16.1.1 二次根式的定义 课件
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课件22张PPT。第十六章 二次根式16.1 二次根式第1课时 二次根式的
定义1课堂讲解2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升 如图所示，已知泰山到海边的最
近距离约为 216 000m ，泰山的海拔
高度约为 1 545m ，利用 d= ，
其中 h 为观测点的高度，d 为观测者
视线能达到的最远距离， R 是地球
半径（通常取 6 400km ) ．那么小明
站在泰山之巅能否看到大海？1知识点二次根式的定义思考用带有根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点：
(1)面积为3的正方形的边长为_________，面积为S的正
方形的边长为__________.
(2)一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130 m2,则
它的宽为________m. 知1－导知1－导(3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t (单
位：s)与开始落下时离地面的高度h(单位：m)满足关
系h=5t2.如果用含有h的式子表示t，那么t为______. 上面问题的结果分别是 ，它们表示一
些正数的算术 平方根.
我们知道，一个正数有两个平方根；0的平方根为0；
在实数范围内，负数没有平方根.因此，在实数范围内开
平方时，被开方数只能是正数或0.
一般地，我们把形如 (a≥0)的式子叫做二次根式
(quadratic radical)，“ ”称为二次根号.定义：形如 (a≥0)的式子叫做二次根式；其中“ ”称为
二次根号，a称为被开方数(式)．
要点精析：(1)二次根式的定义是从式子的结构形式上界定的，
必须含有二次根号“ ”；“ ”的根指数为2，即 ，“2”
一般省略不写．
(2)被开方数a可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子，
但前提是a必须大于或等于0.
(3)在具体问题中，已知二次根式 ，就意味着给出了a≥0这
一条件．
(4)形如b (a≥0)的式子也是二次根式；b与 是相乘的关系，
当b为带分数时，要写成假分数的形式．知1－讲导引：判断一个式子是不是二次根式，实质是看它是否具
备二次根式定义的条件，紧扣定义进行识别．
解：(1)∵ 的根指数是3，∴ 不是二次根式．
(2)∵不论x为何值，都有x2＋1＞0，∴ 是二次根式．
(3)当－5a≥0，即a≤0时， 是二次根式；
当a＞0时，－5a＜0，则 不是二次根式．
∴ 不一定是二次根式．
(4) ＋1(a≥0)只能称为含有二次根式的式子，不能称为
二次根式．例1 判断下列各式是否为二次根式，并说明理由．
(1) ；(2) ；(3) ；(4) ＋1(a≥0);
(5) ；(6) ；(7) ；(8)知1－讲知1－讲(5)当x＝－3时， 无意义，∴ 也无意义；
当x≠－3时， ＞0，∴ 是二次根式．
∴ 不一定是二次根式．
(6)当a＝4时，a－4＝0， 是二次根式；
当a≠4时，－(a－4)2＜0， 不是二次根式．
∴ 不一定是二次根式．
(7)∵x2＋2x＋2＝x2＋2x＋1＋1＝(x＋1)2＋1＞0，
∴ 是二次根式．
(8)∵|x|≥0，∴ 是二次根式．知1－讲二次根式的识别方法：
判断一个式子是否为二次根式，一定要紧扣二次根式
的定义，看所给的式子是否同时具备二次根式的两个
特征：(1)含根号且根指数为2(通常省略不写)；
(2)被开方数(式)为非负数．1 下列各式中，一定是二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
2 下列式子不一定是二次根式的是( )
A. B. C. D.
3 下列式子：
中，一定是二次根式的有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个知1－练2知识点二次根式有意义的条件知2－讲(1)式子 只有在条件a≥0时才叫二次根式．即a≥0是
为二次根式的前提条件.式子 就不是二次根
式，但式子 却又是二次根式．
（a≥0）实际上就是非负数a的算术平方根，既可
表示开方运算,也可表示运算的结果.同时 （a≥0）
也是一个非负数，我们把这个性质叫做二次根式的
双重非负性.知2－讲1．二次根式有意义的条件是被开方数(式)为非负数；反
之也成立，即： 有意义?a≥0.
2．二次根式无意义的条件是被开方数(式)为负数；反之
也成立，即： 无意义?a＜0.知2－讲例2 当x是怎样的实数时， 在实数范围内有意义？解：由x-2≥0，得x≥2.
