8.4 三元一次方程组的解法课件
图片预览
文档简介
课件32张PPT。第八章 二元一次方程组8.4 三元一次方程组
的解法1课堂讲解三元一次方程(组)的有关概念
三元一次方程组的解法
三元一次方程组的应用2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升 《九章算术》的“方程”一章中，有这样一道题日
(用现代汉语表述)：上等稻谷三束．中等稻谷一束．下
等稻谷两束．共有稻谷39斗；上等稻谷两束．中等稻
谷三束，下等稻谷两束，共有稻谷34斗；上等稻谷四
束．中等稻谷一束，下等稻谷一束，共有稻谷26斗. 问
上、中、下三等稻谷每束各有多少斗?
这道题目可以用三元一次方程组来解．现在就让
我们一起来学习本节知识吧!1知识点三元一次方程(组)的有关概念 前面我们学习了二元一次方程组及其解法——
消元法. 有些有两个未知数的问题，可以列出二元
一次方程组来解决. 实际上，有不少问题含有更多
未知数. 我们看下面的问题：知1－导知1－导 小明手头有12张面额分别为1元、2元、5元的纸币，
共计22元，其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍.
求1元、2元、5元纸币各多少张.
自然的想法是，设1元、2元、5元的纸币分别为x
张、y张、z张，根据题意，可以得到下面三个方程：
x+y+z=12,
x+2y+5z=22,
x=4y.
知1－导 这个问题的解必须同时满足上面三个条件，因
此，我们把这三个方程合在 一起，写成知1－讲1．三元一次方程: 含有三个未知数, 并且所含未知
数的项的次数都是1，这样的方程叫做三元一次
方程．
必备条件：
(1)是整式方程；
(2)含三个未知数；
(3)所含未知数的项的次数都是1.知1－讲2．三元一次方程组：共含有三个未知数的三个一
次方程所组成的一组方程，叫做三元一次方程
组．
必备条件：
(1)是整式方程；
(2)共含三个未知数；
(3)三个都是一次方程；
(4)联立在一起． 例1 下列方程组中，是三元一次方程组的是( )
A. B.
C. D.
知1－讲 DA选项中，方程x2－y＝1与xz＝2中有含未知数的
项的次数为2的项， 不符合三元一次方程组的定
义，故A选项不是；B选项中 不是整式，
故B选项不是; C选项中方程组中共含有四个未知
数,故C选项不是; D选项符合三元一次方程组的
定义．故答案为D.知1－讲导引：三元一次方程组需满足的条件：
(1)方程组中一共含有三个未知数；
(2)每个方程中所含未知数的项的次数都是1；
(3)每个方程均是整式方程．知1－讲下列方程组中，是三元一次方程组的是________．(填序号)
②
③ ④知1－练2 下列方程是三元一次方程的是________．(填序号)
①x＋y－z＝1; ②4xy＋3z＝7；
③ ④6x＋4y－3＝0.知1－练2知识点三元一次方程组的解法知2－导 怎样解三元一次方程组呢？我们知道，二元一
次方程组可以利用代入法或加减法消去一个未知数，
化成一元一次方程求解. 那么，能不能用同样的思
路，用代入法或加减法消去三元一次方程组的一个
未知数，把它化成二元一次方程组呢？
让我们看前面列出的三元一次方程组 仿照前面学过的代入法，我们可以把③分别
代入①②，得到两个只含y，z的方程：
4y+y+z=12，
4y+2y+5z=22.
它们组成方程组
得到二元一次方程组之后，就不难求出y和z，进而
可求出x.知2－导 从上面的分析可以看出，解三元一次方程组的
基本思路是：通过“代入” 或“加减”进行消元，
把“三元”化为“二元”，使解三元一次方程组转
化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次
方程. 这与解二元一次方程组的思路是一样的.知2－导三元一次方程组二元一次方程组一元一次方程组试一试
上面的三元一次方程组能否应用加减消元法
求解? 比较一下，哪种方法更简便？知2－导解三元一次方程组的一般步骤：
(1)利用代入法或加减法消去三元一次方程组的一个未
知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；
(2)解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；
(3)将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系
数比较简单的方程，得到一个一元一次方程；
(4)解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值；
(5)将求得的三个未知数的值用符号“{”合写在一
起．知2－讲解三元一次方程组：知2－讲例2②×3+③，得11x+10z＝35. ④
①与④组成方程组
解这个方程组，得解：方程①只含x，z，因此，可以由②③消去y, 得
到一个只含x，z 的方程，与方程①组成一个二
元一次方程组.分析：把x=5, z= -2代人②，得
2×5+3y -2 = 9，
所以?
