《平行四边形》教学设计
一、教材分析
教材的地位和作用
《平行四边形》是鲁教版初中数学八年级下册第八章第一节第一课时的内容。学生在初二下册已经探索过平行四边形的性质，但没有从数学的角度进行推理论证，这节课是对平行四边形性质的深入探究。平行四边形既是全等三角形的延续和深化，又是后续学习矩形、菱形、正方形等知识的坚实基础，也为今后证明线段相等、角相等提供新的思路。因此在教材中起着承前启后的作用。
二．课标解读
在初中数学课程标准中，第三学段数与代数对平行四边形部分是这样描述的：
1．理解平行四边形的概念；
2．掌握用综合法证明平行四边形的性质以及其他相关结论；
3．体会在证明过程中所运用的归纳、类比、转化等数学思想方法。
4．会用平行四边形的性质进行有关的证明；并通过对平行四边形性质的探究与应用，发展学生的演绎推理能力和发散思维能力，进一步学习有条理地思考与表达；21世纪教育网版权所有
依据对课标、教材及学生的认知特点，确定本节的教学目标如下：
1.会用综合法证明平行四边形的性质。
2.会用连接对角线的方法解决平行四边形的相关问题，体验转化等数学思想。
3.会运用综合法和分析法进行几何证明，能灵活运用平行四边形的性质定理进行证明，提升逻辑推理能力，感悟数学思想方法的运用，积累解题活动经验。
三．学情分析
教法设计：
初三学生的逻辑思维正处于迅速发展的转折期，开始由“经验型”向“理论型”转化，因此我在课堂上给予他们足够的时间与空间，让他们自己去发现、去分析。基于这一点，本节课我采用：自主探究、启发思考、小组合作的教学方法。
学法指导：
结合初三学生的特点，我让学生自己通过观察、类比、猜想等活动归纳出数学知识，实行小组合作探究，渗透“由特殊到一般及转化”的数学思想。
教学重点与难点
教学重点：平行四边形的性质的证明与应用
【设计意图】新课标中指出：在几何教学中，应当注重发展学生的几何直观、推理能力和模型思想。所以我把平行四边形的性质的证明与应用作为学生学习的重点 。21·cn·jy·com
教学难点：三个性质定理的证明的逻辑顺序
【设计意图】学生在初二时已探究出了平行四边形的性质，并初步运用之解决相关问题，初三下学期再次拿出来进行证明，他们会分不清哪个结论不需证就可以作为证明的依据，所以本节课的教学难点确定为三个性质证明的逻辑顺序。
四、评价设计
1、通过探究活动一“平行四边形性质的证明”检测学生对目标1、2的达成。
2、通过探究活动三的变式训练，检测目标3的达成。
五、教学过程
（一）复习旧知，引入新课
【黑板出示】（平行四边形）
【教师活动】提问：认识这个特殊的四边形吗？
什么叫平行四边形？
你学过平行四边形的哪些性质？
【学生活动】自主发言
【设计意图】复习旧知，引入新课，既帮学生回顾了探究多边形的方法，又巩固了旧知，为下面性质的证明做好准备，极大地调动了学生学习新知的积极性。
【问题应对】学生对平行四边形边角的性质记忆深刻，对角线的性质可能会忘记，教师可以引导学生思考：我们研究图形的性质都是围绕哪几方面进行的？另外回顾时学生会遗漏平行四边形的中心对称性，教师可提问学生：平行四边形是什么对称图形？以便帮助学生形成完整的知识体系。2·1·c·n·j·y
（二）探究新知：
活动一、证明平行四边形的性质定理
１.【学生活动】从三个命题中任选一个命题独立进行证明。
学生一般会有3种探究思路：一是先证明对边相等；二是先证对角相等；三是先证对角线互相平分。
【教师活动】抽三名学生到黑板完成，分别是证明上述三个命题的。
【学生活动】
①指出命题证明步骤中存在的问题。
②对同一个命题的证明还有哪些不同的证明方法？
③证对边相等和对角相等两个命题能否一次完成？
④先证对角线互相平分行不行？并说出理由。
【设计意图】回顾命题证明的步骤，同时经历了从不同角度寻求分析问题和解决问题的方法过程，掌握分析问题和解决问题的一些基本方法，体验解决问题方法的多样性，【来源：21·世纪·教育·网】
【问题应对】性质的证明是本节课的重点之一，这三条性质证明的逻辑顺序是本节课的难点。在这里我把3个命题一起推给学生，让他们自己去考察哪些结论能够马上证明，哪些结论的证明所需要的依据还不足，也就是考察它们之间的逻辑顺序。学生通过自己思考去发现命题间的逻辑顺序会使他们对证明的意义有更深刻的认识与理解。通过交流规范证明命题的一般步骤；同时得出证明对边等，对角等两个命题可以一步完成；先证明对角线互相平分，条件不足。
