC的位置关系是垂直．
姓名：__________班级：__________考号：__________
一．选择题（共12小题）
1．平面内三条直线的交点个数可能有（ ）
A．1个或3个 B．2个或3个
C．1个或2个或3个 D．0个或1个或2个或3个
2．下列各组角中，∠1与∠2是对顶角的为（ ）
3．在同一平面内，两条直线的位置关系是（ ）
A．平行或垂直 B．平行或相交
C．垂直或相交 D．平行、垂直或相交
4．如果a∥b，b∥c，那么a∥c，这个推理的依据是（ ）
A．等量代换
B．平行线的定义
C．经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行
D．平行于同一直线的两直线平行
5．如图所示是“福娃欢欢”的五幅图案，②，③，④，⑤哪一个图案可以通过平移图案①得到（ ）
A．② B．③ C．④ D．⑤
6．如图，△ABC沿着由点B到点E的方向，平移到△DEF，已知BC=5．EC=3，那么平移的距离为（ ）
A．2 B．3 C．5 D．7
7．如图，AB∥CD∥EF，那么∠BAC+∠ACE+∠CEF=（ ）
A．180° B．270° C．360° D．540°
8．如图，直线AB∥CD，P是AB上的动点，当点P的位置变化时，三角形PCD的面积将（ ）
A．变大B．变小C．不变D．变大变小要看点P向左还是向右移动
9．如图，下列条件中不能判定AB∥CD的是（ ）
A．∠3=∠4 B．∠1=∠5 C．∠1+∠4=180° D．∠3=∠5
10．如图，已知∠1=50°，∠2=50°，∠3=100°，则∠4的度数为（ ）
A．40° B．50° C．80° D．100°
11．下列说法中：①棱柱的上、下底面的形状相同；②若AB=BC，则点B为线段AC的中点；③相等的两个角一定是对顶角；④不相交的两条直线叫做平行线；⑤直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．如图，已知AB∥CD，OA、OC分别平分∠BAC和∠ACD，OE⊥AC于点E，且OE=2，则AB、CD之间的距离为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
二．填空题（共6小题）
13．如图，直线a、b相交，∠1=36度，则∠2= 度．
14．已知三条直线a，b，c，如果a∥b，b∥c，那么a与c的位置关系是 ．
15．如图，△ABC沿BC方向平移到△DEF的位置，若BE=2cm，则CF= ．
16．如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是 ．
17．如图所示，在四边形ABCD中，BD是它的一条对角线，若∠1=∠2，∠A=55°16′，则∠ADC= ．
18．如图，计划把河水引到水池A中，先作AB⊥CD，垂足为B，然后沿AB开渠，能使所开的渠道最短，这样设计的依据是 ．
三．解答题（共8小题）
19．如图，已知直线AB、CD交于点O，且∠1：∠2=2：3，∠AOC=60°，求∠2的度数．
20．如图，经过平移，△ABC的边AB移到了EF，作出平移后的三角形．
21．完成下面的证明：已知，如图，AB∥CD∥GH，EG平分∠BEF，FG平分∠EFD
求证：∠EGF=90°
证明：∵HG∥AB（已知）
∴∠1=∠3
又∵HG∥CD（已知）
∴∠2=∠4
∵AB∥CD（已知）
∴∠BEF+ =180°
又∵EG平分∠BEF（已知）
∴∠1=∠
又∵FG平分∠EFD（已知）
∴∠2=∠
∴∠1+∠2=（ ）
∴∠1+∠2=90°
∴∠3+∠4=90° 即∠EGF=90°．
22．如图，已知∠1=∠2，∠C=∠D，求证：∠A=∠F．
23．已知：如图，AB∥DC，点E是BC上一点，∠1=∠2，∠3=∠4．求证：AE⊥DE．
24．已知：如图，AB∥CD，∠1=∠2．求证：∠E=∠F．
25．如图1，AB∥CD，EOF是直线AB、CD间的一条折线．
（1）试证明：∠O=∠BEO+∠DFO．
（2）如果将折一次改为折二次，如图2，则∠BEO、∠O、∠P、∠PFC之间会满足怎样的数量关系，证明你的结论．
26．如图所示，AOB是一条直线，∠AOD：∠DOB=3：1，OD平分∠COB．
（l）求∠DOC的度数；
（2）判断AB与OC的位置关系．
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1． 分析:根据相交线的定义，作出所有可能的图形即可得解．
解：如图所示，
分别有0个交点，1个交点，2个交点，3个交点，
∴交点个数可能有0个或1个或2个或3个．
故选D．
