17.1.1 勾股定理课件
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第十七章 勾股定理
17.1 勾股定理
第1课时 勾股定理
1
课堂讲解
2
课时流程
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
勾股定理
勾股定理与面积的关系
如图是2002年在北京召开的国际数学家大会(ICM—
2002)的会标.它的设计思路可追溯到3世纪中国数学家赵爽
所使用的弦图.用弦图证明勾股定理在数学史上有着重要
的地位.
1
知识点
勾股定理
问题1
图中三个正方形的面积有什么关系？等腰直角三角形
的三边之间有什么关系？
知1－导
归 纳
知1－导
可以发现，以等腰直角三角形两直角边为边长的
小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的大正方形
的面积. 即等腰直角三角形的三边之间有一种特殊的
关系：斜边的平方等于两直角边的平方和.
等腰直角三角形有上述性质，
其他的直角三角形也有这个性质
吗？图中，每个小方格的面积均
为1，请分别算出图中正方形 A，
B，C，A'， B'， C'的面积，看
看能得出什么结论.（提示：以斜边为边长的正方形的面积，
等于某个正方形的面积减去4个直角三 角形的面积.）
知1－导
问题2
归 纳
知1－导
命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为a，
b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.
赵爽利用弦图证明命题1的基本思路如下：如图(1)，把
边长为a，b的两个正方形连在一起，它的面积是a2+b2;另一
方面，这个图形可分割成四个全等的直角三角形(红色)和一
个正方形(黄色).把图(1)中左、右两个三角形移到图(2)中所
示的位置，就会形成一个以c为边长的正方形(图(3)).因为图
(1)与图(3)都由四个全等的直角三角形(红色)和一个正方形
(黄色)组成，所以它们的面积相等.因此，a2 +b2 =c2.
知1－讲
总 结
知1－讲
勾股定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的
平方；
数学表达式：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，
BC＝a，则a2＋b2＝c2.
要点精析：(1)勾股定理适用于任何一个直角三角形；
(2)勾股定理的内容描述的是直角三角形三边之间的数量关
系，已知其中任意两边可以求出第三边；
(3)勾股定理的变形公式：a2＝c2－b2，b2＝c2－a2；
(4)运用勾股定理时，要分清斜边、直角边．
分清斜边和直角边．因为在Rt△ABC中，a，b，
c是三边，所以可以用勾股定理解决问题．
例1 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的
对边分别是a，b，c.
(1)已知a＝b＝6，求c；
(2)已知c＝3，b＝2，求a；
(3)已知a∶b＝2∶1，c＝5，求b.
知1－讲
导引：
(1)∵∠C＝90°，a＝b＝6，
∴由勾股定理，得
(2)∵∠C＝90°，c＝3，b＝2，
∴由勾股定理，得
(3)∵∠C＝90°，a∶b＝2∶1，∴a＝2b.
又c＝5，由勾股定理，得(2b)2＋b2＝52，
解得b＝
知1－讲
解：
总 结
知1－讲
利用勾股定理求直角三角形的边长的方法：一般
都要经过“一分二代三化简”这“三步曲”，即一分：分
清哪条边是斜边，哪些是直角边；二代：将已知边长
及两边之间的关系式代入a2＋b2＝c2（假设c是斜边）；
三化简．
1 设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边
长为c.
(1)已知a=6，c=10，求b；
(2)已知a=5，b=12，求c；
(3)已知c=25，b=15，求a.