当x≥2时， 在实数范围内有意义.知2－讲 求式子有意义时字母的取值范围的方法：第一步，
明确式子有意义的条件，对于单个的二次根式，只需满
足被开方数为非负数；对于含有多个二次根式的，则必
须满足多个被开方数同时为非负数；对于零指数幂，则
必须满足底数不能为零；对于含有分式的，则需满足分
母不能为零．第二步，利用式子中所有有意义的条件，
建立不等式或不等式组．第三步，求出不等式或不等式
组的解集，即为字母的取值范围．1 当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有
意义？
(1) (2)
(3) (4)知2－练知2－练2 (中考·巴中)要使式子 有意义，则m的取值
范围是( )
A．m>－1
B．m≥－1
C．m>－1且m≠1
D．m≥－1且m≠1知2－练3 (2015·滨州)如果式子 有意义，那么x的取值
范围在数轴上表示正确的是( ) 知3－讲3知识点二次根式的“双重”非负性（a≥0， ≥0） 二次根式的“双重”非负性（a≥0， ≥0）
1.理解二次根式的非负性应从算术平方根入手，当a≥
0时， 表示a的算术平方根，因此 ≥0 .
所以“二次根式”包含有两个“非负”即：①被开
方数非负：a≥0；②二次根式的值非负： ≥0.
2.若 + =0,则 a=0,b=0.由于二次根式 和 都是
非负数，所以它们的值都为0.例3 若 ，则x-y 的值为 ( )
A．1 B．－1 C．7 D．－7知3－讲分析：根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入
代数式进行计算即可得解．因为 + (y+
3)2=0都是非负数，它们的和为0，所以(y+3)2=
0， ，所以y+3=0，x+y-1=0，
解得y=-3，x=4，所以x-y=7.故选C．C知3－讲两个非负数的和为0时，这两个非负数都为0．1 若 =0，求a2012+b2012的值．
2 已知实数x，y满足|x－4|＋ ＝0，则以x，y的
值为两边长的等腰三角形的周长是( )
A．20或16 B．20
C．16 D．以上答案均不对知3－练1．形如 （a≥0）的式子叫做二次根式，“ ”
称为二次根号．
2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被
开方数是非负数．
定义1课堂讲解2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升 如图所示，已知泰山到海边的最
近距离约为 216 000m ，泰山的海拔
高度约为 1 545m ，利用 d= ，
其中 h 为观测点的高度，d 为观测者
视线能达到的最远距离， R 是地球
半径（通常取 6 400km ) ．那么小明
站在泰山之巅能否看到大海？1知识点二次根式的定义思考用带有根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点：
(1)面积为3的正方形的边长为_________，面积为S的正
方形的边长为__________.
(2)一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130 m2,则
它的宽为________m. 知1－导知1－导(3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t (单
位：s)与开始落下时离地面的高度h(单位：m)满足关
系h=5t2.如果用含有h的式子表示t，那么t为______. 上面问题的结果分别是 ，它们表示一
些正数的算术 平方根.
我们知道，一个正数有两个平方根；0的平方根为0；
在实数范围内，负数没有平方根.因此，在实数范围内开
平方时，被开方数只能是正数或0.
一般地，我们把形如 (a≥0)的式子叫做二次根式
(quadratic radical)，“ ”称为二次根号.定义：形如 (a≥0)的式子叫做二次根式；其中“ ”称为
二次根号，a称为被开方数(式)．
要点精析：(1)二次根式的定义是从式子的结构形式上界定的，
必须含有二次根号“ ”；“ ”的根指数为2，即 ，“2”
一般省略不写．
(2)被开方数a可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子，
但前提是a必须大于或等于0.
