18.1.2 平行四边形的判定 课件
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课件38张PPT。第十八章 平行四边形18.1 平行四边形第3课时 平行四边形
的判定1课堂讲解由两组对边分别平行或相等判定平行四边形
由两组对角分别相等判定平行四边形
由对角线互相平分判定平行四边形
由一组对边平行且相等判定平行四边形2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升老板一装潢店要招聘店员，老板出了这样一道考题：“一顾客要一张平行四边形的玻璃，你利用工具度量哪些数据可说明这张玻璃符合顾客要求.”应聘者如何说明下图是平行四边形？
1知识点由两组对边分别平行或相等判定平行四边形从边看：
方法一：两组对边分别平行的四边形是
平行四边形；(定义法)
数学表达式：如图，∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形；
方法二：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
数学表达式：如图，∵AB＝CD，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形；知1－讲要证四边形BFDE是平行四边形，
根据平行四边形的定义可证得DF∥BE，因此可采
用判定方法一即定义法证明DE∥FB即可．例1 如图所示，已知四边形ABCD是平行四边形，DE
平分∠ADC，交CB的延长线于点E，BF平分
∠ABC，交AD的延长线于点F.
求证：四边形BFDE是平行四
边形．知1－讲导引： ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ADC＝∠ABC，AD∥CB. ∴DF∥BE.
∵DE平分∠ADC，BF平分∠ABC，
∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4.
∵AD∥BC，∴∠1＝∠E. ∴∠E＝∠3.
∴DE∥FB.
∴四边形BFDE是平行四边形．(两组对边分别
平行的四边形是平行四边形)知1－讲证明：知1－讲 平行四边形的定义是判定平行四边形的根本方
法，也是其他判定方法的基础．当题目中出现平行
的线段时，往往借助判定方法一来帮助我们对四边
形加以判断．1 如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，
且ED＝EB.延长ED到F，使ED＝DF，连接FC.
证明：四边形AEFC是平行四边形．知1－练2 如图所示，在平行四边形ABCD中，EF∥AD，图
中共有（ ）个平行四边形.
A.1 B.2 C.3 D.4知1－练知1－讲例2 如图，分别以△ABC的三边为一边，在BC的同侧
作等边三角形ABD，等边三角形BCE，等边三角
形ACF，连接DE，EF.
求证：四边形ADEF是平行四边形．由等边三角形的性质可以得到线
段相等，角相等，进而可以通过全等三角形证
明四边形ADEF的两组对边分别相等，最后根
据两组对边分别相等的四边形是平行四边形进
行判定．导引：知1－讲∵△ABD、△BCE、△ACF都为等边三角形，
∴DB＝AB＝AD，BE＝BC，AC＝AF，
∠DBA＝60°，∠EBC＝60°.
∴∠DBE＝60°－∠EBA，∠ABC＝60°－∠EBA，
∴∠DBE＝∠ABC，∴△DBE≌△ABC，
∴DE＝AC.
又∵AC＝AF，∴AF＝DE.
同理可证：△ABC≌△FEC，
∴AB＝FE，∴FE＝AD，
∴四边形ADEF是平行四边形．证明：知1－讲 根据等边三角形的性质可以得到线段相等，角相
等，进而通过证明三角形全等得到四边形ADEF的两
组对边分别相等，根据两组对边分别相等的四边形是
平行四边形得证．1 如图，在Rt△MON中，∠MON＝90°，试说明
四边形PONM是平行四边形．知1－练知1－练2 四边形的四条边长分别是a，b，c，d，其中a，b为
一组对边长，c，d为另一组对边长且a2＋b2＋c2＋d2
＝2ab＋2cd，则这个四边形是( )
A．任意四边形
B．平行四边形
C．对角线相等的四边形
D．对角线垂直的四边形2知识点由两组对角分别相等判定平行四边形知2－讲 几何语言： ∵∠ABC=∠ADC，∠BAD=∠BCD，
∴四边形ABCD是平行四边形．（如图所示）
注意：注意这里的两个定理的前提都是四边形，条
件一个是两组对边分别平行;另一个是两组对角分别相等.知2－讲例3 如图，在?ABCD中，BE平分∠ABC，交AD于
点E，DF平分∠ADC，交BC于点F，那么四边
形BFDE是平行四边形吗？为什么？利用平行四边形对角相等
的性质可得∠ABC＝
∠ADC，∠A＝∠C，然后
再依据角平分线的定
义和三角形外角的性质证出四边形BFDE的两组
对角分别相等，于是可得出结论．导引：知2－讲四边形BFDE是平行四边形．
理由：在?ABCD中，∠ABC＝∠ADC，∠A＝∠C.
∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，
∴∠ABE＝∠CBE＝ ∠ABC，
∠CDF＝∠ADF＝ ∠ADC，
∴∠CDF＝∠ADF＝∠ABE＝∠CBE.
∵∠DFB＝∠C＋∠CDF，∠BED＝∠ABE＋∠A，
∴∠DFB＝∠BED，∴四边形BFDE是平行四边形．解：知2－讲 当已知条件出现所要说明的四边形的角时，
可选择“两组对角分别相等的四边形是平行四边
形”来判定．1 将两块全等的含30°角的三角尺如图①摆放在一起．
(1)四边形ABCD是平行四边形吗？说出你的结论和
理由；
(2)如图②，将三角尺BCD沿射线BD的方向平移到
Rt△B1C1D1的位置，连接BC1，AD1，四边形
ABC1D1是平行四边形吗？说出你的结论和理由．知2－练2 下列给出的条件中，能判定四边形ABCD是平行
四边形的是( )
A．AB∥CD，AD＝BC
B．AB＝AD，CB＝CD
C．AB＝CD，AD＝BC
D．∠B＝∠C，∠A＝∠D知2－练3知识点由对角线互相平分判定平行四边形知3－导 过前面的学习，我们知道，平行四边形的对边相等、
对角相等、对角线互相平分.反过来，对边相等，或对角
相等，或对角线互相平分的四边形是平行四边形吗？也
就是说，平行四边形的性质定理的逆命题成立吗？
下面我们以“对角线互相平分的四边形是平行四边
形”为例，通过三角形 全等进行证明.思考知3－导 如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，
且OA=OC，OB=OD.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
∵OA=OC，OD=OB,
∠AOD=∠COB，
∴△ AOD≌△COB.
∴∠OAD=∠OCB.
∴AD//BC.
同理 AB//DC.
∴四边形ABCD是平行四边形. 证明：知3－讲从对角线看：
对角线互相平分的四边形是平行四边形．
数学表达式：如图，∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形．知3－讲∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AO=CO，BO=DO.
∵ AE=CF，
∴AO-AE=CO-CF，即EO=FO.
又 BO=DO，
∴四边形BFDE是平行四边形.例4 如图， ? ABCD的对角线AC，BD 相交于点O，
E，F是AC上的两点，并且AE=CF.
求证：四边形BFDE是平行四边形.证明：知3－讲 从对角线方面判断四边形的形状要注意是对角线
互相平分，即交点既是第一条对角线的中点，又是第
二条对角线的中点.1 已知：如图，?ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
在AC，BD上分别取点E，G和M，N，使AE＝CG，
BM＝DN.
请说明四边形EMGN是平行四边形．知3－练2 (2015·牡丹江)如图，四边形ABCD的对角线相交于
点O，AO＝CO，请添加一个条件______(只添一个
即可)，使四边形ABCD是平行四边形．知3－练4知识点由一组对边平行且相等判定平行四边形知4－导 我们知道，两组对边分别平行或相等的四边形是平
行四边形.如果只考虑四边形的一组对边，它们满足什么
条件时这个四边形能成为平行四边形呢？
我们知道，如果一个四边形是平行四边形，那么它
的任意一组对边平行且相等.反过来，一组对边平行且相
等的四边形是平行四边形吗？
我们猜想这个结论正确，下面进行证明.思考知4－导 如图，在四边形ABCD中， AB//CD，且AB=CD.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
连接AC，
∵AB//CD,
∴∠1=∠2.
又AB=CD，AC=CA.
∴△ ABC≌△CDA.
∴BC=DA.
∴四边形ABCD两组对边分别相等，它是平行四
边形. 证明：知4－导 于是我们又得到平行四边形的一个判断定理：
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.知4－讲一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
数学表达式：如图，∵AB CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．知4－讲∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB=CD，EB//FD.
又EB= AB，FD= CD，
∴ EB=FD.
∴四边形EBFD是平行四边形.例5 如图，在?ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点.
