17.2.1 勾股定理的逆定理课件
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课件34张PPT。第十七章 勾股定理17.2 勾股定理的逆定理第1课时 勾股定理的
逆定理1课堂讲解2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升逆命题、逆定理
勾股定理的逆定理
勾股数 一艘在海上朝正北方向航行的轮船，在航行240海里
时方位仪坏了，凭经验，船长指挥船左传90°，继续航
行70 海里，则距出发地250 海里，你能判断船转弯后，
是否沿正西方向航行吗？1知识点逆命题、逆定理问 题 命题2如果三角形的三边长a,b, c满足a2+b2 =c2,那么这个三
角形是直角三角形.
我们看到，命题2与上节的命题1的题设、结论正好相反.我
们把像这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命
题,那么另一个叫做它的逆命题.例如，如果把命题1当成原命题，
那么命题2是命题1的逆命题.
逆定理：如果一个定理的逆命题是真命题，那么这个逆命
题也可称为原定理的逆定理．一个定理和它的逆定理是互逆
定理. 知1－导1．如果两个命题的题设、结论正好相反，那么这两个命
题称为互逆命题，如果把其中一个叫做原命题，那么
另一个叫做它的逆命题．
要点精析：(1)“题设、结论正好相反”是指：第一个命题的
题设是第二个命题的结论；第一个命题的结论是第二
个命题的题设．
(2)“互逆命题”是说明两个命题之间的关系，两个命题的地
位可以互换；两者可以确定其中任何一个为原命题，另
一个为逆命题．知1－讲2．如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也
是一个定理，称其为原定理的逆定理，这两个定理称
为互逆定理．
要点精析：每个命题都有逆命题；但每个定理不一定有
逆定理；只有当定理的逆命题经过证明是正确的，才
能称这个逆命题为逆定理．
3．易错警示：判断一个命题是真命题需要证明；而判断
一个命题是假命题，只需举一个反例即可．知1－讲导引：根据题目要求，先判断原命题的真假，再将原命题
的题设和结论互换，写出原命题的逆命题，最后判
断逆命题的真假．例1 判断下列命题的真假，写出逆命题，并判断逆命题
的真假：
(1)如果两条直线相交，那么它们只有一个交点；
(2)如果a＞b，那么a2＞b2；
(3)如果两个数互为相反数，那么它们的和为零；
(4)如果ab＜0，那么a＞0，b＜0.知1－讲解：(1)原命题是真命题．逆命题为：如果两条直线只有
一个交点，那么它们相交．逆命题是真命题．
(2)原命题是假命题．逆命题为：如果a2＞b2，那么a
＞b.逆命题是假命题．
(3)原命题是真命题．逆命题为：如果两个数的和为
零，那么它们互为相反数．逆命题是真命题．
(4)原命题是假命题．逆命题为：如果a＞0，b＜0，
那么ab＜0.逆命题是真命题．知1－讲知1－讲 写出逆命题的关键是分清楚原命题的题设和结论，
然后将它的题设和结论交换位置就得到这个命题的逆
命题．判断一个命题是真命题需要进行逻辑推理，判
断一个命题是假命题只需要举出一个反例就可以了．1 说出下列命题的逆命题.这些逆命题成立吗？
(1)两条直线平行，内错角相等；
(2)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；
(3)全等三角形的对应角相等；
(4)在角的内部，到角的两边距离相等的点在角
的平分线上.知1－练2 下列说法正确的是( )
A．每个定理都有逆定理
B．每个命题都有逆命题
C．原命题是假命题，则它的逆命题也是假命题
D．真命题的逆命题是真命题知1－练2知识点勾股定理的逆定理知2－导 据说，古埃及人用如图的方法画直角：
把一根长绳打上等距离的13个结，然后以
3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度
为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角.
这个问题意味着，如果围成的三角形的三边长分别为3，
4，5，它们满足关系“32+42 = 52”，那么围成的三角形是直
角三角形.
画画看，如果三角形的三边长分别为2.5 cm，6 cm，6.5
cm，它们满足关系“2. 52+62=6.52”，画出的三角形是直角三
角形吗？换成三边分别为4 cm，7.5 cm，8.5 cm，再试一试.问 题知2－导 由上面的几个例子，我们猜想：
命题2 如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2,那么这个
三角形是直角三角形.
