17.2.2 勾股定理及其逆定理的应用课件
文档属性
| 名称 | 17.2.2 勾股定理及其逆定理的应用课件 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 223.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2017-02-20 16:02:30 | ||
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文档简介
课件19张PPT。第十七章 勾股定理17.2 勾股定理的逆定理第2课时 勾股定理及其逆定理
的应用名师点金勾股定理及其逆定理的应用：
单一应用：先由勾股定理的逆定理得出直角三角形，再
求这个直角三角形的角和面积；
综合应用：先由勾股定理求出三角形的边长，再由勾股
定理的逆定理确定三角形的形状，进而解决其他问题；
逆向应用：如果一个三角形两条较小边长的平方和不等于最大边长的平方，那么这个三角形不是直角三角形．1类型勾股定理的验证1. 一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了一
种新的验证勾股定理的方法．如图，火柴盒的一个侧
面四边形ABCD倒下到四边形AB′C′D′的位置，连接
CC′，设AB＝a，BC＝b，AC＝c.请利用四边形
BCC′D′的面积证明勾股
定理：a2＋b2＝c2.由题易知Rt△C′D′A≌Rt△ABC，
∴∠C′AD′＝∠ACB.
又∵∠ACB＋∠BAC＝90°，
∴∠BAC＋∠C′AD′＝90°.
∴∠CAC′＝90°.
∵S梯形BCC′D′＝SRt△ABC＋SRt△AC′D′＋SRt△CAC′，
∴ (a＋b)(a＋b)＝ ab＋ ab＋ c2.
∴(a＋b)2＝2ab＋c2.
∴a2＋b2＝c2.证明：2勾股定理在折叠中的应用类型2．(2015·泰州)如图，长方形ABCD中，AB＝8，BC＝6，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至△EBP，PE，BE分别与CD相交于点O，G，且OE＝OD，求AP的长．∵四边形ABCD是长方形，
∴∠D＝∠A＝∠C＝90°，
AD＝BC＝6，CD＝AB＝8.
根据题意得△ABP≌△EBP，
∴EP＝AP，∠E＝∠A＝90°，BE＝AB＝8.解： 在△ODP和△OEG中，
∴△ODP≌△OEG.
∴OP＝OG，PD＝GE.
∴DG＝EP.
设AP＝EP＝x，则GE＝PD＝6－x，DG＝x，
∴CG＝8－x，BG＝8－(6－x)＝2＋x.
根据勾股定理得BC2＋CG2＝BG2.
即62＋(8－x)2＝(x＋2)2，解得x＝4.8，∴AP＝4.8.解： 3勾股定理在最短路径中的应用类型3．(2015·资阳)如图，透明的圆柱形容器(容器厚度忽略不计)的高为12 cm，底面周长为10 cm，在容器内壁离容器底部3 cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿
3 cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒
需爬行的最短路径的长是( )
A．13 cm B．2 cm
C. cm D．2 cmA4勾股定理的逆定理在判断方向中的应用4．如图，小明的家位于一条南北走向的河流MN的东侧A处，某一天小明从家出发沿南偏西30°方向走60 m到达河边B处取水，然后
沿另一方向走80 m到达菜地C
处浇水，最后沿第三方向走
100 m回到家A处．问小明在
河边B处取水后是沿哪个方向
行走的？并说明理由．类型小明在河边B处取水后是沿南偏东60°方向行走的．
理由如下：
∵AB＝60 m，BC＝80 m，AC＝100 m，
∴AB2＋BC2＝AC2.
∴∠ABC＝90°.
又∵AD∥NM，
∴∠NBA＝∠BAD＝30°.
∴∠MBC＝180°－90°－30°＝60°.
∴小明在河边B处取水后是沿南偏东60°方向行走的．解：5勾股定理的逆定理在判断构成直角三角形条件中的应用5．如图，在4×3的正方形网格中有从点A出发的四条线段AB，AC，AD，AE，它们的另一个端点B，C，D，E均在格点(正方形网格的交点)上．
(1)若每个正方形的边长都是1，分别求出AB，AC，AD，AE的长度(结果保留根号)．
(2)在AB，AC，AD，AE四条线段中，是否存在三条线段，使它们能构成直角三角形？如果存在，请指出是哪三条线段，并说明理由．类型(1)AB＝ AC＝ AD＝2 AE＝2
(2)存在，线段AB，AC，AD可以构成直角三角形．
理由：
∵AB＝ AD＝2 AC＝
∴AD2＋AB2＝AC2，
由勾股定理的逆定理可知，
线段AB，AC，AD
可以构成直角三角形．解：6勾股定理与它的逆定理的综合应用6．如图，点E是正方形ABCD内一点，连接AE，BE，CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置．若AE＝1，BE＝2，CE＝3，求∠BE′C的度数．类型如图，连接EE′.
