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10.2
等腰三角形
第十章
三角形的有关证明
定义：有两条边相等的三角形,叫做等腰三角形。
判定：
等腰三角形有两条边相等。
定义的作用
有两条边相等的三角形是等腰△.
性质：
你能运用手中的长方形纸片，一剪刀剪出一个等腰三角形吗？（可以折叠，但不允许度量）
你能利用等腰△的定义说明这样操作的道理吗？
1.经历“探索—发现—猜想—证明”的过程，进一步体会证明的必要性。
2.能用综合法证明等腰三角形的性质定理和判定定理，发展推理能力。
3.能运用等腰三角形的性质定理和判定定理进行论证解题
。
等腰三角形除了两腰相等的性质，我们还通过折纸活动探索并发现了它的哪些性质？
1.等腰三角形的两个底角相等。
2.等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
通过“折叠”活动探索发现的性质可以直接当做真命题吗？
证明一个命题的正确性，要按“已知”“求证”“证明”的顺序和格式写出。
“已知”是命题的条件，
“求证”是命题的结论，
“证明”是推理的过程。
等腰三角形性质定理：等腰三角形的两个底角
相等。
（简述为“等边对等角”）
根据性质定理填空：
已知,如图,在△ABC中,
AB=AC。
∵
_________,
∴
∠B＝∠C
.(
)
AB=AC
等边对等角
A
B
C
等腰三角形性质定理：等腰三角形的顶角平分线、边上的中线、底边上的高互相重合。
根据等腰三角形性质定理2填空：
已知：如图，在△ABC中，AB=AC
.
（1）∵
AB=AC
,AD是顶角的平分线，
∴
⊥
，
=
。
（2）∵
AB=AC
,AD是底边上的中线
∴
⊥
，∠
=
∠
。
（3）∵
AB=AC
,AD⊥BC，
∴∠
=∠
，
=
。
D
A
B
C
3
如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC＝120°，延长BC到D，使CD＝AC，则∠CDA＝
.
B
C
D
A
若过点C作CE⊥AD，垂足为E,且AE=3,则AD的长为
.
E
前面学习中，我们已经证明了等腰三角形的两个底角相等，那么反过来，有两个角相等的三角形是等腰三角形吗？怎样完成证明呢？
（在学案上自主完成证明）
A
B
C
根据判定定理填空：
已知,如图,在△ABC中,
∠B＝∠C
。
∵
__________
,
∴
AB=AC.
(
)
等腰三角形判定定理：有两个角相等的三角形
是等腰三角形。
（简述为“等角对等边”）
∠B＝∠C
等角对等边
通过本节课的学习，
你有哪些收获与感受？
四
大
视
角
看
图
形
等
腰
三
角
形
边
角
内部
整体
两条腰相等（等角对等边）
两底角相等（等边对等角）
三线合一
轴对称图形
☆必做题
☆选做题
将证明命题“等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合”的完整证明过程完成在作业本上。
A
B
C
D
1.如图所示，木工师傅用到
的三角测平架中，AB=AC,
在BC的中点D处挂一个重锤，
自然下垂，调整架身，如果
点A恰好在重锤线上，则BC
就处于水平位置。你能说明
其中的道理吗？
2．习题10.4第3题
O
B
A
D
C
已知：如图，AC和BD相交于点O,
AB∥DC，OA=OB
。
求证：OC=OD第十章《三角形的有关证明》第二节
等腰三角形
1．证明：等腰三角形的两个底角相等。（1）依据命题的条件和结论，画出图形，写出“已知”，“求证”。已知：求证：（2）完成证明。证明：（3）归纳总结：等腰三角形性质定理1：等腰三角形的
。简述为
。（4）根据等腰三角形性质定理1填空：已知，如图，在△ABC中，AB=AC.∵
,
∴∠B＝∠C
.