上节已证 明命题1正确，能证明命题2正确吗？
在图(1)中，已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足a2
+b2=c2，要证△ABC一定是直角三角形.我们可以先画一个两条
直角边长分别为a，b的直角三角形，如果△ABC与这个直角三
角形全等， 那么△ABC就是一个直角三角形.知2－导 如图 (2)，画一个 Rt△A′B′C′，使B′C′=a， A′C′=b，∠C′=
90°.根据勾股定理，A′B′2=B′C′2+A′C′2=a2+b2.因为a2+b2=c2，所
以A′B′=c.在△ABC 和△A′B′C′中，BC=a=B′C′，AC=b=A′C′，
AB=c=A′B′，所以△ABC≌△A′B′C′.因此∠C=∠C′=90°.
即△ABC是直角三角形.
这样我们证明了勾股定理的逆命题是正确的，它也是一个
定理.我们把这个定理叫做勾股定理的逆定理.它是判定直角三
角形的一个依据. 知2－讲勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足
a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．
要点精析：
(1)勾股定理的逆定理是判定直角三角形的一个依据，
在没有确定直角三角形时，只能说三角形的边，
不能说斜边或直角边；
(2)如果三角形的三边长a，b，c满足a2－b2＝c2，那么
这个三角形同样是直角三角形；只是这时a为斜边．知2－讲例2 判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形：
(1)a=15，b=8，c=17；
(2)a=13，b=14，c =15.分析：根据勾股定理及其逆定理，判断一个三角形是不是直
角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最
大边长的平方.
解：(1)因为 152+82=225+64=289,172 = 289，所以152 +82 =172 ，
根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形.
(2)因为132+142=169+196=365，152=225，所以132+142≠
152，根据勾股定理，这个三角形不是直角三角形.知2－讲 判断一个三角形是不是直角三角形有两种方法：
(1)利用定义，即如果已知条件与角度有关，可借助三角
形的内角和定理判断；
(2)利用直角三角形的判定条件，即若已知条件与边有关，
一般通过计算得出三边的数量关系(即a2＋b2＝c2)来判
断，看是否符合较短两边的平方和等于最长边的平方．1 如果三条线段长a，b，c满足a2=c2–b2，这三
条线段组成的三角形是不是直角三角形？为
什么？知2－练知2－练2 (2016·南京)下列长度的三条线段能组成钝角三角形
的是( )
A．3，4，4 B．3，4，5
C．3，4，6 D．3，4，7
3 在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，
c，且(a＋b)(a－b)＝c2，则( )
A．∠A为直角 B．∠B为直角
C．∠C为直角 D．△ABC不是直角三角形知2－讲例3 如图，某港口P位于东西方向的海岸线上.“远航”
号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固
定方向航行，“远航”号每小时航行 16 n mile，
“海天”号每小时航行12 n mile.它们离开港口一个
半小时后分别位于点Q，R处，且相距30 n mile.如
果知道“远航”号沿东北方
向航行，能知道“海天”号
沿哪个方向航行吗？知2－讲分析：在图中可以看到，由于“远航”号的航向已知，
如果求出两艘轮船的航向所成的角，就能知道
“海天”号的航向了.
解：根据题意，PQ =16×1.5 = 24，PR=12×1.5 = 18，
QR=30.
因为 242+182=302，即 PQ2+PR2=QR2，
所以∠QPR= 90°.
由“远航”号沿东北方向航行可知，∠1=45°.
因此∠2=45°，即“海天”号沿西北方向航行.知2－讲 用数学几何知识解决生活实际问题的关键是：建模
思想，即将实际问题转化为数学问题；这里要特别注意
弄清实际语言与数学语言间的关系；如本例中：“点与
点之间的最短路线”就是“连接这两点的线段”，“点
与直线的最短距离”就是“点到直线的垂线段的长”．1 A，B，C三地的两两距离如图所示，A地在
B地的正东方向，C地在B地的什么方向？知2－练2 五根小木棒，其长度(单位：cm)分别为7，15，
20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，
其中正确的是( )知2－练3知识点勾股数知3－导 勾股数又名毕氏三元数，凡是可以构成一个直角三
角形三边的一组正整数，称之为勾股数．
我们常见的一组勾股数是“3，4，5”，而这组勾股
数的倍数仍能构成直角三角形，如它的1.5倍“4.5，6，
7.5”.为了计算方便，我们应该熟以下这五组勾股数：“3，
4，5”，“5，12，13”，“6，8，10”，“7，24，25”，
“8，15，17”．熟记这五组勾股数，在做题时就可以省
略很多繁琐的计算过程，提高做题的速度和准确度．问 题知3－讲1．勾股数：能够成为直角三角形三条边长的三个正整
数．常见的勾股数有：3，4，5；5，12，13；8，
15，17；7，24，25；9，40，41；….