由题意可知△ABE≌△CBE′，
∴E′C＝AE＝1，BE′＝BE＝2，
∠ABE＝∠CBE′.
又∵∠ABE＋∠EBC＝90°，
∴∠CBE′＋∠EBC＝90°，
即∠EBE′＝90°，则由勾股定理，得EE′＝2 .
在△EE′C中，EE′＝2 ，E′C＝1，EC＝3.
由勾股定理的逆定理可知∠EE′C＝90°.
∵BE＝BE′，∠EBE′＝90°，
∴∠BE′E＝ ＝45°，
∴∠BE′C＝∠BE′E＋∠EE′C＝45°＋90°＝135°.解：7勾股定理及其逆定理在网格中的应用7．如图是由边长为1的小正方形组成的网格，点A，B，C，D均在格点上．
(1)求四边形ABCD的面积．
(2)你能判断AD与CD的位置关
系吗？请说出你的理由．类型(1)如图，将四边形ABCD分成4个小直角三角形，发现
每个小直角三角形的面积恰好是其所在长方形(或正
方形)面积的一半，因此四边形ABCD的面积为整个
网格面积的一半，即 ×52＝12.5.
(2)AD⊥CD.理由如下：
在△ADC中，因为AD2＝12＋22＝5，
CD2＝22＋42＝20，AC2＝52＝25，
所以AD2＋CD2＝AC2，
即△ADC是直角三角形，且AD⊥CD.解：8勾股定理的逆定理的实际应用8．如图，南北方向PQ以东为我国领海，以西为公海.晚上10：28，我边防反偷渡巡逻101号艇在A处发现其正西方向的C处有一艘可疑船只正向我国领海靠近，便立即通知正在PQ上B处巡逻的103号艇注意其动向．经检测，AC＝10 n mile，AB＝6 n mile，BC＝8 n mile.若该可疑船只的速度为12.8 n mile/h，则该可疑船只最早何时进入我国领海？类型∵AB2＋BC2＝62＋82＝100＝102＝AC2，
∴△ABC为直角三角形，
且∠ABC＝90°.
∴S△ABC＝ AB·BC，
∴ AB·BC＝ AC·BD，即
∴ ×10·BD＝ ×6×8，
解得BD＝4.8.解：在Rt△BCD中，CD2＝BC2－BD2＝82－4.82，
解得CD＝6.4.
∴该可疑船只从被发现到进入我国领海的最短航
行时间为6.4÷12.8＝0.5(h)．
∴该可疑船只最早进入我国领海的时间为晚上10：58.
点拨：
解此类问题，需要先将实际问题抽象成数学问题，然后选择相应的数学知识解决问题．
的应用名师点金勾股定理及其逆定理的应用：
单一应用：先由勾股定理的逆定理得出直角三角形，再
求这个直角三角形的角和面积；
综合应用：先由勾股定理求出三角形的边长，再由勾股
定理的逆定理确定三角形的形状，进而解决其他问题；
逆向应用：如果一个三角形两条较小边长的平方和不等于最大边长的平方，那么这个三角形不是直角三角形．1类型勾股定理的验证1. 一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了一
种新的验证勾股定理的方法．如图，火柴盒的一个侧
面四边形ABCD倒下到四边形AB′C′D′的位置，连接
CC′，设AB＝a，BC＝b，AC＝c.请利用四边形
BCC′D′的面积证明勾股
定理：a2＋b2＝c2.由题易知Rt△C′D′A≌Rt△ABC，
∴∠C′AD′＝∠ACB.
又∵∠ACB＋∠BAC＝90°，
∴∠BAC＋∠C′AD′＝90°.
∴∠CAC′＝90°.
∵S梯形BCC′D′＝SRt△ABC＋SRt△AC′D′＋SRt△CAC′，
∴ (a＋b)(a＋b)＝ ab＋ ab＋ c2.
∴(a＋b)2＝2ab＋c2.
∴a2＋b2＝c2.证明：2勾股定理在折叠中的应用类型2．(2015·泰州)如图，长方形ABCD中，AB＝8，BC＝6，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至△EBP，PE，BE分别与CD相交于点O，G，且OE＝OD，求AP的长．∵四边形ABCD是长方形，
∴∠D＝∠A＝∠C＝90°，
AD＝BC＝6，CD＝AB＝8.
根据题意得△ABP≌△EBP，
∴EP＝AP，∠E＝∠A＝90°，BE＝AB＝8.解： 在△ODP和△OEG中，
∴△ODP≌△OEG.
∴OP＝OG，PD＝GE.
∴DG＝EP.
设AP＝EP＝x，则GE＝PD＝6－x，DG＝x，
∴CG＝8－x，BG＝8－(6－x)＝2＋x.
根据勾股定理得BC2＋CG2＝BG2.
