宁夏六盘山高级中学2016-2017学年高二下学期开学测试数学理试题 Word版含答案

宁夏六盘山高级中学2016-2017学年第二学期
高二数学理　开学测试卷
学科：理科数学
测试时间：120分钟
满分：150分
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1.下列命题正确的有（
）
（1）很小的实数可以构成集合；（2）集合与集合是同一个集合；
（3）这些数组成的集合有个元素；（4）集合是指第二和第四象限内的点集
A.个
B.个
C.个
D.个
2.复数等于（
）
A.
B.
C.
D.
3．已知
,
则
(A)
(B)
(C)
(D)
4．在△ABC中，a＝1，b＝，B＝120°，则A等于(　
　)
A．30°
B．45°
C．60°
D．120°
5.“a
=
1”是“复数(,i为虚数单位)是纯虚数”的
（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
6.双曲线的渐近线方程为（
）
A.
B.
C.
D.
7．如下图所示，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1那么这个几何体的体积为(　　)
A．1
B.
C.
D.
8．等比数列{an}的各项均为正数，且a5a6＋a2a9＝18，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值为(　　)
A．12
B．10
C．8
D．2＋log35
9．由直线y＝x＋1上的一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为(　　)
A．1
B．2
C.
D．3
10.将函数y＝cos2x的图象上的所有点向左平移个单位长度，再把所得图象向上平移1个单位长度，所得图象的函数解析式是(　　)
A．y＝cos＋1
B．y＝cos＋1
C．y＝cos＋1
D．y＝cos＋1
11.椭圆两焦点为
，
，P在椭圆上，若
△的面积的最大值为12，则椭圆方程为（
）
A.
B
.
C
.
D
.
12.
如右图，正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H，则下列命题中，错误的是(　　)
A．点H是△A1BD的垂心
B．AH垂直于平面CB1D1
C．AH的延长线经过点C1
D．直线AH和BB1所成角为45°
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分.）
13．若一个正方体的顶点都在同一球面上，则球与该正方体的体积之比为________．
14．随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率为
．
15.已知＝(1,1)，＝(4,1)，＝(4,5)，则与夹角的余弦值为
16．如果关于x的不等式2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立，那么k的取值范围是____．
三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17．（本小题满分10分）
在△ABC中，a，b是方程x2－2x＋2＝0的两根，且2cos(A＋B)＝1.
(1)求角C的度数；(2)求c；(3)求△ABC的面积．
18.
（本小题满分12分）
假设某种设备使用的年限x（年）与所支出的维修费用y（元）有以下统计资料：
使用年限x
2
3
4
5
6
维修费用y
2.2
3.8
5.5
6.5
7.0
参考数据：，如果由资料知y对x呈线性相关关系．
试求：（1）；（2）线性回归方程．（3）估计使用10年时，维修费用是多少？
19．（本小题满分12分）
如右图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，已知E为棱CC1上的动点．
(1)求证：A1E⊥BD；
(2)是否存在这样的E点，使得平面A1BD⊥平面EBD？若存在，请找出这样的E点；若不存在，请说明理由．
20．（本小题满分12分）
等差数列{an}中，a1＝1，前n项和Sn满足条件＝4，n＝1,2，…，
(1)求数列{an}的通项公式和Sn；
(2)记bn＝an·2n－1，求数列{bn}的前n项和Tn.
21.
（本小题满分12分）
如图，点A，B分别是椭圆的长轴的左右端点，点F为椭圆的右焦点，直线PF的方程为：且.
(1)求直线AP的方程；
(2)设点M是椭圆长轴AB上一点，点M到直线AP的距离等于，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值.
22.
（本小题满分12分）
如右图所示，已知直二面角α－AB－β，P∈α，Q∈β，PQ与平面α，β所成的角都为30°，PQ＝4.PC⊥AB，C为垂足，QD
⊥AB，D为垂足．求：
(1)直线PQ与CD所成角的大小；
(2)四面体PCDQ的体积．
参考答案
1.
A
2.B
　3.C
　4.A
5.A
6.A
　7.D　
8.B
9.C
　10.