要点精析：
(1)勾股数组有无数个；
(2)一组勾股数中各数的相同倍数得到一组新的勾股数：
如3，4，5是勾股数，则6，8，10和9，12，15也是
勾股数，即如果a，b，c是一组勾股数，那么na，
nb，nc(n为正整数)也是一组勾股数．知3－讲2．判断勾股数的方法：
(1)确定是否是三个正整数；
(2)确定最大数；
(3)计算：看较小两数的平方和是否等于最大数的平方．
3．易错警示：勾股数必须同时满足两个条件：
(1)三个数都是正整数；
(2)两个较小数的平方和等于最大数的平方．知3－讲导引：根据勾股数的定义：满足a2＋b2＝c2的三个正整数
a，b，c称为勾股数．A.62＋72≠82，不能构成勾
股数，故错误；B.52＋82≠132，不能构成勾股数，
故错误；C.1.5和2.5不是整数，所以不能构成勾股
数，故错误；D.212＋282＝352，能构成勾股数，故
正确．故选D.例4 下面四组数中是勾股数的一组是( )
A．6，7，8 B．5，8，13
C．1.5，2，2.5 D．21，28，35D知3－讲 确定勾股数的方法：首先看这三个数是否是正整
数；然后看较小两个数的平方和是否等于最大数的平
方，记住常见的勾股数(3，4，5；5，12，13；8，15，
17；7，24，25)可以提高解题速度．1 若直角三角形的三边长为三个连续的偶数，则它
的三边长分别是( )
A．3，4，5 B．6，8，10
C．3，4，6 D．4，6，8知3－练2 下面几组数中，为勾股数的一组是( )
A．4，5，6 B．12，16，20
C．－10，24，26 D．2.4，4.5，5.1
3 下列几组数：①9，12，15；②8，15，17；③7，
24，25；④n2－1，2n，n2＋1(n是大于1的整数),
其中是勾股数的有( )
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组知3－练
逆定理1课堂讲解2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升逆命题、逆定理
勾股定理的逆定理
勾股数 一艘在海上朝正北方向航行的轮船，在航行240海里
时方位仪坏了，凭经验，船长指挥船左传90°，继续航
行70 海里，则距出发地250 海里，你能判断船转弯后，
是否沿正西方向航行吗？1知识点逆命题、逆定理问 题 命题2如果三角形的三边长a,b, c满足a2+b2 =c2,那么这个三
角形是直角三角形.
我们看到，命题2与上节的命题1的题设、结论正好相反.我
们把像这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命
题,那么另一个叫做它的逆命题.例如，如果把命题1当成原命题，
那么命题2是命题1的逆命题.
逆定理：如果一个定理的逆命题是真命题，那么这个逆命
题也可称为原定理的逆定理．一个定理和它的逆定理是互逆
定理. 知1－导1．如果两个命题的题设、结论正好相反，那么这两个命
题称为互逆命题，如果把其中一个叫做原命题，那么
另一个叫做它的逆命题．
要点精析：(1)“题设、结论正好相反”是指：第一个命题的
题设是第二个命题的结论；第一个命题的结论是第二
个命题的题设．
(2)“互逆命题”是说明两个命题之间的关系，两个命题的地
位可以互换；两者可以确定其中任何一个为原命题，另
一个为逆命题．知1－讲2．如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也
是一个定理，称其为原定理的逆定理，这两个定理称
为互逆定理．
要点精析：每个命题都有逆命题；但每个定理不一定有
逆定理；只有当定理的逆命题经过证明是正确的，才
能称这个逆命题为逆定理．
3．易错警示：判断一个命题是真命题需要证明；而判断
一个命题是假命题，只需举一个反例即可．知1－讲导引：根据题目要求，先判断原命题的真假，再将原命题
的题设和结论互换，写出原命题的逆命题，最后判
断逆命题的真假．例1 判断下列命题的真假，写出逆命题，并判断逆命题
的真假：
(1)如果两条直线相交，那么它们只有一个交点；
(2)如果a＞b，那么a2＞b2；
(3)如果两个数互为相反数，那么它们的和为零；
(4)如果ab＜0，那么a＞0，b＜0.知1－讲解：(1)原命题是真命题．逆命题为：如果两条直线只有
一个交点，那么它们相交．逆命题是真命题．