2．【学生活动】对照点评独立规范证明步骤，完成剩下两个命题的证明。
【教师提问】以上证明，你运用哪些了证明线段等，角等的方法？
【设计意图】进一步巩固命题证明的基本步骤。在证明的过程中，学生还会发现研究平行四边形的主要辅助线是对角线，它把平行四边形分成两个全等三角形，进而将平行四边形内证线段或角相等的问题转化为证三角形全等的问题，在这里主要是向学生渗透转化的数学思想。21·世纪*教育网
【问题应对】指出平行四边形性质定理为证明线段等，角等提供了依据。
3．【学生活动】梳理平行四边形的性质
①思考从平行四边形的哪几方面进行梳理。
②同桌口答，既要说出性质的文字语言，也要说出几何语言
③对照屏幕展示，检查梳理有无遗漏。
【设计意图】学生在口答的同时，将平行四边形的所有性质在头脑里进行了梳理，形成完整的知识体系。
【问题应对】让学生回答从哪几方面进行梳理，学生可能不明确答案，教师再次指出：对所有图形的研究我们都是围绕边，角，对角线展开的。帮助学生掌握研究所有图形的方法，为终身学习服务。www-2-1-cnjy-com
活动二．探究平行线间平行线段的关系。
【教师活动】提出问题：将“平行线间的垂线段处处相等”，中“垂线段”这个条件改变一下，你认为可以如何改？【出处：21教育名师】
【学生活动】独立探究，集体展示，说明理由。
【设计意图】在这里，将问题设计为开放性问题，目的是激发学生的探究乐趣，调动学生的学习积极性。
【问题应对】因为“垂线段”的本质就是创造了“平行”的条件，因此学生不难发现只要是“平行的线段”即可。这是对已有知识的拓展与延伸，同时也是让学生体会由“特殊到一般”的数学思想。【版权所有：21教育】
活动三．变式训练
第一组：
1.典例精析：
已知：如图(1)，在□ABCD中，E、F是对角线BD上的两个动点，如果AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为点E，F.求证：AE=CF.21教育名师原创作品
【学生活动】先独立完成，然后集体展示，展示时重点交流分析思路，
【设计意图】是对“平行四边形的对边平行且相等”性质的运用；让学生学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果。21教育网
【问题应对】学生一般只会从已知进行分析，教师引导学生从结论进行分析，掌握用分析法和综合法分析几何证明思路的方法。同时进一步让学生体会到证明线段等常用的方法是转化成证两个三角形全等，www.21-cn-jy.com
2．如图（2），如果将“AE⊥BD,CF⊥BD”去掉，要使AE=CF仍然成立，则需要添加一个什么条件？有几种不同添加方法？请选择一种添法给出证明。
【学生活动】独立完成，抽一名学生到黑板板演，并展示如何分析找到添加条件的方法。学生对照黑板规范自己的证明步骤。21*cnjy*com
【设计意图】知识上仍然是对“平行四边形的对边平行且相等”的运用。方法上让学生能探索出解决问题的有效方法，并试图寻找其他方法。同时在他人的指导下，能够发现数学活动中的错误并及时改正。
【问题应对】个别学生不会添加条件，可引导学生进行分析得出：解决这种添加条件的问题，应先从问题入手分析，找到缺少的条件即可。
【自我评价】：
如图（3），如果E、F两点沿直线BD继续运动，当AE‖FC时，上述结论还成立吗？并说明理由。
【学生活动】独立完成，小组内展示分析思路，小组长帮忙检查规范证明步骤。
【教师活动】了解学生完成情况
【设计意图】检查学生能否灵活运用“平行四边形的对边平行且相等”的性质进行证明，并掌握几何证明的分析方法。同时让学生通过对这种运动变化问题的研究，透过现象看本质，体验“动中有静”的辩证思想2-1-c-n-j-y
第二组：
1．已知：如图（4），□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，直线MN过点O，且与AB，DC分别相交于点M，N．求证：OM=ON.