C
11.
B　
12.
D
13.
π∶2
14.
15.
16.
－317.解：(1)∵2cos(A＋B)＝1，∴cosC＝－.∴角C的度数为120°.
(2)∵a，b是方程x2－2x＋2＝0的两根，∴a＋b＝2，ab＝2.
由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC＝(a＋b)2－2ab(cosC＋1)＝12－2＝10，∴c＝.
(3)S＝absinC＝.
18.
解：（1）由表中数据可得=（2+3+4+5+6）÷5=4，=（2.2+3.8+5.5+6.5+7.0）÷5=5
（2）由已知可得：=．于是 ．
所求线性回归方程为：．
（3）由（2）可得，当x=10时，（万元）．
即估计使用10年时，维修费用是12.38万元．
19.
解：连接AC，设AC∩DB＝O，连接A1O，OE.
(1)∵A1A⊥底面ABCD，∴A1A⊥BD，又BD⊥AC，
∴BD⊥平面ACEA1，∵A1E 平面ACEA1，∴A1E⊥BD.
(2)当E是CC1的中点时，平面A1BD⊥平面EBD.证明如下：
∵A1B＝A1D，EB＝ED，O为BD中点，∴A1O⊥BD，EO⊥BD，
∴∠A1OE为二面角A1－BD－E的平面角．
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，设棱长为2a，
∵E为棱CC1的中点，由平面几何知识，EO＝a，A1O＝a，A1E＝3a，
∴A1E2＝A1O2＋EO2，即∠A1OE＝90°.∴平面A1BD⊥平面EBD.
20.
解：(1)设等差数列{an}的公差为d，由＝4，得＝4，所以a2＝3a1＝3，
且d＝a2－a1＝2.所以an＝a1＋(n－1)d＝1＋2(n－1)＝2n－1，
Sn＝＝n2.
(2)由bn＝an·2n－1，得bn＝(2n－1)·2n－1.
所以Tn＝1＋3·21＋5·22＋…＋(2n－1)·2n－1，①
2Tn＝2＋3·22＋5·23＋…＋(2n－3)·2n－1＋(2n－1)·2n，②
①－②得
－Tn＝1＋2·2＋2·22＋…＋2·2n－1－(2n－1)·2n
＝2(1＋2＋22＋…＋2n－1)－(2n－1)·2n－1
＝－(2n－1)·2n－1.
所以Tn＝(2n－1)·2n＋1－(2n＋1－2)
＝(n－1)·2n＋1－2n＋3.
21.
解：
⑴由题意知，，从而
，由题意得，，从而，，因此，直线AP的方程为：，
即.
⑵设，则点M到直线AP的距离为，
而，依题意得解得或（舍去），故.
设椭圆上一点，则，即
，，
所以当时，，即.
22.
解：(1)如下图，在平面β内，作CE
綊DQ，连接PE，QE，则四边形CDQE为平行四边行，所以EQ綊CD，即∠PQE为直线PQ与CD所成的角(或其补角)．
∵α⊥β，α∩β＝AB，PC⊥AB于C.∴PC⊥β.同理QD⊥α，
又PQ与平面α，β所成的角都为30°，∴∠PQC＝30°，∠QPD＝30°，
∴CQ＝PQ·cos
30°＝4×＝2，DQ＝PQ·sin
30°＝4×＝2.
在Rt△CDQ中，CD＝＝＝2，从而EQ＝2.
∵QD⊥AB，且CDQE为平行四边形，∴QE⊥CE.又PC⊥β，EQ β，∴EQ⊥PC.
故EQ⊥平面PCE，从而EQ⊥PE.
在Rt△PEQ中，cos∠PQE＝＝＝.∴∠PQE＝45°，
即直线PQ与CD所成角的大小为45°.
(2)在Rt△PCQ中，PQ＝4，∠PQC＝30°，∴PC＝2.而S△CDQ＝CD·DQ＝×2×2＝2，故四面体PCDQ的体积为V＝S△CDQ·PC＝×2×2＝.