16.2.2 二次根式的除法课件
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课件32张PPT。第十六章 二次根式16.2 二次根式的乘除第1课时 二次根式的
除法1课堂讲解2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升二次根式的除法法则
商的算术平方根的性质
最简二次根式 二次根式的乘法法则是什么内容？化简二
次根式的一般步骤是什么？1知识点二次根式的除法法则问 题1.计算：(1) =_______, =_______;
(2) =_______, =_______;
(3) =_______, =_______.知1－导2.根据上题计算结果，用“>”、“<”或“=”填空：
综上所述，二次根式的除法法则： .
当二次根式前面有 系数时，类比单项式除以单项式法
则进行计算：即系数之商 作为商的 ，被开方数之
商为 .知1－导_____ _________知1－导1．法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指
数不变，即： (a≥0，b＞0)．
(1)法则中的被开方数a，b既可以是数，也可以是代数式，
但都必须是非负的且b不为0；
(2)当二次根式根号外有因数(式)时，可类比单项式除以
单项式的法则进行运算，将根号外因数(式)之商作为
根号外商的因数(式)，被开方数之商作为被开方数．知1－导2．易错警示：(1)在 (a≥0，b＞0)中，特别
注意b＞0，若b＝0，则代数式无意义；
(2)二次根式的运算结果要尽量化到最简；
(3)如果被开方数是带分数，应先将它化成假分数，以
免出现类似 这样的错误；
(4)如果是几个二次根式相除，应按除法法则依次计算，
也可以把除法运算转化为乘法运算来计算．解：(1)
(2)例1 计算：
(1) ；(2)知1－讲知1－讲 利用二次根式的除法法则进行计算，被开方
数相除时，可以用“除以一个不为零的数等于乘这
个数的倒数”进行约分、化简．1 计算：
(1) ；(2) ；
(3) ；(4) . 知1－练2 成立的条件是( )
? A．a≠1 B．a≥1且a≠3
C．a＞1 D．a≥3
3 计算 的结果是( )
A. B. C. D.知1－练2知识点商的算术平方根的性质知2－导 把 反过来，就得到 (a≥0，
b＞0) ，利用它可以进行二次根式的化简.知2－讲 把二次根式的除法法则反过来，得： (a≥0，
b＞0)．这就是商的算术平方根的性质．
语言叙述：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除
以除式的算术平方根．
要点精析：(1)商的算术平方根的性质的实质是逆用二次
根式的除法法则；
(2)应用商的算术平方根的性质的前提条件是商中被除式
是非负数，除式是正数；
(3)商的算术平方根的性质的作用是化简二次根式，将分
母中的根号化去．知2－讲例2 化简：(1) (2)解：(1)
(2)知2－讲 利用商的算术平方根的性质化简二次根式的方法：
(1)若被开方数的分母是一个完全平方数(式)，则可以直
接利用商的算术平方根的性质，先将分子、分母分别
开平方，然后求商；
(2)若被开方数的分母不是完全平方数(式)，可根据分式
的基本性质，先将分式的分子、分母同时乘一个不等
于0的数或整式，使分母变成一个完全平方数(式)，然
后利用商的算术平方根的性质进行化简．1 化简：
(1) (2) (3)
(4)知2－练知2－练2 下列各式计算正确的是( )
A. B.
C. D.
3 若 ，则a的取值范围是( )
A．a≤0 B．a<0 C．a>0 D．0 解法2：
(2)
(3)知2－讲分母有理化一般经历如下三步：
“一移”，即将分子、分母中能开得尽方的因数(式)移
到根号外；
“二乘”，即将分子、分母同乘分母的有理化因数(式)；
“三化”，即化简计算．1 将下列各式分母中的根号去掉：
(1) (2)
(3) (4)知2－练2 老师在讲解“二次根式及其性质”时，在黑板上写下了下面
的一题作为练习：已知 ＝a， ＝b，用含有a，b的代
数式表示 .
甲的解法：
乙的解法：
因为 所以
请你解答下面的问题：
(1)甲、乙两人的解法都正确吗？
(2)请你再给出一种不同于上面两人的解法．知2－练3知识点最简二次根式知3－导 观察上面例1、例2、例3中各小题的最后结果，比如
等，可以发现这些式子有如下两个特点：
(1)被开方数不含分母；
(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次
根式(simplest quadratic radical).
在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二
次根式，并且分母中不含二次根式.知3－导定义：如果一个二次根式满足以下两个条件，那么这个
二次根式叫做最简二次根式：
(1)被开方数不含分母；
(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
要点精析：最简二次根式必须满足：
(1)被开方数不含分母，也就是被开方数必须是整数(式)；
(2)被开方数中每个因数(式)的指数都小于根指数2，即每
个因数(式)的指数都是1.知3－讲例4 下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是最简
二次根式？不是最简二次根式的，请说明理由．
(1) (2) (3) (4)
(5) (6)导引：根据最简二次根式的定义进行判断．
解：(1)不是最简二次根式，因为被开方数中含有分母．
(2)是最简二次根式．
(3)不是最简二次根式，因为被开方数是小数(即含
有分母)．知3－讲(4)不是最简二次根式，因为被开方数24x中含有能开
得尽方的因数4，4＝22.
