《一次函数》教学设计
皇冠中学 董芳妤
教学目标
1.理解一次函数和正比例函数的概念，以及它们之间的关系；
2.能根据所给的信息写出简单的一次函数表达式；
3.经历一般规律的探索过程发展学生的抽象思维能力；
4.经历利用一次函数解决实际问题的过程，发展学生的数学应用能力。
教学重点和难点：
（1）教学重点：
1.一次函数、正比例函数的概念；
2.一次函数、正比例函数的关系；
3.会根据已知信息写出一次函数的表达式。
（2）教学难点：
1.根据实际情景写出一次函数的表达式；
2.一次函数知识的应用。
教学过程：一、创设问题，引领导入：?
这一环节我通过设置两个问题引导学生概括出一次函数的概念。?
提出问题
问题1：某弹簧的自然长度为3厘米，在弹性限度内，所挂物体的质量x每增加1千克、弹簧长度y增加0.5厘米。21教育网
（1）计算所挂物体的质量分别为1千克、2千克、3千克、4千克、5千克时弹簧的长度，并填入下表：
x/千克
0
1
2
3
4
5
y/厘米
3
3.5
4
4.5
5
5.5
（2）你能写出y与x之间的关系式吗？
问题2：某辆汽车油箱中原有油60升,汽车每行驶50千米耗油6升.
（1）完成下表：
汽车行驶路程x/千米
0
50
100
150
200
300
耗油量y/升
0
6
12
18
24
36
（2）你能写出耗油量y（L）与汽车行驶路程x(km)之间的关系吗？
（3）你能写出油箱剩余油量z(L)与汽车行驶路程x(km)之间的关系吗？
学生活动：学生独立思考后，小组交流并举手回答问题。
教师活动：让学生带着问题去研究，找出函数和变量之间的关系，计算出对应值。但是让学生写出x与y之间的关系式有一定的难度，学生出现一定的差异在所难免，教学中应该给予学生一定的思考空间，组织学生进行小组交流，教师适当点拨，不要简单地“告诉”。学生经过交流讨论会得出。提问平时学习较弱的学生回答是否函数关系，关系式是什么？同时追问判断的依据是什么？引导学生回忆函数的定义。然后再引导学生解释列关系式的理由。
设计目的：1.回忆旧知识；2.便于之后观察一次函数的特点，总结一次函数的定义。
（二）引入新课：
我们刚刚列出的两个函数关系式有相同的特点，我们把它叫做一次函数，请大家观察这两个函数的特点，说说什么是一次函数？21·cn·jy·com
答案：若两个变量x、y间的关系式可以表示成y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的形式，则称y是x的一次函数（x为自变量，y为因变量）.2·1·c·n·j·y
学生活动：思考并与同学讨论。
教师活动：总结归纳学生的各种讨论结果，并引导学生正确表达。学生的回答结果可能从变化规律说，y随x的变化是固定的，x变化1，y就变化k；也可能从形式上说，如果y=0，就变成了一个一元一次方程。【来源：21·世纪·教育·网】
我们发现这两个表达式的形式与一元一次方程的表示形式有类似的地方，那么我们能不能模仿一元一次方程的一般形式写成一次函数的一般形式？21·世纪*教育网
两个变量x、y间的关系式可以表示成y=kx+b（k、b为常数，k≠0）。在这个表达式中k、b为常数且k≠0，请同学们思考，如果k=0会怎样？b能不能等于0？www-2-1-cnjy-com
结论：若两个变量x、y间的关系式可以表示成y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的形式，则称y是x的一次函数（x为自变量，y为因变量），当b=0时，称y是x的正比例函数。
二、问题实践
这一环节我设计三个例题，在理解一次函数和正比例函数的概念的基础上，根据x与y之间的关系式区分一次函数和正比例函数，并能根据所给条件写出简单的一次函数表达式。
例1：判断下列各式中y与x之间的函数关系是不是一次函数？是不是正比例函数？如果是一次函数那么y=kx+b（k、b为常数，k≠0）中的k和b的值分别是多少？
（1）y=-x-3
（2）y=x2+3x-19
（3）y=
（4）