(3)在具体问题中，已知二次根式 ，就意味着给出了a≥0这
一条件．
(4)形如b (a≥0)的式子也是二次根式；b与 是相乘的关系，
当b为带分数时，要写成假分数的形式．知1－讲导引：判断一个式子是不是二次根式，实质是看它是否具
备二次根式定义的条件，紧扣定义进行识别．
解：(1)∵ 的根指数是3，∴ 不是二次根式．
(2)∵不论x为何值，都有x2＋1＞0，∴ 是二次根式．
(3)当－5a≥0，即a≤0时， 是二次根式；
当a＞0时，－5a＜0，则 不是二次根式．
∴ 不一定是二次根式．
(4) ＋1(a≥0)只能称为含有二次根式的式子，不能称为
二次根式．例1 判断下列各式是否为二次根式，并说明理由．
(1) ；(2) ；(3) ；(4) ＋1(a≥0);
(5) ；(6) ；(7) ；(8)知1－讲知1－讲(5)当x＝－3时， 无意义，∴ 也无意义；
当x≠－3时， ＞0，∴ 是二次根式．
∴ 不一定是二次根式．
(6)当a＝4时，a－4＝0， 是二次根式；
当a≠4时，－(a－4)2＜0， 不是二次根式．
∴ 不一定是二次根式．
(7)∵x2＋2x＋2＝x2＋2x＋1＋1＝(x＋1)2＋1＞0，
∴ 是二次根式．
(8)∵|x|≥0，∴ 是二次根式．知1－讲二次根式的识别方法：
判断一个式子是否为二次根式，一定要紧扣二次根式
的定义，看所给的式子是否同时具备二次根式的两个
特征：(1)含根号且根指数为2(通常省略不写)；
(2)被开方数(式)为非负数．1 下列各式中，一定是二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
2 下列式子不一定是二次根式的是( )
A. B. C. D.
3 下列式子：
中，一定是二次根式的有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个知1－练2知识点二次根式有意义的条件知2－讲(1)式子 只有在条件a≥0时才叫二次根式．即a≥0是
为二次根式的前提条件.式子 就不是二次根
式，但式子 却又是二次根式．
（a≥0）实际上就是非负数a的算术平方根，既可
表示开方运算,也可表示运算的结果.同时 （a≥0）
也是一个非负数，我们把这个性质叫做二次根式的
双重非负性.知2－讲1．二次根式有意义的条件是被开方数(式)为非负数；反
之也成立，即： 有意义?a≥0.
2．二次根式无意义的条件是被开方数(式)为负数；反之
也成立，即： 无意义?a＜0.知2－讲例2 当x是怎样的实数时， 在实数范围内有意义？解：由x-2≥0，得x≥2.
当x≥2时， 在实数范围内有意义.知2－讲 求式子有意义时字母的取值范围的方法：第一步，
明确式子有意义的条件，对于单个的二次根式，只需满
足被开方数为非负数；对于含有多个二次根式的，则必
须满足多个被开方数同时为非负数；对于零指数幂，则
必须满足底数不能为零；对于含有分式的，则需满足分
母不能为零．第二步，利用式子中所有有意义的条件，
建立不等式或不等式组．第三步，求出不等式或不等式
组的解集，即为字母的取值范围．1 当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有
意义？
(1) (2)
(3) (4)知2－练知2－练2 (中考·巴中)要使式子 有意义，则m的取值
范围是( )
A．m>－1
B．m≥－1
C．m>－1且m≠1
D．m≥－1且m≠1知2－练3 (2015·滨州)如果式子 有意义，那么x的取值
范围在数轴上表示正确的是( ) 知3－讲3知识点二次根式的“双重”非负性（a≥0， ≥0） 二次根式的“双重”非负性（a≥0， ≥0）
1.理解二次根式的非负性应从算术平方根入手，当a≥
0时， 表示a的算术平方根，因此 ≥0 .
所以“二次根式”包含有两个“非负”即：①被开
方数非负：a≥0；②二次根式的值非负： ≥0.
2.若 + =0,则 a=0,b=0.由于二次根式 和 都是
非负数，所以它们的值都为0.例3 若 ，则x-y 的值为 ( )
A．1 B．－1 C．7 D．－7知3－讲分析：根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入
代数式进行计算即可得解．因为 + (y+
3)2=0都是非负数，它们的和为0，所以(y+3)2=
0， ，所以y+3=0，x+y-1=0，
解得y=-3，x=4，所以x-y=7.故选C．C知3－讲两个非负数的和为0时，这两个非负数都为0．1 若 =0，求a2012+b2012的值．
2 已知实数x，y满足|x－4|＋ ＝0，则以x，y的
值为两边长的等腰三角形的周长是( )
A．20或16 B．20
C．16 D．以上答案均不对知3－练1．形如 （a≥0）的式子叫做二次根式，“ ”
称为二次根号．
2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被
开方数是非负数．