6.3.1 实数及其性质课件
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课件29张PPT。第六章 实数6.3 实数第1课时 实数及其性质1课堂讲解无理数
实数及其分类
实数的性质2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升问题：
(1)什么是有理数？有理数怎样分类？
(2)什么是无理数？带根号的数都是无理数吗？1知识点无理数探究
我们知道有理数包括整数和分数，请把下列分数写成
小数的形式，你有什么发现？ 知1－导 我们发现，上面的分数都可以写成有限小数或者
无限循环小数的形式，即
=1.2， =0.81.
事实上，如果把整数看成小数点后是0的小数(例
如，将3看成3.0)， 那么任何一个有理数都可以写成有
限小数或无限循环小数的形式. 反过来，任 何有限小
数或无限循环小数也都是有理数.知1－导.. . 通过前两节的学习，我们知道，很多数的平方根
和立方根都是无限不循环 小数，无限不循环小数又叫
做无理数( irrational number).例如
等都是无理数，π=3. 141 592 65…也是无理数.知1－导1. 定义：无限不循环小数叫做无理数．
判断标准：小数位数无限，小数形式为不循环．
2. 三种常见形式：
(1)开方开不尽的数，如 ，3 ，…；
(2)含有π的一类数： π， π，π＋1，…；
(3)类似0.101 001 000 1…(每相邻两个1之间依次多1个0)
这样的无限不循环小数．知1－讲3. 无理数与有理数的区别：
(1)有理数是有限小数和无限循环小数，而无理数是无
限不循环小数；
(2)所有的有理数都可以写成分数的形式(整数可以看成
分母为1的分数)，而无理数不能写成分数的形式．
4. 易错警示：(1)带根号的数不一定是无理数，不带根
号的数也不一定是有理数；(2)无理数都是无限小数，
但无限小数不一定是无理数．知1－讲下列各数：3.141 59， ，0.131 131 113…(每相
邻两个3之间依次多1个1)，－π， ， 中，无
理数有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个知1－讲例1 B知1－讲导引：∵3.141 59是有限小数，∴3.141 59是有理数．
∵ ，∴ 是有理数．∵ ，
∴ 是有理数．∵ 是分数，∴ 是有理
数．∵0.131 131 113…(每相邻两个3之间依次多1
个1)，－π都是无限不循环小数，∴0.131 131
113…(每相邻两个3之间依次多1个1)，－π是无理
数，故选B.知1－讲(1) 对有理数和无理数进行区分时，应先对某些数进行计
算或化简，然后根据最后结果进行分类，不能仅看到
用根号表示的数就认为是无理数．
(2) π是无理数，化简后含π的数也是无理数．知1－练1在－ ， ，|－5|， ，0.808 008…(每相邻两个8之间依次多1个0)，－ ， ，3.14中，无理数有________个．知1－练2下列语句正确的是( )
A．0.101 001 000 1是无理数
B．无限小数不能转化成分数
C．无理数分为正无理数、零、负无理数
D．无限不循环小数是无理数
下列说法正确的是( )
A．无理数包括正无理数、0和负无理数
B．无理数是用根号形式表示的数
C．无理数是开方开不尽的数
D．无理数是无限不循环小数32知识点实数及其分类1. 实数的概念：有理数和无理数统称实数．
2. 实数的分类：
(1)按定义分类：知2－讲实数有理数无理数整数分数正整数负整数0负分数正分数有限小数或无限循环小数正无理数负无理数无限不循环小数知2－讲(2)按性质分类：
3. 易错警示：分类标准不同，分法也就不同，但不管
哪种分法都要做到不重不漏；0既不是正实数也不是
负实数．实数正实数负实数0正有理数正无理数负有理数负无理数知2－讲把下列各数分别填在相应的括号内．
- ，13，-12，+6， ，0，0.8， ，-4.2．
正数：{ ，…}；负数：{ ，…}；
正整数：{ ，…}；正分数：{ ，…}；
负整数：{ ，…}；负分数：{ ，…}.例2 分析：以前学过的0以外的数就是正数，正数前面加上
“-”号就是负数，再看它们是整数还是分数．知2－讲解：正数：{13，+6， ，0.8， ，…}；
负数：{- ，-12，-4.2，…}；
正整数：{13，+6，…}；
正分数：{ ，0.8， ，…}；
负整数： { -12，…}；
负分数：{ - ，-4.2，…}．知2－讲 从两个方面看，一是判断正负情况，二是判断
是整数还是分数．有限小数和无限循环小数都属于
分数．知2－练1请将下列实数分别填入相应的括号内：
0, 2 015, 3.144，－ ，－ ，(－4)3，－ ， ，
，5.212 112 111 2…(每相邻两个2之间依次多1个1)．
有理数集合：{ …}；
无理数集合：{ …}；
整数集合：{ …}；
分数集合：{ …}；
正数集合：{ …}；
负数集合：{ …}．．知2－练2(2016·贺州)下列实数中，属于有理数的是( )
A．－ B.