答案：（1）y=-x-3是一次函数，k=-1；b=-3
（2）y=x2+3x-19不是一次函数
（3）y=是一次函数，也是正比例函数，k=
（4）不是一次函数
学生活动：学生思考后举手回答问题，并说清楚判断的理由。
教师活动：教师听取学生的回答思路，并给以点评。如果是一次函数请说明谁相当于k？相当于b？如果不是说明为什么不是。2-1-c-n-j-y
设计目的：本题的目的是让学生从表达式的形式上深刻认识一次函数，并且能准确的找到一次函数中的k和b的值为后面几节研究一次函数的性质打好基础。（1）和（3）是常见的一次函数和正比例函数，（5）看似不是一次函数，但是经过化简之后能写成一次函数的形式，所以也是一次函数，借此告诉学生一次函数的定义和一元一次方程的定义一样都要求的是化简后能写成一次函数的形式就可以，不能简单的看开始的形式。（2）是一个二次函数，学生直接从x的次数上就可以直接判定。（4）是一个反比例函数，但是学生在确定时会产生争议，此时可以与一元一次方程相对比，也可以写出x的次数来判定。通过例1的讨论和解决学生对于一次函数的定义会更深刻理解掌握，并能准确的找到k和b的值。21*cnjy*com
例2：写出下列各题中x与y之间的关系式，并判断：y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？
（1）汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶路程中y（千米）与行驶时间x（时）之间的关系式；
（2）圆的面积y（厘米2）与它的半径x（厘米）之间的关系；
（3）一棵树现在高50厘米，每个月长高2厘米，x月后这棵树的高度为y（厘米）
答案：（1）y=60x是一次函数
（2）y=πx2不是一次函数
（3）y=2x+50是一次函数
学生活动：学生独立完成此题，并举手回答问题。
教师活动：此题除了要问清楚学生的解答结果，还得问清楚列关系式的理由，同时如果是一次函数或正比例函数还需要让学生说出k和b的值。【来源：21cnj*y.co*m】
设计目的：根据已知信息写出一次函数表达式也是本节课的一个重点，所以设计了此例题，一方面让学生体会生活中的一次函数，另一方面再次让学生判断一次函数的形式继续例1的问题。【出处：21教育名师】
例3、某电信公司手机的A类收费标准如下：不管通话时间多长，每部手机每月必须缴月租费12元，另外，每通话1分钟交费0.2元。（1）写出每月应缴费用y（元）与通话时间x（分）之间的关系式；（2）某手机用户这个月通话时间为180分钟，他应缴费多少元？（3）如果该手机用户本月预交了100元话费，那么该用户本月可通话多长时间？【版权所有：21教育】
B类收费标准如下：没有月租费，但每通话1分钟收费0.25元，按照此类收费标准，分别完成上题中的各小题。21教育名师原创作品
（1）若每月平均通话时间为300分钟，你选择哪类收费方式？
（2）每月通话时间多长时，按A，B两类收费标准缴费，所缴话费相等？
学生活动：思考并解答问题，可以同学间讨论。
教师活动：提问学生的思路并解答此题。同时板书此题的完整解答过程。
设计目的：根据所给条件写出简单的一次函数表达式是本节课的重点又是难点，所以在解决这一问题时及时引导学生总结学习体会，教给学生掌握“从特殊到一般”的认识规律中发现问题的方法。类比出一次函数关系式的一般式的求法，以此突破教学难点。在学习过程中，教师巡视并予以个别指导，关注学生的个体发展。通过例3的解答让学生学会运用一次函数解决问题，同时通过例3的解答过程教会学生如何书写.
当例3全部解答完之后让学生思考，如果通话时间超过600分钟应用哪个公式计算，引起学生的思考，依据实际背景列出的一次函数自变量的取值范围受实际背景限制，同时在回顾刚才的几道例题中一次函数自变量的取值范围是什么？21世纪教育网版权所有
问题探究
1、已知函数y=(m+1)x+(m2-1),
(1)当m取什么值时， y是x的一次函数？
(2)当m取什么值时,y是x的正比例函数？
2、若y=(m-2) +m是一次函数. 求m的值.