2：如图（5）将直线MN绕点O旋转任意角度，OM与ON还相等吗？
【学生活动】独立思考后，集体交流分析思路。
【设计意图】既是对“平行四边形对角线互相平分”的运用；同时也进一步提高学生分析问题，解决问题的能力。
【自我评价】
如图（6），若直线MN过BD的中点O,分别交BA，CD的延长线交于点M，N。
①上述结论还成立吗？
②图中有几对全等三角形？
③观察②中你所找出的任意一对全等三角形，其中一个三角形可由另一个三角形经过怎样的变换得到的?
【学生活动】独立思考，集体交流。
【教师活动】提问：你是怎么快速找到全等三角形的？
为什么在平形四边形中有这么多全等三角形？
【设计意图】培养学生的几何直观意识，同时让学生进一步体会到因为平行四边形的中心对称性决定了在平行四边形中有许多全等三角形。将本节课的知识进行了升华。21cnjy.com
（三）分享收获
【学生活动】自由发言
知识：证明了平行四边形的性质。
方法：归纳了证明两边相等，两角相等的常用方法。
思想：体会了归纳，转化等数学思想方法
【设计意图】一堂好课，不在于老师教的怎么好，而要看学生学得好不好，也就是要关注学生的学习效果。我让学生试着自己去梳理所学，去表达所想、
分享收获。
（四）课后作业
1．已知：如图（7），在□ABCD中∠ABC的平分线与AD相交于点P.猜想：PD，DC，BC三条线段的数量关系，并说明理由.21*cnjy*com
2．已知：如图（8），□ABCD中，P、Q是对角线BD上的两个点，且AP=CQ.求证：BP和DQ互相平行且相等。(多种方法)【来源：21cnj*y.co*m】
【设计意图】作业分为两个层次，这两道题都是考察学生对基础知识的掌握情况，但第2题难度有所增加，此题可以运用本节课所学的知识，通过全等轻松证得。但是我提出要求：多种方法。也可以构建平行四边形获得，可能有的学生想不到，这也为引出下节课“平行四边形的判定”做好了铺垫。
板书设计：
《平行四边形》评测练习
1.已知：如图，在□ABCD中，E、F是对角线BD所在直线上的两个动点，且AE‖CF”则AE=CF吗？若成立说明理由。21教育网
【设计意图】：旨在检测学生是否会灵活运用“平行四边形对边平行且相等”的性质进行几何证明，提升几何直观和演绎推理能力，体会转化等数学思想。
2.若直线MN过点BC中点O，分别交BA，CD的延长线交于点M，N。
①OM与ON还相等吗？
②图中有几对全等三角形？
③观察②中你所找出的任意一对全等三角形，其中一个三角形可由另一个三角形经过怎样的
变换得到的?