因此，这个三元一次方程组的解为
知2－讲知2－讲 解三元一次方程组时，消去哪个“元”都是可
以的，得到的结果都一样，我们应该通过观察方程
组选择最为简便的解法．此题中的方法一最为简便．
要根据方程组中各方程的特点，灵活地确定消元步
骤和消元方法，不要盲目消元．解下列三元一次方程组：知2－练2 解三元一次方程组 先消去________，化
为关于________、________的二元一次方程组较简便．
3 解方程组 若要使运算简便，消元的方
法应选( )
A．消去x B．消去y
C．消去z D．以上说法都不对知2－练3知识点三元一次方程组的应用知3－讲列三元一次方程组解决实际问题的步骤：
(1)弄清题意和题目中的数量关系，用三个未知数表
示题目中的数量关系．
(2)找出能够表达应用题全部含义的三个等量关系；
(3)根据等量关系列出方程，建立方程组；
(4)解出方程组求出未知数的值；
(5)写出答案，包括单位名称．知3－讲在等式y＝ax2＋bx＋c中，当x＝－1时，y＝0；当
x＝2时，y＝3；当x＝5时，y＝60. 求a，b，c的
值．例3导引：把a，b，c看成三个未知数，分别把已知的x，y值
代入原等式，就可以得到一个三元一次方程组.根据题意，得三元一次方程组解：②－①，得a＋b＝1； ④
③－①，得4a＋b＝10. ⑤
④与⑤组成二元一次方程组
解这个方程组，得
把 代入①，得c＝－5.
因此 即a，b，c的值分别为3，－2，－5.知3－讲知3－讲某汽车在相距70 km的甲、乙两地往返行驶，行驶中有
一坡度均匀的小山. 该汽车从甲地到乙地需要2.5 h, 从
乙地到甲地需要2.3 h. 假设该汽车在平路、上坡路、下
坡路的行驶过程中的时速分别是30 km, 20 km, 40 km，
则从甲地到乙地的过程中, 上坡路、平路、下坡路的长
度各是多少？ 例4导引：题中有三个等量关系：①上坡路长度＋平路长度＋下坡
路长度＝70 km；②从甲地到乙地的过程中，上坡时间＋
平路时间＋下坡时间＝2.5 h；③从乙地到甲地的过程中，
上坡时间＋平路时间＋下坡时间＝2.3 h. 设从甲地到乙地的过程中，上坡路、平路、下坡路
的长度分别是x km，y km和z km.
由题意得
答：从甲地到乙地的过程中，上坡路的长度是12 km，
平路的长度是54 km，下坡路的长度是4 km.知3－讲解得解：知3－讲 解此题的关键是理解在汽车往返行驶的过程中，
如果从甲地到乙地是上坡路段，那么从乙地到甲地
时就变成了下坡路段．已知单项式－8a3x＋y－zb12cx＋y＋z与2a2b2x－yc6是同类项，则x＝________，y＝________，z＝________．
已知式子ax2＋bx＋c，当x＝1时，其值为－4；当
x＝2时，其值为3；当x＝4时，其值为35. 当x＝3时，其值为________．知3－练(2016·台湾)桌面上有甲、乙、丙三个杯子，三杯内
原本均装有一些水，先将甲杯的水全部倒入丙杯，
此时丙杯的水量为原本甲杯内水量的2倍多40毫升；再将乙杯的水全部倒入丙杯，此时丙杯的水量为原
本乙杯内水量的3倍少180毫升．若过程中水没有溢
出，则原本甲、乙两杯内的水量相差多少毫升？
( )
A．80 B．110 C．140 D．220知3－练 解三元一次方程组的基本思路仍是消元，是将复杂问
题简单化的一种方法．其目的是利用代入法或加减法消去
一个未知数，从而变三元为二元，然后解这个二元一次方
程组，求出两个未知数，最后再求出另一个未知数．其基
本过程为：三元 二元一元．
的解法1课堂讲解三元一次方程(组)的有关概念
三元一次方程组的解法
三元一次方程组的应用2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升 《九章算术》的“方程”一章中，有这样一道题日
(用现代汉语表述)：上等稻谷三束．中等稻谷一束．下
等稻谷两束．共有稻谷39斗；上等稻谷两束．中等稻
谷三束，下等稻谷两束，共有稻谷34斗；上等稻谷四
束．中等稻谷一束，下等稻谷一束，共有稻谷26斗. 问
上、中、下三等稻谷每束各有多少斗?