2．分析:根据对顶角的定义进行判断：两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角．
解：根据两条直线相交，才能构成对顶角进行判断，
A、B、C都不是由两条直线相交构成的图形，错误；
D是由两条直线相交构成的图形，正确．
故选D．
3． 分析:在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种情况，平行或相交．
解：在同一个平面内，两条直线只有两种位置关系，即平行或相交，
故选：B．
4． 分析:因为平行于同一直线的两直线平行，所以如果a∥b，b∥c，那么a∥c．
解：这个推理的依据是平行于同一直线的两直线平行．
故选D．
5．分析:根据平移的性质，结合图形进行分析，求得正确答案．
解：A、②是由旋转得到，故错误；
B、③是由轴对称得到，故错误；
C、④是由旋转得到，故错误；
D、⑤形状和大小没有变化，由平移得到，故正确．
故选D．
6．分析:观察图象，发现平移前后，B、E对应，C、F对应，根据平移的性质，易得平移的距离=BE=5﹣3=2，进而可得答案．
解：根据平移的性质，
易得平移的距离=BE=5﹣3=2，
故选A．
7．分析:先根据平行线的性质得出∠BAC+∠ACD=180°，∠DCE+∠CEF=180°，进而可得出结论．
解：∵AB∥CD∥EF，
∴∠BAC+∠ACD=180°①，∠DCE+∠CEF=180°②，
①+②得，∠BAC+∠ACD+∠DCE+∠CEF=360°，即∠BAC+∠ACE+∠CEF=360°．
故选C．
8． 分析:根据两平行线间的平行线段相等，可以推出点P在AB上运动时到CD的距离始终相等，再根据三角形PCD的面积等于CD与点P到CD的距离的积的一半，所以三角形的面积不变．
解：设平行线AB、CD间的距离为h，
则S△PCD=CD?h，
∵CD长度不变，h大小不变，
∴三角形的面积不变．
故选C．
9．分析:由平行线的判定定理易知A、B都能判定AB∥CD；
选项C中可得出∠1=∠5，从而判定AB∥CD；
选项D中同旁内角相等，但不一定互补，所以不能判定AB∥CD．
解：∠3=∠5是同旁内角相等，但不一定互补，所以不能判定AB∥CD．
故选D．
10．分析:因为∠1=∠2，所以两直线平行，则∠4与∠5互补，又因为∠3=∠5，故∠4的度数可求．
解：∵∠1=50°，∠2=50°
∴a∥b，
∴∠4与∠5互补，
∵∠3=∠5=100°，
∴∠4=180°﹣∠5=180°﹣100°=80°．
故选C．
11． 分析:分别根据棱柱的特征以及对顶角和垂线段的性质得出答案即可．
解：①棱柱的上、下底面的形状相同，此选项正确；
②若AB=BC，则点B为线段AC的中点，A，B，C不一定在一条直线上，故此选项错误；
③相等的两个角一定是对顶角，交的顶点不一定在一个位置，故此选项错误；
④不相交的两条直线叫做平行线，必须在同一平面内，故此选项错误；
⑤直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，此选项正确．
正确的有2个．
故选：B．
12．分析:要求二者的距离，首先要作出二者的距离，作OF⊥AB，OG⊥CD，根据角平分线的性质可得，OE=OF=OG，即可求得AB与CD之间的距离．
解：作OF⊥AB，延长FO与CD交于G点，
∵AB∥CD，∴FG垂直CD，
∴FG就是AB与CD之间的距离．
∵∠ACD平分线的交点，OE⊥AC交AC于E，
∴OE=OF=OG，
∴AB与CD之间的距离等于2OE=4．
故选B．
二．填空题（共6小题）
13．分析:根据邻补角的定义和性质，结合图形可得∠1与∠2互为邻补角，即∠1+∠2=180°，把∠1=36°代入，可求∠2．
解：由图示得，∠1与∠2互为邻补角，即∠1+∠2=180°，
又∵∠1=36°，
∴∠2=180°﹣36°=144°．
14．分析:根据平行公理的推论，平行于同一直线的两直线平行解答．
解：∵a∥b，b∥c，
∴a∥c．
15．分析:根据平移的性质可得BC=EF，然后求出BE=CF．
解：∵△ABC沿BC方向平移得到△DEF，
∴BC=EF，
∴BC﹣EC=EF﹣EC，
即BE=CF，
∵BE=2cm，
∴CF=2cm．
故答案为：2．
16．分析:过A点作AB∥a，利用平行线的性质得AB∥b，所以∠1=∠2，∠3=∠4=30°，加上∠2+∠3=45°，易得∠1=15°．
解：如图，过A点作AB∥a，
∴∠1=∠2，
∵a∥b，
∴AB∥b，
∴∠3=∠4=30°，
而∠2+∠3=45°，
∴∠2=15°，
∴∠1=15°．
故答案为15°．
17．分析:利用平行线的判定和性质即可解决问题．
解：∵∠1=∠2，
∴CD∥AB，
∴∠A+∠ADC=180°，
∴∠ADC=124°44′．