反思：为什么平行四边形中有这么多全等三角形？
【设计意图】：旨在检测学生是否会灵活运用“平行四边形对角线互相平分”的性质进行几何证明，同时体会因为平行四边形的中心对称性决定了在平行四边形中有许多全等三角形。21世纪教育网版权所有
课件11张PPT。证明（三）平行四边形1.会用综合法证明平行四边形的性质。
2.会用连接对角线的方法解决平行四边形的相关问题，体验转化等数学思想。
3.会运用综合法和分析法进行几何证明，能灵活运用平行四边形的性质定理进行证明，提升逻辑推理能力，感悟数学思想方法的运用，积累解题活动经验。
平行四边形的性质证明定理： 对边平行 对边相等
对角相等
对角线互相平分 对称性：
中心对称图形
性质： 对边相等
对角相等
对角线互相平分定义：知识梳理O 平行线间的平行线段相等 我们都知道“平行线间的垂线段长处处相等”，那么如果是将“垂线段”这个条件改变一下，你认为可以如何改？
即平行线间的 线段相等。ABl1l2C1D1平行 已知：如图，在□ABCD中，E，F为对角线BD上的两个动点，
变式训练ABCD若AE⊥BD, CF⊥BD，垂足分别为点E，F.要使AE=CF成立，应该添加什么条件？求证：AE=CF. 选择自己喜欢的一种给出证明。若E,F沿直线BD运动，当AE∥CD时则上述结论还成立吗？说明理由。自我评价你体会到了变化中的不变吗？NBADCOMNMMN已知：□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，直线MN过点O,且与AB，CD的两边分别相交于点M,N.求证：OM=ON.若直线MN过BD中点O,分别交BA, DC的延长线交于点M,N，交AD,BC于点P,Q则上述结论还成立吗？①图有几对全等三角形。
②观察①中你所找出的一对
全等三角形，其中一个三角形
可由另一个三角形经过怎样的
变换得到的 ?自 我 评 价1.会用综合法证明平行四边形的性质。
2.会用连接对角线的方法解决平行四边形的相关问题，体验转化等数学思想。
3.会运用综合法和分析法进行几何证明，能灵活运用平行四边形的性质定理进行证明，提升逻辑推理能力，感悟数学思想方法的运用，积累解题活动经验。
知识：方法：思想：课堂小结回顾本节课的学习，你有哪些收获？ 证明了平行四边形的性质
运用平行四边形性质进行证明
分析方法： “由已知想可知，由求证想需证.”
添加条件：从问题入手分析
“变化中的不变”“转化”
“特殊到一般”
2. 已知：在□ABCD中∠ABC的平分线与AD相交于点P.
猜想：PD,DC,BC三条线段的数量关系，并说明理由.1. 已知：如图，□ABCD中，P、Q
是对角线BD上的两个点，且AP=CQ.
求证：BP和DQ互相平行且相等。
(用多种方法证明）音乐抒发情怀，绘画陶冶情操，
诗歌动人心弦，哲学充满智慧，
科学改变生活，……
但数学能给予以上的一切。“教学评一致性”引领数学课堂
——《平行四边形》课后反思
教学目标、评价任务与教学活动是教学设计的三个组成部分，是一个整体，具有内在的一致性。目标是灵魂，评价是判断目标是否落实的手段，教学活动是落实学习目标的载体。【来源：21·世纪·教育·网】
新课程标准中指出：评价的主要目的是全面了解学生数学学习的过程和结果，激励学生学习和改进教师教学。要想实现教学评在课堂上的一致性，必须依据课程标准而非教材，强调“用教材教”，而不是纯粹的“教教材”。强调评价设计先于教学实施，教学过程伴随评价过程。在《证明（三）平行四边形》这节课中，我始终遵循这一理念，使每一个教学和评价环节的设计，都是为了落实好每一个教学目标。回顾本节课，我感觉自己的成功之处有以下几点：
制定精确的教学目标，确保教学评的一致性
“教学目标”是“教学评一致性”的核心，如果“教学目标”得不到解决，那么“教学评一致性”也就得不到解决。21·cn·jy·com
根据课程标准，教材解读和学生的具体情况，我最终确立了如下教学目标：
1.会证明平行四边形的3条性质。
2.会用连接对角线的方法解决平行四边形相关问题，体验转化等数学思想。
3.会从“已知”和“求证”两个角度进行几何问题的分析，能灵活运用平行四边形的性质定理解决相关问题，提升逻辑推理能力，感悟数学思想方法的运用，积累解题活动经验。www-2-1-cnjy-com