知1－练
2 (2016·株洲)如图，以直角三角形的三边a，b，c为
边或直径，分别向外作等边三角形，半圆，等腰直
角三角形和正方形，上述四种情况的面积关系满足
S1＋S2＝S3的图形个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
知1－练
3 若一个直角三角形的两直角边的长分别为a，b，
斜边长为c，则下列关于a，b，c的关系式中不正
确的是( )
A．b2＝c2－a2 B．a2＝c2－b2
C．b2＝a2－c2 D．c2＝a2＋b2
知1－练
错解：第三边的长为
错解分析：由于习惯了“勾三股四弦五”的说法，故将题意理
解为两直角边长分别为3和4，于是斜边长为5.但这一理解
的前提是3，4为直角边长，而题中并未加以任何说明，因
而所求的第三边可能为斜边，也可能为直角边．所以需要
分情况求解．
正确解法：(1)当两直角边长分别为3和4时，
第三边的长为
(2)当斜边长为4，一直角边长为3时，
第三边的长为
例2 已知直角三角形的两边长分别为3，4，求第三边的长．
知1－讲
总 结
知1－讲
运用勾股定理求第三边的长时，一般要经过“一分
二代三化简”这三步曲；若由题目中的条件找不到斜边，
则需要运用分类讨论思想求解．
1 (1)已知一直角三角形的两边长分别为8，15，
则第三边长为____________；
(2)已知一直角三角形的两边长分别为2和4，则第
三边长的平方为__________．
知1－练
2 (2015·黔西南)一直角三角形的两边长分别为
3和4，则第三边长为( )
A．5 B. C. D．5或
知1－练
2
知识点
勾股定理与面积的关系
知2－导
在一张纸上画4个与图所示的全等的直角三边形，
并把它们剪下来．如图所示，用这四个直角三角形进
行拼摆，将得到一个以a+b为边长的大正方形和以直
角形斜边c为边长的小正方形．
归 纳
知2－导
观察图形，容易得到大正方形的边长为 a+b，所以
大正方形的面积是(a+b)2．又因为大正方形是由4个全等
的直角三角形和中间的正方形拼成的，所以大正方形的
面积又可表示成 ab×4+c2． 因此有(a+b)2= ab×4+
c2．整理得a2+b2=c2，即a、b、c为边的直角三角形满足
两直角边的平方和等于斜边的平方．
知2－讲
例3 观察如图所示的图形，回答问题：
(1)如图①，△DEF为直角三角形，正方形 P的面积
为9，正方形Q的面积为
15，则正方形M的面积
为________；
(2)如图②，分别以直角
三角形ABC的三边长为直径向三角形外作三个半圆，
则这三个半圆形的面积之间的关系式是________；
(用图中字母表示)
(3)如图③，如果直角三角形两直角边的长分别为3和
4，分别以直角三角形的三边长为直径作半圆，请你
利用(2)中得出的结论求阴影部分的面积．
知2－讲
(1)根据正方形的面积公式，结合勾股定理可得
DF2＝DE2＋EF2，即正方形M的面积＝9＋15＝24；
(2)
另外由勾股定理可知AC2＋BC2＝AB2，所以S1＋S2＝S3；
(3)阴影部分的面积＝两个小半圆形的面积和＋直角三角
形的面积－大半圆形的面积，由(2)可知两个小半圆形
的面积和＝大半圆形的面积，所以阴影部分的面积＝
直角三角形的面积．
导引：
知2－讲
(1)24
(2)S1＋S2＝S3
(3)设两个小半圆形的面积分别为S1，S2，大半圆
形的面积为S3，三角形的面积为S△，
则S阴影＝S1＋S2＋S△－S3
＝S△＝ ×3×4＝6.
解：
总 结
知2－讲
与直角三角形三边相连的正方形、半圆及正多边形、
圆都具有相同的结论：两直角边上图形面积的和等于斜
边上的图形面积．本例考查了勾股定理及正方形的面积
公式，半圆形面积的求法，解答此类题目的关键是仔细
观察所给图形，面积与边长、直径有平方关系，就很容
易联想到勾股定理．
1 如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边
形都是正方形.已知正方形A，B，C，D的边长分
别是12，16，9，12，求最大正方形E的面积.
知2－练
知2－练
2 如图，字母B所代表的正方形的面积是( )
A．12
B．13
C．144
D．194
知2－练
3 如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面
积分别为3和4，则b的面积为( )
A．3
B．4
C．5
D．7
1．运用勾股定理时应注意以下几点：
(1)遇到求线段长度的问题时，能想到用勾股定理.
(2)必须把要求的线段归结到直角三角形中去(没有直角
三角形，可以通过作辅助线构造直角三角形)，切忌
乱用勾股定理.
(3)分清组成直角三角形的线段中哪条是直角边，哪条
是斜边.
2．勾股定理适用的前提条件是直角三角形：
由公式a2＋b2＝c2可知，在直角三角形中，已知任
意两条边长，可求第三条边长.在应用公式计算时
要会灵活变形，常常要与乘法公式结合使用；
如c2＝a2＋b2＝(a＋b)2－2ab或
c2＝a2＋b2＝(a－b)2 ＋ 2ab；
a2＝c2－b2＝(c＋b)(c－b)等.