(5)不是最简二次根式，因为x3＋6x2＋9x＝x(x2＋6x＋
9)＝x(x＋3)2，被开方数中含有能开得尽方的因式．
(6)不是最简二次根式，因为分母中有二次根式．
综上，只有(2)是最简二次根式．知3－讲 判断一个二次根式是最简二次根式的方法：利用最
简二次根式需要同时满足的两个条件进行判断，即(1)被
开方数不含分母，即被开方数必须是整数(式)；(2)被开方
数中不含能开得尽方的因数或因式，即被开方数中每个
因数(式)的指数都小于根指数2，另外还要具备分母中不
含二次根式．1 在二次根式
中，最简二次根式的
个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4知3－练2 在下列根式中，不是最简二次根式的是( )
A. B.
C. D.知3－练知3－讲例5 设长方形的面积为S，相邻两边长分别为a，b.
已知S = ，b= ,求 a.解：因为S=ab，所以知3－讲 将一个二次根式化简成最简二次根式的方法步骤：
(1)“一分”，即利用因数(式)分解的方法把被开方数的分
子、分母都化成质因数(式)的幂的乘积形式；
(2)“二移”，即把能开得尽方的因数(式)用它的算术平方
根代替，移到根号外，其中把根号内的分母中的因式
移到根号外时，要注意应写在分母的位置上；
(3)“三化”，即将分母有理化——化去被开方数中的分母．1 把下列二次根式化成最简二次根式：
(1) (2) (3) (4)
2 设长方形的面积为S，相邻两边长分别为a，b.
已知S=16，b= ，求a. 知3－练1.利用商的算术平方根化简二次根式的方法：(1)若被开方数的分
母是一个完全平方数(式)，则可以直接利用商的算术平方根的
性质将分子、分母分别开平方，然后再求商；(2)若被开方数的
分母不是完全平方数(式)，则可根据分式的基本性质，将分式
的分子、分母同时乘一个不等于零的数(整式)，使分母变成一
个完全平方数(式)，然后利用商的算术平方根的性质进行化简．
2. 把二次根式化成最简二次根式时，需要注意 ① 把根号下的带
分数化成假分数； ② 被开方式是多项式的要进行因式分解；
③ 被开方式不含分母； ④ 被开方式中能开得尽方的因数或
因式，要将它的算术平方根移到根号外； ⑤ 化去分母中的
根号； ⑥ 约分．
除法1课堂讲解2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升二次根式的除法法则
商的算术平方根的性质
最简二次根式 二次根式的乘法法则是什么内容？化简二
次根式的一般步骤是什么？1知识点二次根式的除法法则问 题1.计算：(1) =_______, =_______;
(2) =_______, =_______;
(3) =_______, =_______.知1－导2.根据上题计算结果，用“>”、“<”或“=”填空：
综上所述，二次根式的除法法则： .
当二次根式前面有 系数时，类比单项式除以单项式法
则进行计算：即系数之商 作为商的 ，被开方数之
商为 .知1－导_____ _________知1－导1．法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指
数不变，即： (a≥0，b＞0)．
(1)法则中的被开方数a，b既可以是数，也可以是代数式，
但都必须是非负的且b不为0；
(2)当二次根式根号外有因数(式)时，可类比单项式除以
单项式的法则进行运算，将根号外因数(式)之商作为
根号外商的因数(式)，被开方数之商作为被开方数．知1－导2．易错警示：(1)在 (a≥0，b＞0)中，特别
注意b＞0，若b＝0，则代数式无意义；
(2)二次根式的运算结果要尽量化到最简；
(3)如果被开方数是带分数，应先将它化成假分数，以
免出现类似 这样的错误；
(4)如果是几个二次根式相除，应按除法法则依次计算，
也可以把除法运算转化为乘法运算来计算．解：(1)
(2)例1 计算：
(1) ；(2)知1－讲知1－讲 利用二次根式的除法法则进行计算，被开方
数相除时，可以用“除以一个不为零的数等于乘这
个数的倒数”进行约分、化简．1 计算：
(1) ；(2) ；
(3) ；(4) . 知1－练2 成立的条件是( )
? A．a≠1 B．a≥1且a≠3
C．a＞1 D．a≥3
3 计算 的结果是( )
A. B. C. D.知1－练2知识点商的算术平方根的性质知2－导 把 反过来，就得到 (a≥0，
b＞0) ，利用它可以进行二次根式的化简.知2－讲 把二次根式的除法法则反过来，得： (a≥0，
b＞0)．这就是商的算术平方根的性质．
语言叙述：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除
以除式的算术平方根．
要点精析：(1)商的算术平方根的性质的实质是逆用二次
根式的除法法则；
(2)应用商的算术平方根的性质的前提条件是商中被除式
是非负数，除式是正数；
(3)商的算术平方根的性质的作用是化简二次根式，将分
母中的根号化去．知2－讲例2 化简：(1) (2)解：(1)
(2)知2－讲 利用商的算术平方根的性质化简二次根式的方法：
(1)若被开方数的分母是一个完全平方数(式)，则可以直
接利用商的算术平方根的性质，先将分子、分母分别
开平方，然后求商；
(2)若被开方数的分母不是完全平方数(式)，可根据分式
的基本性质，先将分式的分子、分母同时乘一个不等
于0的数或整式，使分母变成一个完全平方数(式)，然
后利用商的算术平方根的性质进行化简．1 化简：
(1) (2) (3)
(4)知2－练知2－练2 下列各式计算正确的是( )