C．π D.
(2015·扬州)实数0是( )
A．有理数 B．无理数
C．正数 D．负数33知识点实数的性质知3－导思考
(1) 的相反数是______，－π的相反数是______，
0的相反数是______；
(2) _______， |－π| =______， |0|= ______.π0π0 数a的相反数是－a，这里a表示任意一个实数.
一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值
是它的相反数；0的绝对值是0. 即设a表示一个实数，
则知3－导|a|=a，当a>0时；0，当a=0时；－a，当a<0时；知3－讲(1)分别写出 ， 的相反数；
(2)指出 ， 分别是什么数的相反数；
(3)求 的绝对值；
(4)已知一个数的绝对值是 ，求这个数.例3 (1)因为 ，
所以 的相反数分别为 ；
(2)因为 ，
所以 分别是 的相反数；
(3)因为 ，
所以 ；
(4)因为 ，
所以绝对值为 的数是 或 .知3－讲解：1在实数范围内，下列判断正确的是( )
A．若|m|＝ |n| ，则m＝n
B．若a2＞b2，则a＞b
C．若 ，则a＝b
D．若|a| ＜b，则a2＜b2知3－练2(2016·随州)－ 的相反数是( )
A．－ B.
C. D．－
－ 是 的( )
A．相反数 B．倒数
C．负平方根 D．绝对值知3－练31. 无理数的特征：
(1)无理数的小数部分位数无限；
(2)无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式.
2. 常见的无理数的形式：
(1)无限不循环小数；
(2)特殊字母如“π”；
(3)它an=b(n为大于1的自然数)中b为有理数，则a可能
为无理数.3. 实数的分类：
(1)按定义分类：实数有理数无理数整数分数正整数负整数0负分数正分数有限小数或无线循环小数正无理数负无理数无线不循环小数(2)按性质分类：
实数正实数负实数0正有理数正无理数负有理数负无理数
实数及其分类
实数的性质2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升问题：
(1)什么是有理数？有理数怎样分类？
(2)什么是无理数？带根号的数都是无理数吗？1知识点无理数探究
我们知道有理数包括整数和分数，请把下列分数写成
小数的形式，你有什么发现？ 知1－导 我们发现，上面的分数都可以写成有限小数或者
无限循环小数的形式，即
=1.2， =0.81.
事实上，如果把整数看成小数点后是0的小数(例
如，将3看成3.0)， 那么任何一个有理数都可以写成有
限小数或无限循环小数的形式. 反过来，任 何有限小
数或无限循环小数也都是有理数.知1－导.. . 通过前两节的学习，我们知道，很多数的平方根
和立方根都是无限不循环 小数，无限不循环小数又叫
做无理数( irrational number).例如
等都是无理数，π=3. 141 592 65…也是无理数.知1－导1. 定义：无限不循环小数叫做无理数．
判断标准：小数位数无限，小数形式为不循环．
2. 三种常见形式：
(1)开方开不尽的数，如 ，3 ，…；
(2)含有π的一类数： π， π，π＋1，…；
(3)类似0.101 001 000 1…(每相邻两个1之间依次多1个0)
这样的无限不循环小数．知1－讲3. 无理数与有理数的区别：
(1)有理数是有限小数和无限循环小数，而无理数是无
限不循环小数；
(2)所有的有理数都可以写成分数的形式(整数可以看成
分母为1的分数)，而无理数不能写成分数的形式．
4. 易错警示：(1)带根号的数不一定是无理数，不带根
号的数也不一定是有理数；(2)无理数都是无限小数，
但无限小数不一定是无理数．知1－讲下列各数：3.141 59， ，0.131 131 113…(每相
邻两个3之间依次多1个1)，－π， ， 中，无
理数有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个知1－讲例1 B知1－讲导引：∵3.141 59是有限小数，∴3.141 59是有理数．
∵ ，∴ 是有理数．∵ ，
∴ 是有理数．∵ 是分数，∴ 是有理
数．∵0.131 131 113…(每相邻两个3之间依次多1
个1)，－π都是无限不循环小数，∴0.131 131
113…(每相邻两个3之间依次多1个1)，－π是无理