(
)
2．根据等腰三角形性质定理2填空：已知：如图，在△ABC中，AB=AC.（1）∵AD是顶角的平分线，∴
⊥
，
=
。（2）∵AD是底边上的中线∴
⊥
，∠
=
∠
。（3）∵
AD⊥BC，∴∠
=∠
，
=
。
3.〖练一练〗已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC＝120°，延长BC到D，使CD＝AC，则∠CDA＝
度。若过点C作CE⊥AD，垂足为E，且AE=3,则AD的长为
。
4.求证：有两个角相等的三角形是等腰三角形。（1）已知：求证：（2）证明：（3）归纳总结：等腰三角形判定定理：
的三角形是等腰三角形，简述为
。（4）根据根据等腰三角形判定定理填空。已知，如图，在△ABC中，∠B＝∠C.∵
,∴
AB=AC
.(
)
〖备用题〗已知：如图，AC和BD相交于点O,AB∥DC，OA=OB.
求证：OC=OD
〖作业题〗1．如图所示，木工师傅用到的三角测平架中，AB=AC,在BC的中点D处挂一个重锤，自然下垂，调整架身，如果点A恰好在重锤线上，则BC就处于水平位置。你能说明其中的道理吗？2．习题10.4第3题选做题：将证明命题“等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合”的完整证明过程完成在作业本上。
A
B
C
D
A
B
C
B
A
C
D
A
B
C
A
C
D
B
O
A
B
C
D鲁教版七年级上册---第十章第2节
《等腰三角形》课前学习活动设计
【活动一】体会证明的必要性
情境1
某学习小组发现，当n=0，1，2
( http: / / www.21cnjy.com )，3时，代数式n2-n+11的值都是质数，于是得到结论：对于所有自然数n，
n2-n+11的值都是质数．你认为呢？与同伴交流．
参考答案：列表归纳为
n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
…
n2-n+11
11
11
13
17
23
31
41
53
67
83
101
121
是否为质数
是
是
是
是
是
是
是
是
是
是
是
不是
活动目的：
对现在结论进行验证，让学生感受到知识
( http: / / www.21cnjy.com )有时具有一定的迷惑性（欺骗性），从而对不完全归纳的合理性产生怀疑，为下一步的学习提供必要的精神准备．
注意事项：
学生通过列表归纳，根据自己以往的经验判断，在n=10以前都一直认为n2-n+11是一个质数，但当n=10时，找到了一个反例，进而发现不能根据少数几个现象轻易肯定某个数学结论的正确性．
情境2：
如图，假如用一根比地球的赤道长1米的铁丝将地球赤道围起来，那么铁丝与地球赤道之间的间隙能有多大（把地球看成球形）？能放进一个红枣吗？能放进一个拳头吗？
参考答案：设赤道周长为c，铁丝与地球赤道之间的间隙为
：
它们的间隙不仅能放进一个红枣，而且也能放进一个拳头．
活动目的：
通过理性的计算，验证了很难想像到的结论，让学生产生思维上的碰撞，进而对自己的直观感觉产生怀疑，再次为论证的合理性提供素材．
注意事项：
要充分让学生发表自己的见解，首先让学生对自
( http: / / www.21cnjy.com )己的结论确信无疑，再进一步计算，结果与学生的感觉产生矛盾，切忌直接进行计算，把结论告诉学生，这样就达不到预想的要求，不能让学生留下深刻的印象.