这道题目可以用三元一次方程组来解．现在就让
我们一起来学习本节知识吧!1知识点三元一次方程(组)的有关概念 前面我们学习了二元一次方程组及其解法——
消元法. 有些有两个未知数的问题，可以列出二元
一次方程组来解决. 实际上，有不少问题含有更多
未知数. 我们看下面的问题：知1－导知1－导 小明手头有12张面额分别为1元、2元、5元的纸币，
共计22元，其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍.
求1元、2元、5元纸币各多少张.
自然的想法是，设1元、2元、5元的纸币分别为x
张、y张、z张，根据题意，可以得到下面三个方程：
x+y+z=12,
x+2y+5z=22,
x=4y.
知1－导 这个问题的解必须同时满足上面三个条件，因
此，我们把这三个方程合在 一起，写成知1－讲1．三元一次方程: 含有三个未知数, 并且所含未知
数的项的次数都是1，这样的方程叫做三元一次
方程．
必备条件：
(1)是整式方程；
(2)含三个未知数；
(3)所含未知数的项的次数都是1.知1－讲2．三元一次方程组：共含有三个未知数的三个一
次方程所组成的一组方程，叫做三元一次方程
组．
必备条件：
(1)是整式方程；
(2)共含三个未知数；
(3)三个都是一次方程；
(4)联立在一起． 例1 下列方程组中，是三元一次方程组的是( )
A. B.
C. D.
知1－讲 DA选项中，方程x2－y＝1与xz＝2中有含未知数的
项的次数为2的项， 不符合三元一次方程组的定
义，故A选项不是；B选项中 不是整式，
故B选项不是; C选项中方程组中共含有四个未知
数,故C选项不是; D选项符合三元一次方程组的
定义．故答案为D.知1－讲导引：三元一次方程组需满足的条件：
(1)方程组中一共含有三个未知数；
(2)每个方程中所含未知数的项的次数都是1；
(3)每个方程均是整式方程．知1－讲下列方程组中，是三元一次方程组的是________．(填序号)
②
③ ④知1－练2 下列方程是三元一次方程的是________．(填序号)
①x＋y－z＝1; ②4xy＋3z＝7；
③ ④6x＋4y－3＝0.知1－练2知识点三元一次方程组的解法知2－导 怎样解三元一次方程组呢？我们知道，二元一
次方程组可以利用代入法或加减法消去一个未知数，
化成一元一次方程求解. 那么，能不能用同样的思
路，用代入法或加减法消去三元一次方程组的一个
未知数，把它化成二元一次方程组呢？
让我们看前面列出的三元一次方程组 仿照前面学过的代入法，我们可以把③分别
代入①②，得到两个只含y，z的方程：
4y+y+z=12，
4y+2y+5z=22.
它们组成方程组
得到二元一次方程组之后，就不难求出y和z，进而
可求出x.知2－导 从上面的分析可以看出，解三元一次方程组的
基本思路是：通过“代入” 或“加减”进行消元，
把“三元”化为“二元”，使解三元一次方程组转
化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次
方程. 这与解二元一次方程组的思路是一样的.知2－导三元一次方程组二元一次方程组一元一次方程组试一试
上面的三元一次方程组能否应用加减消元法
求解? 比较一下，哪种方法更简便？知2－导解三元一次方程组的一般步骤：
(1)利用代入法或加减法消去三元一次方程组的一个未
知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；
(2)解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；
(3)将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系
数比较简单的方程，得到一个一元一次方程；
(4)解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值；
(5)将求得的三个未知数的值用符号“{”合写在一
起．知2－讲解三元一次方程组：知2－讲例2②×3+③，得11x+10z＝35. ④
①与④组成方程组
解这个方程组，得解：方程①只含x，z，因此，可以由②③消去y, 得
到一个只含x，z 的方程，与方程①组成一个二
元一次方程组.分析：把x=5, z= -2代人②，得
2×5+3y -2 = 9，
所以?