学生活动：小组合作、探究、讨论、思考，得出结论（课件演示）
教师活动：那么，如何解决这个问题呢？组织探究，参与各组讨论、适度点拨。给学生充分讨论的时间，让他们从多个角度理解一次函数的定义，这个环节不能急，一定要落实下去。
设计目的：一次函数和正比例函数概念是本节的重点，通过本题强化学生对概念的理解与灵活应用。
四：感悟点滴
在本堂课的学习中有什么收获和感悟呢？
引导学生回忆一次函数、正比例函数的概念及关系。并能根据已知简单信息，写出一次函数的表达式。
设计意图：条理本节内容，回顾做题经历，畅谈个人体会，互相交流借鉴。原本分散的知识更加系统化、结构化，初步形成知识网络不仅仅是知识点的简单罗列，而是优化认知结构，完善知识体系的一种有效手段。21cnjy.com
五：课堂检测（5分钟）
1、在函数y=-2x-5中，k=_____,b=_____ 2、已知函数y=(m-10)x+m2-10m. （1）当m_____时，这个函数是一次函数。 （2）当m_____时，这个函数是正比例函数。 3、函数y=kx+b是一次函数，则（ ）www.21-cn-jy.com
A k≠0 ,b≠0 B k≠0 ,b为任何常数
C k>0,b>0 D k>0,b≠0 4、有一幢25层高的建筑物，如果底层高6米，以上每层高4米，求楼高h（米）与层数n之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围。21*cnjy*com
《一次函数》评测练习
皇冠中学 董芳妤
1、在函数y=-2x-5中，k=_____,b=_____ 2、已知函数y=(m-10)x+m2-10m. （1）当m_____时，这个函数是一次函数。 （2）当m_____时，这个函数是正比例函数。 3、函数y=kx+b是一次函数，则（ ）21世纪教育网版权所有
A k≠0 ,b≠0 B k≠0 ,b为任何常数 C k>0,b>0 D k>0,b≠0 4、有一幢25层高的建筑物，如果底层高6米，以上每层高4米，求楼高h（米）与层数n之间的函数关系式.21教育网
课件13张PPT。威海经技区皇冠中学 董芳妤 一次函数 问题1. 某弹簧的自然长度为3cm，在弹性限度内，所挂物体的质量x每增加1千克，弹簧长度y增加0.5cm.
(1)计算所挂物体的质量分别为1千克、 2千克、 3千克、 4千克、 5千克时的长度，并填入下表：
(2)你能写出x与y之间的关系吗？33.544.555.5y=0.5x+3问题引入 y=3x, y=3+0.5x, y=0.12x, z=60-0.12x
观察这些关系式,你能说说它们有什么共同特征吗？
自主归纳，引出新知=一次函数的概念：1特别地，当ｂ＝０时，称ｙ是ｘ的正比例函数。自主归纳，引出新知若两个变量 x、y之间的关系可以表示成y=kx+b(k,b为常数，
k不等于0）的形式，则称 y是x的一次函数.
（x为自变量，y为因变量.）1、下列函数关系式中，哪些是一次函数，哪些是正比例函数（1）y=-x-4 （2) y=x2+3x+2（3）y=2问题实践2、写出下列各题中y 与 x 之间的关系式，并判断：y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？
（1）汽车以60千米/时的速度匀速行驶,行驶路程为Y(千米)与行驶时间X(时)之间的关系;（2）圆的面积y(平方厘米)与它的半径x(厘米)之间的关系；（3）一棵树现在高50厘米，每个月长高2厘米，x月后这棵
树的高度为y 厘米。问题实践问题实践3、某电信公司手机的A类收费标准如下：不管通话时间多长，每部手机每月必须缴月租费12元，另外，每通话1分钟交费0.2元。
（1）写出每月应缴费用y（元）与通话时间x（分）之间的关系式；
（2）某手机用户这个月通话时间为180分钟，他应缴费多少元？
（3）如果该手机用户本月预交了100元话费，那么该用户本月可通话多长时间？问题实践B类收费标准如下：没有月租费，但每通话1分钟费0.25元，按照此类收费标准.
（1）写出每月应缴费用y（元）与通话时间x（分）之间的关系式；
（2）某手机用户这个月通话时间为180分钟，他应缴费多少元？
（3）如果该手机用户本月预交了100元话费，那么该用户本月可通话多长时间？
（1）若每月平均通话时间为300分钟，你选择哪类收费方式？
（2）每月通话时间多长时，按A，B两类收费标准缴费，所缴话费相等？
1、已知函数y=(m+1)x+(m2-1),
(1)当m取什么值时， y是x的一次函数？
(2)当m取什么值时,y是x的正比例函数？问题探究
1、已知函数 +2 是正比例函数，求 的 值 .问题探究
本 节 课 你 有 何 收 获?回顾反思，升华提高课堂检测，查缺补漏1、在函数y=-2x-5中，k=_____,b=_____ 2、已知函数y=(m-10)x+m2-10m. （1）当m_____时，这个函数是一次函数。 （2）当m_____时，这个函数是正比例函数。 3、函数y=kx+b是一次函数，则（ ）
A k≠0 ,b≠0 B k≠0 ,b为任何常数C k>0,b>0 D k>0,b≠0 4、有一幢25层高的建筑物，如果底层高6米，以上每层高4米，求楼高h（米）与层数n之间的函数关系式.结束寄语时间是一个常数,但对勤奋者来说,是一个“变数”.
你在学业上的收获与你平时的付出是成正比的