通过以上两个数学活动情境，使学生对每一个问题的结论的正确性有了怀疑，从而知道了由观察、猜想等渠道得到的结论还必须经过有效的证明才能对其进行肯定．也即：要判断一个数学结论是正确，仅观察、猜想、实验还不够，必须经过一步一步，
有根有据的推理．
【活动二】回顾命题的结构
活动内容
1.探讨命题的结构特征
观察下列命题，发现它们的结构有什么共同特征？
（1）如果两个三角形的三条边对应相等，那么这两个三角形全等．
（2）如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两个底角相等．
（3）如果一个四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形是平行四边形．
（4）如果一个四边的对角线相等，那么这个四边形是矩形．
（5）如果一个四边形的两条对角线互相垂直，那么这个四边形是菱形．
2.总结命题的结构特征
（1）上述命题都是“如果……，那么……”的形式．
（2）“如果……”是已知的事项，“那么……”是由已知事项推断出的结论．
（3）一般地命题都可以写成“如果……,那么……”的形式，其中“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的结论，每个命题都有条件和结论．
活动目的：对命题的结构进行分析，让学生会判断一个命题的条件和结论．
注意事项：
分小组交流讨论，教师引导进行归纳．
应告诫学生当一个命
( http: / / www.21cnjy.com )题改写成“如果……那么……”的形式时，要注意改写时不要机械地添上“如果”和“那么”，应适当地补充一些修饰语句，使改写后的语句通顺，完整。
【活动三】回顾命题证明的格式
活动内容：
命题证明：同角的补角相等。
活动目的：
通过命题的证明，使学生充分回顾证明一个
( http: / / www.21cnjy.com )命题的正确性，要按“已知”“求证”“证明”的顺序和格式写出。其中“已知”是命题的条件，“求证”是命题的结论，而“证明”则是由条件（已知）出发，根据已给出的定义，基本事实和已经证明的定理，经过一步一步的推理，最后证实结论（求证）的过程。
鲁教版七年级上册---第十章第2节
《等腰三角形》课堂活动教学设计
学习目标：
1．经历“探索—发现—猜想—证明”的过程，进一步体会证明的必要性。
2．能用综合法证明等腰三角形的性质定理和判定定理，发展推理能力。
3．能运用等腰三角形的性质定理和判定定理进行论证解题
。
教学重点、难点：
教学重点：进一步明确证明的必要性，掌握推理证明的基本要求。
教学难点：探索证明等腰三角形性质定理及判定定理的思路和方法，掌握基本证明步骤和要求。
评价方法设计：
1.通过环节一的问题2、环节二的问题2，检测目标1的达成。
2.通过环节二的问题3-5、环节三的问题1、环节四的问题1，检测目标2的达成。
3.通过环节三的“练一练”、环节四的问题2，检测目标3的达成。
教学过程：
一、创设情境，导入课题
【师生活动】
1.问题1：我们生活在丰富多彩
( http: / / www.21cnjy.com )的图形世界里，各种图形装点着我们的生活，我们一起来欣赏一组生活中的图片。在这几幅图片中，都包含着一类特殊的三角形，你能找到吗？你是如何判断出等腰三角形的？
设计目的:
（1）通过一组生活图片，引领学生观察、思考、判断，尝试把现实生活中的物体抽象成几何图形，激发学生的学习兴趣及求知欲。
（2）通过等腰三角形的判断依据，
( http: / / www.21cnjy.com )回顾等腰三角形的定义，使学生体会“定义”可以做为等腰三角形的一种判定方法，也可以做为等腰三角形的一个性质，从而为下一步的动手操作及说理做好铺垫。
活动预期:通过观察、判断，大多数学生能从
( http: / / www.21cnjy.com )图片中抽象出等腰三角形，并能用“定义”做为判定等腰三角形的一个方法，而其做为“性质”来用，少部分同学可能有所遗忘，教师可尝试运用启发性的语言进行引导，如“等腰三角形的定义可以带来什么样的性质？”，引领学生充分回顾好等腰三角形的定义及作用。
2.问题2:
你能运用手中的长方形纸片，一剪刀剪出一个等腰三角形吗？（可以折叠，但不允许度量）
你能利用等腰△的定义说明这样操作的道理吗？
设计目的:
（1）通过挑战性的动手操作活动，调动学生的参与热情，激发他们的探究欲望。
（2）通过“利用定义说明
( http: / / www.21cnjy.com )操作道理”这一说理过程，使学生发现有的操作方法可以直接利用定义说理，有的操作方法却不能直接利用定义推理，引发学习新知的必要性。
活动预期:经过认真思
( http: / / www.21cnjy.com )考及以往的操作体验，大多数学生可以一剪刀剪出一个等腰三角形，而对于小部分有困难的学生，教师可以鼓励其与同伴合作完成。当剪出等腰三角形后，有的学生能够直接利用定义说明，有的学生则会发现自己的操作方法不能直接利用定义去说明，教师可给学生留下疑问，从而激起学生的认知冲突，为后续学习做好充分的铺垫。
3.教师板书课题并出示学习目标。
设计目的：出示本节课的学习目标，使学生的课堂学习有明确的方向，促进学生在课堂的各个环节里主动地围绕目标探索,更好地达成学习目标。
活动预期:对于目标意识有欠缺的同学，教师可在教学过程中适时强化学习目标。
二、温故探新，规范证明
【师生活动】
1.问题1：等腰三角形除了两腰相等，在上学期的学习中，我们还通过折纸活动，探索并发现了等腰三角形的哪些性质？
设计目的:引领学生尽可能回忆起探索过的等腰三角形有关性质，为下一步的命题证明做准备。
活动预期:
如果学生回忆有困难，教师
( http: / / www.21cnjy.com )可以引导学生利用手中的等腰三角形纸片回忆之前的折纸过程，也可以运用课件演示激起学生的回忆。如果学生的表述不全面，或者命题表述语言不够严谨，可以通过其他同学的补充完成回顾。
2.问题2：通过折纸活动探索并发现的性质,可以直接当做真命题吗？教师引导学生回顾命题证明的顺序和格式。
设计目的：
（1）通过折纸活动发现的性质并不能直接当做推理的依据，进一步强化学生对证明必要性的认识。
（2）通过对命题证明顺序及格式的回顾，为学生规范证明格式做好铺垫。
活动预期：学生进一步明确了证明的必要性，而对于证明的顺序，虽然有了一定的认识，但可能不熟练，所以要在证明之前做好回顾，并在学习中继续强化。
3．教师引导学生说出命题的条件和结论，学生尝试根据命题画出图形，写出“已知”、“求证”。
设计目的：培养学生对文字语言、符号语言和图形语言的转换能力。
活动预期：对于转换有困难及转换不规范的学生，可以通过其他的学生交流予以补充和完善，必要时教师做转化指导。
4.学生独立思考证明过程后，再把证明过程放到小组中交流，鼓励学生尝试运用多种方法解决，小组代表准备交流证明方法。
设计目的：通过与他人的交流，比较证明方法的异同，提高学生的逻辑思维水平。
活动预期：如果学生没有证明思路，教师可以引导学生通过回顾折纸过程，从而带来证明启示。
5.请小组代表交流证明思路及证明步骤，其他同学补充完善，并选择自己喜欢的方法将证明过程完成。
设计目的：
(1)通过方法交流，关注学生能否获得证明的思路，能否用规范的数学语言表达思考的过程，能否尝试用不同的方法去证明命题。
(2)通过书写证明过程，进一步规范学生推理的严密性。
活动预期：在证明过程中，辅助线的规范描述可能有问题，推理过程也可能有欠缺，教师在教学时要注意引导学生规范证明步骤。
6.引导总结等腰三角形性质定理1：等腰三角形的两个底角相等，简述为等边对等角。
并尝试运用符号语言表示性质定理1。
设计目的：
(1)通过归纳总结等腰三角形的性质定理1,使学生养成及时总结的好习惯。
(2)通过“文字语言”到“符号语言”的转换，使学生明确性质定理的运用格式。
活动预期：大多数学生能够完成“文字语言”到“符号语言”的转化，对于少数有困难的学生，教师可以从推理依据的填法引导其加以体会。
三、拾级而上，更进一步
【师生活动】
1.问题1：在前面研究问题的图形中,线段AD还具有怎样的性质 为什么 由此你能继续证明等腰三角形的第二个性质吗？
设计目的:在证明全等三角形的基础上，自然引入学生对性质2的证明，水到渠成。
活动预期：部分学生如果有疑惑，可以尝试作其它辅助线的做法证明并交流,充分体会得到此性质的推理依据。
2.总结等腰三角形性质定理2:等腰三角
( http: / / www.21cnjy.com )形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，简述为“三线合一”。并尝试用符号语言表示性质定理2.