(2)原命题是假命题．逆命题为：如果a2＞b2，那么a
＞b.逆命题是假命题．
(3)原命题是真命题．逆命题为：如果两个数的和为
零，那么它们互为相反数．逆命题是真命题．
(4)原命题是假命题．逆命题为：如果a＞0，b＜0，
那么ab＜0.逆命题是真命题．知1－讲知1－讲 写出逆命题的关键是分清楚原命题的题设和结论，
然后将它的题设和结论交换位置就得到这个命题的逆
命题．判断一个命题是真命题需要进行逻辑推理，判
断一个命题是假命题只需要举出一个反例就可以了．1 说出下列命题的逆命题.这些逆命题成立吗？
(1)两条直线平行，内错角相等；
(2)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；
(3)全等三角形的对应角相等；
(4)在角的内部，到角的两边距离相等的点在角
的平分线上.知1－练2 下列说法正确的是( )
A．每个定理都有逆定理
B．每个命题都有逆命题
C．原命题是假命题，则它的逆命题也是假命题
D．真命题的逆命题是真命题知1－练2知识点勾股定理的逆定理知2－导 据说，古埃及人用如图的方法画直角：
把一根长绳打上等距离的13个结，然后以
3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度
为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角.
这个问题意味着，如果围成的三角形的三边长分别为3，
4，5，它们满足关系“32+42 = 52”，那么围成的三角形是直
角三角形.
画画看，如果三角形的三边长分别为2.5 cm，6 cm，6.5
cm，它们满足关系“2. 52+62=6.52”，画出的三角形是直角三
角形吗？换成三边分别为4 cm，7.5 cm，8.5 cm，再试一试.问 题知2－导 由上面的几个例子，我们猜想：
命题2 如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2,那么这个
三角形是直角三角形.
上节已证 明命题1正确，能证明命题2正确吗？
在图(1)中，已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足a2
+b2=c2，要证△ABC一定是直角三角形.我们可以先画一个两条
直角边长分别为a，b的直角三角形，如果△ABC与这个直角三
角形全等， 那么△ABC就是一个直角三角形.知2－导 如图 (2)，画一个 Rt△A′B′C′，使B′C′=a， A′C′=b，∠C′=
90°.根据勾股定理，A′B′2=B′C′2+A′C′2=a2+b2.因为a2+b2=c2，所
以A′B′=c.在△ABC 和△A′B′C′中，BC=a=B′C′，AC=b=A′C′，
AB=c=A′B′，所以△ABC≌△A′B′C′.因此∠C=∠C′=90°.
即△ABC是直角三角形.
这样我们证明了勾股定理的逆命题是正确的，它也是一个
定理.我们把这个定理叫做勾股定理的逆定理.它是判定直角三
角形的一个依据. 知2－讲勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足
a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．
要点精析：
(1)勾股定理的逆定理是判定直角三角形的一个依据，
在没有确定直角三角形时，只能说三角形的边，
不能说斜边或直角边；
(2)如果三角形的三边长a，b，c满足a2－b2＝c2，那么
这个三角形同样是直角三角形；只是这时a为斜边．知2－讲例2 判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形：
(1)a=15，b=8，c=17；
(2)a=13，b=14，c =15.分析：根据勾股定理及其逆定理，判断一个三角形是不是直
角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最
大边长的平方.
解：(1)因为 152+82=225+64=289,172 = 289，所以152 +82 =172 ，
根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形.
