18.1.1 平行四边形的对角线性质 课件

课件25张PPT。第十八章 平行四边形18.1 平行四边形第2课时 平行四边形的
对角线性质1课堂讲解平行四边形的性质——对角线互相平分
平行四边形的面积2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升1知识点平行四边形的性质——对角线互相平分探究 如图 ，在?ABCD 中，连接 AC，BD，
并设它们相交于点O, OA与OC，OB与OD
有什么关系？你能证明发现的结论吗？
我们猜想，在?ABCD中，OA=OC，OB=OD.
与证明平行四边形的对边相等、对角相等的方法类
似，我们也可以通过三角形全等证明这个猜想.请你结合
下页图完成证明. 知1－导知1－导由此我们又得到平行四边形的一个性质：
平行四边形的对角线互相平分对角线的性质：平行四边形的对角线互相平分．
数学表达式：如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，
对角线AC，BD相交于点O，
∴OA＝OC，OB＝OD.知1－讲拓展：(1)平行四边形的两条对角线把它分
割成四个面积相等的三角形；
数学表达式：如图，∵四边形ABCD是平行
四边形，对角线AC，BD相交于点O，
∴S△ABO＝S△BCO＝S△CDO＝S△ADO.
(2)若一条直线过平行四边形两条对角线的交点，则该直线平
分平行四边形的周长和面积．
数学表达式：如图，∵直线EF过平行四边形ABCD两对角线
的交点O，∴AE＋AB＋BF＝FC＋CD＋DE＝ (AB＋BC
＋CD＋DA)．S四边形ABFE＝S四边形FCDE＝ S?ABCD.知1－讲例1 如图，已知?ABCD的周长是60，对角线AC，
BD相交于点O.若△AOB的周长比△BOC的周
长长8，求这个平行四边形各边的长．知1－讲由平行四边形对边相等知，
2AB＋2BC＝60，
所以AB＋BC＝30.
又由△AOB的周长比△BOC的周长长8，
知AB－BC＝8，联立以上两式，即可求出各边长． 导引：知1－讲∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AB＝CD，AD＝BC.
∵AB＋BC＋CD＋DA＝60，
OA＋AB＋OB－(OB＋BC＋OC)＝8，
∴AB＋BC＝30，AB－BC＝8.
∴AB＝CD＝19，BC＝AD＝11.
即这个平行四边形各边长分别为19，11，19，11.解：知1－讲 在应用平行四边形的性质时，我们应从三个方面去
考虑：从边、角、对角线看它们的性质；解本例时，我
们从“平行四边形的对角线互相平分”中得出“平行四边
形被它的两条对角线分成四个小三角形，相邻两个三角
形的周长之差等于平行四边形的两邻边之差”；熟记这些
结论，能为计算带来很多方便．1 如图，在?ABCD中，BC=10，AC=8，BD=14.
△AOD 的周长是多少?△ABC与△DBC的周长
哪个长？长多少？知1－练(中考·南宁)如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3 cm，BC＝5 cm，对角线AC，BD相交于点O，则
OA的取值范围是(　　)
A．2 cm＜OA＜5 cm
B．2 cm＜OA＜8 cm
C．1 cm＜OA＜4 cm
D．3 cm＜OA＜8 cm知1－练3 (2016·丽水)如图，?ABCD的对角线AC，BD交于点
O，已知AD＝8，BD＝12，AC＝6，则△OBC的周
长为(　　)
A．13
B．17
C．20
D．26知1－练知1－讲例2 如图，已知?ABCD与?EBFD的顶点A，E，F，C
在一条直线上，求证：AE＝CF.平行四边形的性质提供了边的平行
与相等，角的相等与互补，对角线
的平分，当所要证明的结论中的线
段在对角线上时，往往利用平行四边形的对角
线互相平分这一性质．因此本例要证对角线上
的AE＝CF，可考虑利用对角线互相平分这一
性质，先连接BD交AC于点O，再进行证明．导引：知1－讲如图，连接BD交AC于点O.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC(平行四边形的对角线互相平分)．
∵四边形EBFD是平行四边形，
∴OE＝OF(平行四边形的对角线互相平分)，
∴OA－OE＝OC－OF，即AE＝CF(等式的性质)．证明：知1－讲 本例易受全等三角形思维定式的影响．欲证的两
线段相等且又属于不同的三角形，习惯上就联想到证
这两个三角形全等，这样虽然能达到证明的目的，却
忽视了平行四边形特有的性质，易走弯路．因此在解
决平行四边形的有关问题中，应注意运用平行四边形
的性质．1 如图， ? ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF
过点O且与AB，CD分别相交于点E，F.