设计目的：
(1)通过归纳总结等腰三角形的性质定理2,使学生养成及时总结的好习惯。
(2)通过“文字语言”到“符号语言”的转换，使学生明确性质定理的运用格式。
活动预期:在“文字语言”转化为“符号语言”过程中，如果学生有困难，教师可以先引导学生完成第1种情况的填法，引导学生完成转换。
3.练一练：已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC＝120°，
延长BC到D，使CD＝AC，则∠CDA＝
度；
若过点C作CE⊥AD，且AE=3,则AD=
。
设计目的：学生尝试运用等腰三角形的性质定理进行推理解题。
活动预期：大多数学生能够应用等腰三角形的性质定理进行论证解题，对于有困难的同学可通过与同桌交流，体会性质定理的应用。
四、逆向思考，自主证明
【师生活动】
1.议一议：前面学习中，我们已经证
( http: / / www.21cnjy.com )明了等腰三角形的两个底角相等，那么反过来，有两个角相等的三角形是等腰三角形吗？你能完成证明吗？学生尝试自主完成命题的证明。
设计目的：
（1）引导学生养成“反过来”思考问题的意识，使学生体会这一获得数学结论的途径。
（2）通过学生自主完成命题的证明过程，关
( http: / / www.21cnjy.com )注学生能否类比性质定理1的证明方法，尝试用不同的方法完成对命题的证明，关注学生能够规范地完成一个命题的证明。
活动预期：在“等边对等角”的证明过程
( http: / / www.21cnjy.com )中，学生积累了充分的解题经验，教师可鼓励学生尝试用不同方法完成证明，对于有困难的学生，教师注意引导，并鼓励学生按要求将推理过程书写出来。
2.总结等腰三角形判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形,简述为等角对等边。并尝试运用符号语言表示这个定理。
设计目的：
（1）通过归纳总结等腰三角形的判定定理,使学生养成及时总结的好习惯。
（2）通过“文字语言”到“符号语言”的转换，使学生明确判定定理的运用格式。
活动预期：多数学生能够完成“文字语言”到“符号语言”的转化，对于少数有困难的学生，可以从推理依据的填法引导其加以体会。
3.问题2：我们再来回顾“一刀剪等腰三角形”的问题，你能运用等腰三角形的判定定理说明吗？
设计目的：通过运用等腰三角形的判定定理
( http: / / www.21cnjy.com )说理，一方面使学生进一步明确,除了基本事实及定义，只有经过推理证明得到的定理才能做为解题的理论依据，另一方面，也考查了学生灵活运用判定定理解决问题的能力。
活动预期：多数学生可以尝试运用等腰三角形的判定定理说理，对于有困难的同学，引导他们认真倾听，体会同伴的说理方法，必要时教师做好指导。
五、
课堂小结，交流反馈
【师生活动】
问题：你能试着对本节课所学内容做一下总结吗？你有哪些感受与收获？
教师引领总结提升。
设计目的：
（1）通过学生总结，培养学生的归纳、概括能力，促进学生养成反思的良好习惯。
（2）通过教师引领，提升学生对于几何图形的认识。
活动预期：通过学习小结的归纳，
( http: / / www.21cnjy.com )进一步体会证明的必要性，学生的定理体系进一步扩张，为以后的证明提供了更加广阔的思路。教师引导学生从四大角度来看等腰三角形，提升学生的数学素养。
六
分层作业，延伸提高
1.必做题：
(1)如图所示，木工师傅用到的三角测平架中，AB=AC,
在BC的中点D处挂一个重锤，自然下垂，调整架身，
如果点A恰好在重锤线上，则BC就处于水平位置。
你能说明其中的道理吗？
(2)习题10.4第3题
2.选做题：
按证明命题的格式，将证明命题“等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合”的完整证明过程完成在作业本上。
设计目的：分层作业可以使不同的学生得到
( http: / / www.21cnjy.com )不同层次的提高。必做题让学生进一步体会等腰三角形知识在生活中的应用，加深学生对于性质定理及判定定理的理解应用;选做题则进一步提高学生的规范组织证明步骤的能力。
活动预期：学生充分体会数学知识在生活中的应
( http: / / www.21cnjy.com )用，激发其进一步学习数学的兴趣和学好数学的信心。对于作业题推理过程不严密的学生，可以在下节课中交流完善。
B
A
C
D
A
B
C
D