因此，这个三元一次方程组的解为
知2－讲知2－讲 解三元一次方程组时，消去哪个“元”都是可
以的，得到的结果都一样，我们应该通过观察方程
组选择最为简便的解法．此题中的方法一最为简便．
要根据方程组中各方程的特点，灵活地确定消元步
骤和消元方法，不要盲目消元．解下列三元一次方程组：知2－练2 解三元一次方程组 先消去________，化
为关于________、________的二元一次方程组较简便．
3 解方程组 若要使运算简便，消元的方
法应选( )
A．消去x B．消去y
C．消去z D．以上说法都不对知2－练3知识点三元一次方程组的应用知3－讲列三元一次方程组解决实际问题的步骤：
(1)弄清题意和题目中的数量关系，用三个未知数表
示题目中的数量关系．
(2)找出能够表达应用题全部含义的三个等量关系；
(3)根据等量关系列出方程，建立方程组；
(4)解出方程组求出未知数的值；
(5)写出答案，包括单位名称．知3－讲在等式y＝ax2＋bx＋c中，当x＝－1时，y＝0；当
x＝2时，y＝3；当x＝5时，y＝60. 求a，b，c的
值．例3导引：把a，b，c看成三个未知数，分别把已知的x，y值
代入原等式，就可以得到一个三元一次方程组.根据题意，得三元一次方程组解：②－①，得a＋b＝1； ④
③－①，得4a＋b＝10. ⑤
④与⑤组成二元一次方程组
解这个方程组，得
把 代入①，得c＝－5.
因此 即a，b，c的值分别为3，－2，－5.知3－讲知3－讲某汽车在相距70 km的甲、乙两地往返行驶，行驶中有
一坡度均匀的小山. 该汽车从甲地到乙地需要2.5 h, 从
乙地到甲地需要2.3 h. 假设该汽车在平路、上坡路、下
坡路的行驶过程中的时速分别是30 km, 20 km, 40 km，
则从甲地到乙地的过程中, 上坡路、平路、下坡路的长
度各是多少？ 例4导引：题中有三个等量关系：①上坡路长度＋平路长度＋下坡
路长度＝70 km；②从甲地到乙地的过程中，上坡时间＋
平路时间＋下坡时间＝2.5 h；③从乙地到甲地的过程中，
上坡时间＋平路时间＋下坡时间＝2.3 h. 设从甲地到乙地的过程中，上坡路、平路、下坡路
的长度分别是x km，y km和z km.
由题意得
答：从甲地到乙地的过程中，上坡路的长度是12 km，
平路的长度是54 km，下坡路的长度是4 km.知3－讲解得解：知3－讲 解此题的关键是理解在汽车往返行驶的过程中，
如果从甲地到乙地是上坡路段，那么从乙地到甲地
时就变成了下坡路段．已知单项式－8a3x＋y－zb12cx＋y＋z与2a2b2x－yc6是同类项，则x＝________，y＝________，z＝________．
已知式子ax2＋bx＋c，当x＝1时，其值为－4；当
x＝2时，其值为3；当x＝4时，其值为35. 当x＝3时，其值为________．知3－练(2016·台湾)桌面上有甲、乙、丙三个杯子，三杯内
原本均装有一些水，先将甲杯的水全部倒入丙杯，
此时丙杯的水量为原本甲杯内水量的2倍多40毫升；再将乙杯的水全部倒入丙杯，此时丙杯的水量为原
本乙杯内水量的3倍少180毫升．若过程中水没有溢
出，则原本甲、乙两杯内的水量相差多少毫升？
( )
A．80 B．110 C．140 D．220知3－练 解三元一次方程组的基本思路仍是消元，是将复杂问
题简单化的一种方法．其目的是利用代入法或加减法消去
一个未知数，从而变三元为二元，然后解这个二元一次方
程组，求出两个未知数，最后再求出另一个未知数．其基
本过程为：三元 二元一元．