数，故选B.知1－讲(1) 对有理数和无理数进行区分时，应先对某些数进行计
算或化简，然后根据最后结果进行分类，不能仅看到
用根号表示的数就认为是无理数．
(2) π是无理数，化简后含π的数也是无理数．知1－练1在－ ， ，|－5|， ，0.808 008…(每相邻两个8之间依次多1个0)，－ ， ，3.14中，无理数有________个．知1－练2下列语句正确的是( )
A．0.101 001 000 1是无理数
B．无限小数不能转化成分数
C．无理数分为正无理数、零、负无理数
D．无限不循环小数是无理数
下列说法正确的是( )
A．无理数包括正无理数、0和负无理数
B．无理数是用根号形式表示的数
C．无理数是开方开不尽的数
D．无理数是无限不循环小数32知识点实数及其分类1. 实数的概念：有理数和无理数统称实数．
2. 实数的分类：
(1)按定义分类：知2－讲实数有理数无理数整数分数正整数负整数0负分数正分数有限小数或无限循环小数正无理数负无理数无限不循环小数知2－讲(2)按性质分类：
3. 易错警示：分类标准不同，分法也就不同，但不管
哪种分法都要做到不重不漏；0既不是正实数也不是
负实数．实数正实数负实数0正有理数正无理数负有理数负无理数知2－讲把下列各数分别填在相应的括号内．
- ，13，-12，+6， ，0，0.8， ，-4.2．
正数：{ ，…}；负数：{ ，…}；
正整数：{ ，…}；正分数：{ ，…}；
负整数：{ ，…}；负分数：{ ，…}.例2 分析：以前学过的0以外的数就是正数，正数前面加上
“-”号就是负数，再看它们是整数还是分数．知2－讲解：正数：{13，+6， ，0.8， ，…}；
负数：{- ，-12，-4.2，…}；
正整数：{13，+6，…}；
正分数：{ ，0.8， ，…}；
负整数： { -12，…}；
负分数：{ - ，-4.2，…}．知2－讲 从两个方面看，一是判断正负情况，二是判断
是整数还是分数．有限小数和无限循环小数都属于
分数．知2－练1请将下列实数分别填入相应的括号内：
0, 2 015, 3.144，－ ，－ ，(－4)3，－ ， ，
，5.212 112 111 2…(每相邻两个2之间依次多1个1)．
有理数集合：{ …}；
无理数集合：{ …}；
整数集合：{ …}；
分数集合：{ …}；
正数集合：{ …}；
负数集合：{ …}．．知2－练2(2016·贺州)下列实数中，属于有理数的是( )
A．－ B.
C．π D.
(2015·扬州)实数0是( )
A．有理数 B．无理数
C．正数 D．负数33知识点实数的性质知3－导思考
(1) 的相反数是______，－π的相反数是______，
0的相反数是______；
(2) _______， |－π| =______， |0|= ______.π0π0 数a的相反数是－a，这里a表示任意一个实数.
一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值
是它的相反数；0的绝对值是0. 即设a表示一个实数，
则知3－导|a|=a，当a>0时；0，当a=0时；－a，当a<0时；知3－讲(1)分别写出 ， 的相反数；
(2)指出 ， 分别是什么数的相反数；
(3)求 的绝对值；
(4)已知一个数的绝对值是 ，求这个数.例3 (1)因为 ，
所以 的相反数分别为 ；
(2)因为 ，
所以 分别是 的相反数；
(3)因为 ，
所以 ；
(4)因为 ，
所以绝对值为 的数是 或 .知3－讲解：1在实数范围内，下列判断正确的是( )
A．若|m|＝ |n| ，则m＝n
B．若a2＞b2，则a＞b
C．若 ，则a＝b
D．若|a| ＜b，则a2＜b2知3－练2(2016·随州)－ 的相反数是( )
A．－ B.
C. D．－
－ 是 的( )
A．相反数 B．倒数
C．负平方根 D．绝对值知3－练31. 无理数的特征：
(1)无理数的小数部分位数无限；
(2)无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式.
2. 常见的无理数的形式：
(1)无限不循环小数；
(2)特殊字母如“π”；
(3)它an=b(n为大于1的自然数)中b为有理数，则a可能
为无理数.3. 实数的分类：
(1)按定义分类：实数有理数无理数整数分数正整数负整数0负分数正分数有限小数或无线循环小数正无理数负无理数无线不循环小数(2)按性质分类：
实数正实数负实数0正有理数正无理数负有理数负无理数