(2)因为132+142=169+196=365，152=225，所以132+142≠
152，根据勾股定理，这个三角形不是直角三角形.知2－讲 判断一个三角形是不是直角三角形有两种方法：
(1)利用定义，即如果已知条件与角度有关，可借助三角
形的内角和定理判断；
(2)利用直角三角形的判定条件，即若已知条件与边有关，
一般通过计算得出三边的数量关系(即a2＋b2＝c2)来判
断，看是否符合较短两边的平方和等于最长边的平方．1 如果三条线段长a，b，c满足a2=c2–b2，这三
条线段组成的三角形是不是直角三角形？为
什么？知2－练知2－练2 (2016·南京)下列长度的三条线段能组成钝角三角形
的是( )
A．3，4，4 B．3，4，5
C．3，4，6 D．3，4，7
3 在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，
c，且(a＋b)(a－b)＝c2，则( )
A．∠A为直角 B．∠B为直角
C．∠C为直角 D．△ABC不是直角三角形知2－讲例3 如图，某港口P位于东西方向的海岸线上.“远航”
号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固
定方向航行，“远航”号每小时航行 16 n mile，
“海天”号每小时航行12 n mile.它们离开港口一个
半小时后分别位于点Q，R处，且相距30 n mile.如
果知道“远航”号沿东北方
向航行，能知道“海天”号
沿哪个方向航行吗？知2－讲分析：在图中可以看到，由于“远航”号的航向已知，
如果求出两艘轮船的航向所成的角，就能知道
“海天”号的航向了.
解：根据题意，PQ =16×1.5 = 24，PR=12×1.5 = 18，
QR=30.
因为 242+182=302，即 PQ2+PR2=QR2，
所以∠QPR= 90°.
由“远航”号沿东北方向航行可知，∠1=45°.
因此∠2=45°，即“海天”号沿西北方向航行.知2－讲 用数学几何知识解决生活实际问题的关键是：建模
思想，即将实际问题转化为数学问题；这里要特别注意
弄清实际语言与数学语言间的关系；如本例中：“点与
点之间的最短路线”就是“连接这两点的线段”，“点
与直线的最短距离”就是“点到直线的垂线段的长”．1 A，B，C三地的两两距离如图所示，A地在
B地的正东方向，C地在B地的什么方向？知2－练2 五根小木棒，其长度(单位：cm)分别为7，15，
20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，
其中正确的是( )知2－练3知识点勾股数知3－导 勾股数又名毕氏三元数，凡是可以构成一个直角三
角形三边的一组正整数，称之为勾股数．
我们常见的一组勾股数是“3，4，5”，而这组勾股
数的倍数仍能构成直角三角形，如它的1.5倍“4.5，6，
7.5”.为了计算方便，我们应该熟以下这五组勾股数：“3，
4，5”，“5，12，13”，“6，8，10”，“7，24，25”，
“8，15，17”．熟记这五组勾股数，在做题时就可以省
略很多繁琐的计算过程，提高做题的速度和准确度．问 题知3－讲1．勾股数：能够成为直角三角形三条边长的三个正整
数．常见的勾股数有：3，4，5；5，12，13；8，
15，17；7，24，25；9，40，41；….
要点精析：
(1)勾股数组有无数个；
(2)一组勾股数中各数的相同倍数得到一组新的勾股数：
如3，4，5是勾股数，则6，8，10和9，12，15也是
勾股数，即如果a，b，c是一组勾股数，那么na，
nb，nc(n为正整数)也是一组勾股数．知3－讲2．判断勾股数的方法：
(1)确定是否是三个正整数；
(2)确定最大数；
(3)计算：看较小两数的平方和是否等于最大数的平方．
3．易错警示：勾股数必须同时满足两个条件：
(1)三个数都是正整数；
(2)两个较小数的平方和等于最大数的平方．知3－讲导引：根据勾股数的定义：满足a2＋b2＝c2的三个正整数
a，b，c称为勾股数．A.62＋72≠82，不能构成勾
股数，故错误；B.52＋82≠132，不能构成勾股数，
故错误；C.1.5和2.5不是整数，所以不能构成勾股
数，故错误；D.212＋282＝352，能构成勾股数，故
正确．故选D.例4 下面四组数中是勾股数的一组是( )
A．6，7，8 B．5，8，13
C．1.5，2，2.5 D．21，28，35D知3－讲 确定勾股数的方法：首先看这三个数是否是正整
数；然后看较小两个数的平方和是否等于最大数的平
方，记住常见的勾股数(3，4，5；5，12，13；8，15，
17；7，24，25)可以提高解题速度．1 若直角三角形的三边长为三个连续的偶数，则它
的三边长分别是( )
A．3，4，5 B．6，8，10
C．3，4，6 D．4，6，8知3－练2 下面几组数中，为勾股数的一组是( )
A．4，5，6 B．12，16，20
C．－10，24，26 D．2.4，4.5，5.1
3 下列几组数：①9，12，15；②8，15，17；③7，
24，25；④n2－1，2n，n2＋1(n是大于1的整数),
其中是勾股数的有( )
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组知3－练