A. B.
C. D.
3 若 ，则a的取值范围是( )
A．a≤0 B．a<0 C．a>0 D．0
(2)
(3)知2－讲分母有理化一般经历如下三步：
“一移”，即将分子、分母中能开得尽方的因数(式)移
到根号外；
“二乘”，即将分子、分母同乘分母的有理化因数(式)；
“三化”，即化简计算．1 将下列各式分母中的根号去掉：
(1) (2)
(3) (4)知2－练2 老师在讲解“二次根式及其性质”时，在黑板上写下了下面
的一题作为练习：已知 ＝a， ＝b，用含有a，b的代
数式表示 .
甲的解法：
乙的解法：
因为 所以
请你解答下面的问题：
(1)甲、乙两人的解法都正确吗？
(2)请你再给出一种不同于上面两人的解法．知2－练3知识点最简二次根式知3－导 观察上面例1、例2、例3中各小题的最后结果，比如
等，可以发现这些式子有如下两个特点：
(1)被开方数不含分母；
(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次
根式(simplest quadratic radical).
在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二
次根式，并且分母中不含二次根式.知3－导定义：如果一个二次根式满足以下两个条件，那么这个
二次根式叫做最简二次根式：
(1)被开方数不含分母；
(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
要点精析：最简二次根式必须满足：
(1)被开方数不含分母，也就是被开方数必须是整数(式)；
(2)被开方数中每个因数(式)的指数都小于根指数2，即每
个因数(式)的指数都是1.知3－讲例4 下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是最简
二次根式？不是最简二次根式的，请说明理由．
(1) (2) (3) (4)
(5) (6)导引：根据最简二次根式的定义进行判断．
解：(1)不是最简二次根式，因为被开方数中含有分母．
(2)是最简二次根式．
(3)不是最简二次根式，因为被开方数是小数(即含
有分母)．知3－讲(4)不是最简二次根式，因为被开方数24x中含有能开
得尽方的因数4，4＝22.
(5)不是最简二次根式，因为x3＋6x2＋9x＝x(x2＋6x＋
9)＝x(x＋3)2，被开方数中含有能开得尽方的因式．
(6)不是最简二次根式，因为分母中有二次根式．
综上，只有(2)是最简二次根式．知3－讲 判断一个二次根式是最简二次根式的方法：利用最
简二次根式需要同时满足的两个条件进行判断，即(1)被
开方数不含分母，即被开方数必须是整数(式)；(2)被开方
数中不含能开得尽方的因数或因式，即被开方数中每个
因数(式)的指数都小于根指数2，另外还要具备分母中不
含二次根式．1 在二次根式
中，最简二次根式的
个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4知3－练2 在下列根式中，不是最简二次根式的是( )
A. B.
C. D.知3－练知3－讲例5 设长方形的面积为S，相邻两边长分别为a，b.
已知S = ，b= ,求 a.解：因为S=ab，所以知3－讲 将一个二次根式化简成最简二次根式的方法步骤：
(1)“一分”，即利用因数(式)分解的方法把被开方数的分
子、分母都化成质因数(式)的幂的乘积形式；
(2)“二移”，即把能开得尽方的因数(式)用它的算术平方
根代替，移到根号外，其中把根号内的分母中的因式
移到根号外时，要注意应写在分母的位置上；
(3)“三化”，即将分母有理化——化去被开方数中的分母．1 把下列二次根式化成最简二次根式：
(1) (2) (3) (4)
2 设长方形的面积为S，相邻两边长分别为a，b.
已知S=16，b= ，求a. 知3－练1.利用商的算术平方根化简二次根式的方法：(1)若被开方数的分
母是一个完全平方数(式)，则可以直接利用商的算术平方根的
性质将分子、分母分别开平方，然后再求商；(2)若被开方数的
分母不是完全平方数(式)，则可根据分式的基本性质，将分式
的分子、分母同时乘一个不等于零的数(整式)，使分母变成一
个完全平方数(式)，然后利用商的算术平方根的性质进行化简．
2. 把二次根式化成最简二次根式时，需要注意 ① 把根号下的带
分数化成假分数； ② 被开方式是多项式的要进行因式分解；
③ 被开方式不含分母； ④ 被开方式中能开得尽方的因数或
因式，要将它的算术平方根移到根号外； ⑤ 化去分母中的
根号； ⑥ 约分．