制定“教学目标”时，以学生为主体，关注学生。把笼统的语言用具体的行为动词进行分解，变成学生能直接认知和做到的词语。21*cnjy*com
设计有效学习评价，推进教学评的一致性
评价标准的制定应该基于目标的设定，学习目标要达到一个怎样的程度，评价标准就到达什么程度，“评价先于设计”只有通过评价检测，教师才能知晓学生到了哪里，才能知晓接下来该如何教学。所以，无论过程评价还是结果评价，都应该与教学目标保持高度紧密的联系，并与教学目标共同发挥促进学生学习的作用。21教育网
根据上面的教学目标，设计的过程性评价为：
1．探究活动一“证明平行四边形的性质”。 性质的证明是本节课的重点之一，这三条性质证明的逻辑顺序是本节课的难点。在这里我把3个命题一起推给学生，让他们自己去考察哪些结论能够马上证明，哪些结论的证明所需要的依据还不足，也就是考察它们之间的逻辑顺序。学生通过自己思考去发现命题间的逻辑顺序会使他们对证明的意义有更深刻的认识与理解。通过交流规范证明命题的一般步骤；证明对边等，对角等两个命题可以一步完成；先证明对角线互相平分，条件不足。——指向目标1。21·世纪*教育网
2．探究活动二“探究平行线间平行线段的关系”。在这里，将问题设计为开放性问题，激发了学生的探索乐趣，调动学生的学习积极性。因为“垂线段”的本质就是创造了“平行”的条件，因此学生不难发现只要是“平行的线段”即可。这是对已有知识的拓展与延伸，同时也是让学生在探究的过程中体会由“特殊到一般”的数学思想。探究活动三中，两组变式训练从知识上看，是对“平行四边形对边平行且相等”“平行四边形对角线互相平分”性质的运用；从数学思考的角度：是让学生通过对这种运动变化问题的研究，透过现象看本质，体验“动中有静”的辩证思想。——指向目标2，3。2-1-c-n-j-y
3．作业设计了一题多证，综合检测学生灵活运用所学知识解决问题的能力。——指向目标3。
这些“评价设计”是指向教学目标的，也可以说是基于课程标准的。基于标准的学习评价不是简单的“对学习的评价”，而是“为学习的评价”，旨在促进学生学习，贯穿于教学的全过程的。21cnjy.com
组织高效的教学活动，实现教学评的一致性
基于“目标、评价与教学”一致性的考虑，我们设计的教学步骤要按照评价的标准来设计，我们可以这样思考我们的教学环节”：我们采用怎样的方法才能够使学生达到我们设定的评价标准？我们的设计是否有利于学生达到学习目标。
根据教学目标和评价，我是这样设计教学活动的：
1．交流展示活动：本节课中，每一个问题让学生独立探究后，我都让学生进行展示交流，有小组展示，又有个别展示。并且将更多地机会给予学困生，鼓励他们大胆说出自己的想法，特别是能够说出自己的疑惑，并对他们的回答及时给予有针对性的评价；注重引导学生间的相互评价，给学生的个性思维的碰撞提供展示的平台，让学生在相互碰撞、相互欣赏中既肯定了他人，又提升了自己。
2．即时检测活动：每个教学环节后都设计了及时检测题，以及时了解学生对所学知识的掌握情况。
这些评价活动的设计既关注了对知识的评价，也关注了对学生学习过程和参与状态的评价。
回顾课堂上学生的表现，学习积极性高，即时检测正确率高。究其原因，是因为教学目标的明确，教学评价的有效，教学活动的多样，使学生能够真正做到胸有成竹，得心应手。21世纪教育网版权所有
一堂课总会有遗憾之处，在这节课的教学中通过观察发现，小组合作学习确实增加了学生参与的机会，但是语言表达能力强的学生参与的机会明显较多，自由发言的机会多；而另一些学生却习惯于当听众，整节课很少或从不发表个人意见。 我发现出现后一种情况的学生主要有两类：一类是学习困难学生，由于基础薄弱，他们想参与活动却又力不从心，所以干脆置身事外；另一类是性格内向的学生，他们不善于在人前发表意见，不善于争取机会，多数时候在合作中缄默不语。www.21-cn-jy.com
我认为，教学中要注意培养学生的合作意识，逐渐培养学生的合作学习能力。组内合作、组间竞争是合作学习最明显的特征之一。教师要找准切入点，适时地培养学生的竞争意识和合作精神，引导学生建立互相信任、团结互助的关系，使他们逐步体验到通过合作学习不但可以提高每个人的能力，而且可以解决很多个人解决不了的问题，从而对合作学习产生认同感。这也是我今后要着重加以改进和完善的地方。2·1·c·n·j·y