第十七章 勾股定理
17.1 勾股定理
第1课时 勾股定理
1
课堂讲解
2
课时流程
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
勾股定理
勾股定理与面积的关系
如图是2002年在北京召开的国际数学家大会(ICM—
2002)的会标.它的设计思路可追溯到3世纪中国数学家赵爽
所使用的弦图.用弦图证明勾股定理在数学史上有着重要
的地位.
1
知识点
勾股定理
问题1
图中三个正方形的面积有什么关系？等腰直角三角形
的三边之间有什么关系？
知1－导
归 纳
知1－导
可以发现，以等腰直角三角形两直角边为边长的
小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的大正方形
的面积. 即等腰直角三角形的三边之间有一种特殊的
关系：斜边的平方等于两直角边的平方和.
等腰直角三角形有上述性质，
其他的直角三角形也有这个性质
吗？图中，每个小方格的面积均
为1，请分别算出图中正方形 A，
B，C，A'， B'， C'的面积，看
看能得出什么结论.（提示：以斜边为边长的正方形的面积，
等于某个正方形的面积减去4个直角三 角形的面积.）
知1－导
问题2
归 纳
知1－导
命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为a，
b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.
赵爽利用弦图证明命题1的基本思路如下：如图(1)，把
边长为a，b的两个正方形连在一起，它的面积是a2+b2;另一
方面，这个图形可分割成四个全等的直角三角形(红色)和一
个正方形(黄色).把图(1)中左、右两个三角形移到图(2)中所
示的位置，就会形成一个以c为边长的正方形(图(3)).因为图
(1)与图(3)都由四个全等的直角三角形(红色)和一个正方形
(黄色)组成，所以它们的面积相等.因此，a2 +b2 =c2.
知1－讲
总 结
知1－讲
勾股定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的
平方；
数学表达式：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，
BC＝a，则a2＋b2＝c2.
要点精析：(1)勾股定理适用于任何一个直角三角形；
(2)勾股定理的内容描述的是直角三角形三边之间的数量关
系，已知其中任意两边可以求出第三边；
(3)勾股定理的变形公式：a2＝c2－b2，b2＝c2－a2；
(4)运用勾股定理时，要分清斜边、直角边．
分清斜边和直角边．因为在Rt△ABC中，a，b，
c是三边，所以可以用勾股定理解决问题．
例1 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的
对边分别是a，b，c.
(1)已知a＝b＝6，求c；
(2)已知c＝3，b＝2，求a；
(3)已知a∶b＝2∶1，c＝5，求b.
知1－讲
导引：
(1)∵∠C＝90°，a＝b＝6，
∴由勾股定理，得
(2)∵∠C＝90°，c＝3，b＝2，
∴由勾股定理，得
(3)∵∠C＝90°，a∶b＝2∶1，∴a＝2b.
又c＝5，由勾股定理，得(2b)2＋b2＝52，
解得b＝
知1－讲
解：
总 结
知1－讲
利用勾股定理求直角三角形的边长的方法：一般
都要经过“一分二代三化简”这“三步曲”，即一分：分
清哪条边是斜边，哪些是直角边；二代：将已知边长
及两边之间的关系式代入a2＋b2＝c2（假设c是斜边）；
三化简．
1 设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边
长为c.
(1)已知a=6，c=10，求b；
(2)已知a=5，b=12，求c；
(3)已知c=25，b=15，求a.