求证OE=OF.知1－练知1－练2 (2015·常州)如图，?ABCD的对角线AC，BD相交
于点O，则下列说法一定正确的是(　　)
A．AO＝OD B．AO⊥OD
C．AO＝OC D．AO⊥AB
3 (中考·河南)如图，?ABCD的对角线AC与BD相交
于点O，AB⊥AC.若AB＝4，AC＝6，则BD的长
是(　　)
A．8 B．9
C．10 D．112知识点平行四边形的面积知2－导 在平行四边形中，从一条边上的任意一点，向对边
画垂线，这点与垂足间的距离(或从这点到对边垂线段的
长，或者说这条边和对边的距离)，叫做以这条边为底的
平行四边形的高．这里所说的“底”是相对高而言的．在
平行四边形中，有时高是指垂线段本身，如作平行四边
形的高，就是指作垂线段．所以平行四边形的高，在作
图时一般是指垂线段本身．在进行计算时，它的意义是
距离，即长度．知2－导平行四边形的面积等于它的底和高的积，即
S?ABCD ＝a·h．其中a可以是平行四边形的任何一边，
h必须是a边与其对边的距离，即对应的高，如图(1).
要避免学生发生如图(2)的错误．为了区别，有时也可
以把高记成ha、hAB，表明它们所对应的底是a或AB．知2－讲1．面积公式：平行四边形的面积＝底×高(底为平行四
边形的任意一条边，高为这条边与其对边间的距离)．
2．等底等高的平行四边形的面积相等．
要点精析：
(1)求面积时，底和高一定要对应，必须是底边上的高；
(2)等底等高的平行四边形与三角形面积间的关系：
等底等高的三角形面积＝等底等高的平行四边形面积
的一半．知2－讲例3 如图，在?ABCD中，AB=10，AD=8，AC⊥BC.
求BC，CD，AC，OA的长，以及?ABCD的面积. ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=8， CD=AB=10.
∵AC⊥BC，∴△ABC是直角三角形.
根据勾股定理，
又 OA=OC，∴OA= AC=3，
S?ABCD=BC ? AC=8×6=48.解：知2－讲 求平行四边形的面积时，根据平行四边形的面积
公式，要知道平行四边形的一边长及这边上的高．平
行四边形的高不一定是过顶点的垂线段，因为平行线
间的距离处处相等．1 〈本溪〉如图，在?ABCD中，AB＝4，BC＝6，
∠B＝30°，则此平行四边形的面积是(　　)
A. 6　　　B．12　　　C．18　　　D．24知2－练2 将一张平行四边形的纸片折一次，使得折痕平分这个
平行四边形的面积．则这样的折纸方法共有(　　)
A．1种 B．2种 C．4种 D．无数种
3 如图，在平行四边形ABCD中，点A1，A2，A3，A4和
C1，C2，C3，C4分别是AB和CD的五等分点，点B1，
B2和D1，D2分别是BC和DA的三等分点，已知四边形
A4B2C4D2的面积为1，则平行四边形
ABCD的面积为(　　)
A．2 B.
C. D．15知2－练 平行四边形的对角线互相平分．
几何语言：如图
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO．BO=DO．
(1)对角线互相平分是平行四边形所特有的性质；
(2)在平行四边形中证明线段相等，一般都与边和对角
线有关系．而在证明两线段互相平分时，也常常要
先证明由这两条对角线所组成的四边形是平行四边形．