即62＋(8－x)2＝(x＋2)2，解得x＝4.8，∴AP＝4.8.解： 3勾股定理在最短路径中的应用类型3．(2015·资阳)如图，透明的圆柱形容器(容器厚度忽略不计)的高为12 cm，底面周长为10 cm，在容器内壁离容器底部3 cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿
3 cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒
需爬行的最短路径的长是( )
A．13 cm B．2 cm
C. cm D．2 cmA4勾股定理的逆定理在判断方向中的应用4．如图，小明的家位于一条南北走向的河流MN的东侧A处，某一天小明从家出发沿南偏西30°方向走60 m到达河边B处取水，然后
沿另一方向走80 m到达菜地C
处浇水，最后沿第三方向走
100 m回到家A处．问小明在
河边B处取水后是沿哪个方向
行走的？并说明理由．类型小明在河边B处取水后是沿南偏东60°方向行走的．
理由如下：
∵AB＝60 m，BC＝80 m，AC＝100 m，
∴AB2＋BC2＝AC2.
∴∠ABC＝90°.
又∵AD∥NM，
∴∠NBA＝∠BAD＝30°.
∴∠MBC＝180°－90°－30°＝60°.
∴小明在河边B处取水后是沿南偏东60°方向行走的．解：5勾股定理的逆定理在判断构成直角三角形条件中的应用5．如图，在4×3的正方形网格中有从点A出发的四条线段AB，AC，AD，AE，它们的另一个端点B，C，D，E均在格点(正方形网格的交点)上．
(1)若每个正方形的边长都是1，分别求出AB，AC，AD，AE的长度(结果保留根号)．
(2)在AB，AC，AD，AE四条线段中，是否存在三条线段，使它们能构成直角三角形？如果存在，请指出是哪三条线段，并说明理由．类型(1)AB＝ AC＝ AD＝2 AE＝2
(2)存在，线段AB，AC，AD可以构成直角三角形．
理由：
∵AB＝ AD＝2 AC＝
∴AD2＋AB2＝AC2，
由勾股定理的逆定理可知，
线段AB，AC，AD
可以构成直角三角形．解：6勾股定理与它的逆定理的综合应用6．如图，点E是正方形ABCD内一点，连接AE，BE，CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置．若AE＝1，BE＝2，CE＝3，求∠BE′C的度数．类型如图，连接EE′.
由题意可知△ABE≌△CBE′，
∴E′C＝AE＝1，BE′＝BE＝2，
∠ABE＝∠CBE′.
又∵∠ABE＋∠EBC＝90°，
∴∠CBE′＋∠EBC＝90°，
即∠EBE′＝90°，则由勾股定理，得EE′＝2 .
在△EE′C中，EE′＝2 ，E′C＝1，EC＝3.
由勾股定理的逆定理可知∠EE′C＝90°.
∵BE＝BE′，∠EBE′＝90°，
∴∠BE′E＝ ＝45°，
∴∠BE′C＝∠BE′E＋∠EE′C＝45°＋90°＝135°.解：7勾股定理及其逆定理在网格中的应用7．如图是由边长为1的小正方形组成的网格，点A，B，C，D均在格点上．
(1)求四边形ABCD的面积．
(2)你能判断AD与CD的位置关
系吗？请说出你的理由．类型(1)如图，将四边形ABCD分成4个小直角三角形，发现
每个小直角三角形的面积恰好是其所在长方形(或正
方形)面积的一半，因此四边形ABCD的面积为整个
网格面积的一半，即 ×52＝12.5.
(2)AD⊥CD.理由如下：
在△ADC中，因为AD2＝12＋22＝5，
CD2＝22＋42＝20，AC2＝52＝25，
所以AD2＋CD2＝AC2，
即△ADC是直角三角形，且AD⊥CD.解：8勾股定理的逆定理的实际应用8．如图，南北方向PQ以东为我国领海，以西为公海.晚上10：28，我边防反偷渡巡逻101号艇在A处发现其正西方向的C处有一艘可疑船只正向我国领海靠近，便立即通知正在PQ上B处巡逻的103号艇注意其动向．经检测，AC＝10 n mile，AB＝6 n mile，BC＝8 n mile.若该可疑船只的速度为12.8 n mile/h，则该可疑船只最早何时进入我国领海？类型∵AB2＋BC2＝62＋82＝100＝102＝AC2，
∴△ABC为直角三角形，
且∠ABC＝90°.
∴S△ABC＝ AB·BC，
∴ AB·BC＝ AC·BD，即
∴ ×10·BD＝ ×6×8，
解得BD＝4.8.解：在Rt△BCD中，CD2＝BC2－BD2＝82－4.82，
解得CD＝6.4.
∴该可疑船只从被发现到进入我国领海的最短航
行时间为6.4÷12.8＝0.5(h)．
∴该可疑船只最早进入我国领海的时间为晚上10：58.
点拨：
解此类问题，需要先将实际问题抽象成数学问题，然后选择相应的数学知识解决问题．