知1－练
2 (2016·株洲)如图，以直角三角形的三边a，b，c为
边或直径，分别向外作等边三角形，半圆，等腰直
角三角形和正方形，上述四种情况的面积关系满足
S1＋S2＝S3的图形个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
知1－练
3 若一个直角三角形的两直角边的长分别为a，b，
斜边长为c，则下列关于a，b，c的关系式中不正
确的是( )
A．b2＝c2－a2 B．a2＝c2－b2
C．b2＝a2－c2 D．c2＝a2＋b2
知1－练
错解：第三边的长为
错解分析：由于习惯了“勾三股四弦五”的说法，故将题意理
解为两直角边长分别为3和4，于是斜边长为5.但这一理解
的前提是3，4为直角边长，而题中并未加以任何说明，因
而所求的第三边可能为斜边，也可能为直角边．所以需要
分情况求解．
正确解法：(1)当两直角边长分别为3和4时，
第三边的长为
(2)当斜边长为4，一直角边长为3时，
第三边的长为
例2 已知直角三角形的两边长分别为3，4，求第三边的长．
知1－讲
总 结
知1－讲
运用勾股定理求第三边的长时，一般要经过“一分
二代三化简”这三步曲；若由题目中的条件找不到斜边，
则需要运用分类讨论思想求解．
1 (1)已知一直角三角形的两边长分别为8，15，
则第三边长为____________；
(2)已知一直角三角形的两边长分别为2和4，则第
三边长的平方为__________．
知1－练
2 (2015·黔西南)一直角三角形的两边长分别为
3和4，则第三边长为( )
A．5 B. C. D．5或
知1－练
2
知识点
勾股定理与面积的关系
知2－导
在一张纸上画4个与图所示的全等的直角三边形，
并把它们剪下来．如图所示，用这四个直角三角形进
行拼摆，将得到一个以a+b为边长的大正方形和以直
角形斜边c为边长的小正方形．
归 纳
知2－导
观察图形，容易得到大正方形的边长为 a+b，所以
大正方形的面积是(a+b)2．又因为大正方形是由4个全等
的直角三角形和中间的正方形拼成的，所以大正方形的
面积又可表示成 ab×4+c2． 因此有(a+b)2= ab×4+
c2．整理得a2+b2=c2，即a、b、c为边的直角三角形满足
两直角边的平方和等于斜边的平方．
知2－讲
例3 观察如图所示的图形，回答问题：
(1)如图①，△DEF为直角三角形，正方形 P的面积
为9，正方形Q的面积为
15，则正方形M的面积
为________；
(2)如图②，分别以直角
三角形ABC的三边长为直径向三角形外作三个半圆，
则这三个半圆形的面积之间的关系式是________；
(用图中字母表示)
(3)如图③，如果直角三角形两直角边的长分别为3和
4，分别以直角三角形的三边长为直径作半圆，请你
利用(2)中得出的结论求阴影部分的面积．
知2－讲
(1)根据正方形的面积公式，结合勾股定理可得
DF2＝DE2＋EF2，即正方形M的面积＝9＋15＝24；
(2)
另外由勾股定理可知AC2＋BC2＝AB2，所以S1＋S2＝S3；
(3)阴影部分的面积＝两个小半圆形的面积和＋直角三角
形的面积－大半圆形的面积，由(2)可知两个小半圆形
的面积和＝大半圆形的面积，所以阴影部分的面积＝
直角三角形的面积．
导引：
知2－讲
(1)24
(2)S1＋S2＝S3
(3)设两个小半圆形的面积分别为S1，S2，大半圆
形的面积为S3，三角形的面积为S△，
则S阴影＝S1＋S2＋S△－S3
＝S△＝ ×3×4＝6.
解：
总 结
知2－讲
与直角三角形三边相连的正方形、半圆及正多边形、
圆都具有相同的结论：两直角边上图形面积的和等于斜
边上的图形面积．本例考查了勾股定理及正方形的面积
公式，半圆形面积的求法，解答此类题目的关键是仔细
观察所给图形，面积与边长、直径有平方关系，就很容
易联想到勾股定理．
1 如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边
形都是正方形.已知正方形A，B，C，D的边长分
别是12，16，9，12，求最大正方形E的面积.
知2－练
知2－练
2 如图，字母B所代表的正方形的面积是( )
A．12
B．13
C．144
D．194
知2－练
3 如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面
积分别为3和4，则b的面积为( )
A．3
B．4
C．5
D．7
1．运用勾股定理时应注意以下几点：
(1)遇到求线段长度的问题时，能想到用勾股定理.
(2)必须把要求的线段归结到直角三角形中去(没有直角
三角形，可以通过作辅助线构造直角三角形)，切忌
乱用勾股定理.
(3)分清组成直角三角形的线段中哪条是直角边，哪条
是斜边.
2．勾股定理适用的前提条件是直角三角形：
由公式a2＋b2＝c2可知，在直角三角形中，已知任
意两条边长，可求第三条边长.在应用公式计算时
要会灵活变形，常常要与乘法公式结合使用；
如c2＝a2＋b2＝(a＋b)2－2ab或
c2＝a2＋b2＝(a－b)2 ＋ 2ab；
a2＝c2－b2＝(c＋b)(c－b)等.