18．分析:过直线外一点作直线的垂线，这一点与垂足之间的线段就是垂线段，且垂线段最短．
解：根据垂线段定理，连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短，
∴沿AB开渠，能使所开的渠道最短．
故答案为：连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短．
三．解答题（共8小题）
19．分析:∠1和∠2的比值为x．根据∠AOC=60°和∠1：∠2=2：3，即可求出x，然后即可求出∠2的度数．
解：设∠1和∠2的比值为x，则∠=2x，∠2=3x，
∵∠AOC=60°=∠1+∠2，∠1：∠2=2：3
∴2x+3x=60°，x=12°，
则∠2=3x=3×12°=36°．
答：∠2的度数为36°
20．分析:连接AE，BF，利用平移时，对应点的连线段平行且相等，作线段CG∥BF，且CG=BF，得出G点，△EFG即为所求．
解：连接AE，BF，
过C点作线段CG∥BF，且CG=BF，
连接FG，EG，△EFG即为所求．
21．分析:此题首先由平行线的性质得出∠1=∠3，∠2=∠4，∠BEF+∠EFD=180°，再由EG平分∠BEF，FG平分∠EFD得出∠1+∠2=90°，然后通过等量代换证出∠EGF=90°．
解：∵HG∥AB（已知）
∴∠1=∠3 （两直线平行、内错角相等）
又∵HG∥CD（已知）
∴∠2=∠4
∵AB∥CD（已知）
∴∠BEF+∠EFD=180°（两直线平行、同旁内角互补）
又∵EG平分∠BEF，FG平分∠EFD
∴∠1=∠BEF，
∠2=∠EFD，
∴∠1+∠2=（∠BEF+∠EFD），
∴∠1+∠2=90°
∴∠3+∠4=90° （等量代换），
即∠EGF=90°．
故答案分别为：两直线平行、内错角相等，∠EFD，两直线平行、同旁内角互补，∠BEF，∠EFD，∠BEF+∠EFD，等量代换．
22．分析:根据平行线判定推出BD∥CE，求出∠D+∠CBD=180°，推出AC∥DF，根据平行线性质推出即可．
证明：∵∠1=∠2，
∴BD∥CE，
∴∠C+∠CBD=180°，
∵∠C=∠D，
∴∠D+∠CBD=180°，
∴AC∥DF，
∴∠A=∠F．
23．分析:过E作EF∥AB，再由条件AB∥DC，可得EF∥AB∥CD，根据平行线的性质可得∠1=∠5，∠4=∠6，然后可得∠5+∠6=∠BEF+∠FEC=90°，进而得到结论．
证明：过E作EF∥AB，
∵AB∥DC，
∴EF∥AB∥CD，
∴∠1=∠5，∠4=∠6，
∵∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠5+∠6=∠BEF+∠FEC=90°，
∴AE⊥DE．
24．分析:分别过E、F 点作CD的平行线EM、FN，根据平行线的性质得CD∥FN∥EM∥AB，则∠3=∠2，∠4=∠5，∠1=∠6，而∠1=∠2，于是3+∠4=∠5+∠6．
证明：分别过E、F 点作CD的平行线EM、FN，如图
∵AB∥CD，
∴CD∥FN∥EM∥AB，
∴∠3=∠2，∠4=∠5，∠1=∠6，
而∠1=∠2，
∴∠3+∠4=∠5+∠6，
即∠E=∠F．
25．分析:（1）作OM∥AB，根据平行线的性质得∠1=∠BEO，由于AB∥CD，根据平行线的传递性得OM∥CD，根据平行线的性质得∠2=∠DFO，所以∠1+∠2=∠BEO+∠DFO；
（2）作OM∥AB，PN∥CD，由AB∥CD得到OM∥PN∥AB∥CD，根据平行线的性质得∠1=∠BEO，∠2=∠3，∠4=∠PFC，所以∠1+∠2+∠PFC=∠BEO+∠3+∠4，即∠O+∠PFC=∠BEO+∠P．
（1）证明：作OM∥AB，如图1，
∴∠1=∠BEO，
∵AB∥CD，
∴OM∥CD，
∴∠2=∠DFO，
∴∠1+∠2=∠BEO+∠DFO，
即：∠O=∠BEO+∠DFO．
（2）解：∠O+∠PFC=∠BEO+∠P．理由如下：
作OM∥AB，PN∥CD，如图2，
∵AB∥CD，
∴OM∥PN∥AB∥CD，
∴∠1=∠BEO，∠2=∠3，∠4=∠PFC，
∴∠1+∠2+∠PFC=∠BEO+∠3+∠4，
∴∠O+∠PFC=∠BEO+∠P．
26．分析:（1）根据∠AOD：∠DOB=3：1和平角的定义求出∠BOD，即可求出答案；
（2）根据∠BOD和∠DOC的度数求出∠BOC的度数，根据垂直定义求出即可．
解：（1）∵AOB是一条直线，∠AOD：∠DOB=3：1，
∴∠AOD=×180°=135°，∠BOD=180°﹣135°=45°，
∵OD平分∠COB，
∴∠DOC=∠BOD=45°；
（2）∵∠DOC=∠BOD=45°，
∴∠BOC=45°+45°=90°，
∴OC⊥AB，
即AB与OC的位置关系是垂直．