求证：四边形EBFD是平行四边形.证明：知4－讲 要证四边形是平行四边形，已知有一组对边平行，
联想的思路有两种：一是证明另一组对边平行；二是
证明平行的这组对边相等．而证明边相等要三角形全
等这条思路较常见．1 〈凉山州〉如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜
边AB向外作等边△ACD，等边△ABE.已知∠BAC
＝30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF.
(1)试说明AC＝EF；
(2)求证：四边形ADFE是平行四边形．知4－练2 (2016·湘西州)下列说法错误的是( )
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
D．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是
平行四边形知4－练在四边形ABCD中，AD＝BC，若四边形ABCD是
平行四边形，则还应满足( )
A．∠A＋∠C＝180°
B．∠B＋∠D＝180°
C．∠A＋∠B＝180°
D．∠A＋∠D＝180°知4－练 平行四边形的判定方法：如图：
(1)定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
几何语言：∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
几何语言： ∵AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
(3)对角线互相平分的四边形是平行四边形．
几何语言： ∵AO=CO，BO=DO，
∴四边形ABCD是平行四边形．(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
几何语言： ∵∠ABC=∠ADC，∠BAD=∠BCD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
(5)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
几何语言(如图)：
∵AB∥CD，AB=GD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
的判定1课堂讲解由两组对边分别平行或相等判定平行四边形
由两组对角分别相等判定平行四边形
由对角线互相平分判定平行四边形
由一组对边平行且相等判定平行四边形2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升老板一装潢店要招聘店员，老板出了这样一道考题：“一顾客要一张平行四边形的玻璃，你利用工具度量哪些数据可说明这张玻璃符合顾客要求.”应聘者如何说明下图是平行四边形？
1知识点由两组对边分别平行或相等判定平行四边形从边看：
方法一：两组对边分别平行的四边形是
平行四边形；(定义法)
数学表达式：如图，∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形；
方法二：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
数学表达式：如图，∵AB＝CD，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形；知1－讲要证四边形BFDE是平行四边形，
根据平行四边形的定义可证得DF∥BE，因此可采
用判定方法一即定义法证明DE∥FB即可．例1 如图所示，已知四边形ABCD是平行四边形，DE
平分∠ADC，交CB的延长线于点E，BF平分
∠ABC，交AD的延长线于点F.
求证：四边形BFDE是平行四
边形．知1－讲导引： ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ADC＝∠ABC，AD∥CB. ∴DF∥BE.
∵DE平分∠ADC，BF平分∠ABC，
∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4.
∵AD∥BC，∴∠1＝∠E. ∴∠E＝∠3.
∴DE∥FB.
∴四边形BFDE是平行四边形．(两组对边分别
平行的四边形是平行四边形)知1－讲证明：知1－讲 平行四边形的定义是判定平行四边形的根本方
法，也是其他判定方法的基础．当题目中出现平行
的线段时，往往借助判定方法一来帮助我们对四边
形加以判断．1 如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，
且ED＝EB.延长ED到F，使ED＝DF，连接FC.
证明：四边形AEFC是平行四边形．知1－练2 如图所示，在平行四边形ABCD中，EF∥AD，图
中共有（ ）个平行四边形.
A.1 B.2 C.3 D.4知1－练知1－讲例2 如图，分别以△ABC的三边为一边，在BC的同侧
作等边三角形ABD，等边三角形BCE，等边三角
形ACF，连接DE，EF.
求证：四边形ADEF是平行四边形．由等边三角形的性质可以得到线
段相等，角相等，进而可以通过全等三角形证
明四边形ADEF的两组对边分别相等，最后根
据两组对边分别相等的四边形是平行四边形进
行判定．导引：知1－讲∵△ABD、△BCE、△ACF都为等边三角形，
∴DB＝AB＝AD，BE＝BC，AC＝AF，
∠DBA＝60°，∠EBC＝60°.
∴∠DBE＝60°－∠EBA，∠ABC＝60°－∠EBA，
∴∠DBE＝∠ABC，∴△DBE≌△ABC，
∴DE＝AC.
又∵AC＝AF，∴AF＝DE.
同理可证：△ABC≌△FEC，
∴AB＝FE，∴FE＝AD，
∴四边形ADEF是平行四边形．证明：知1－讲 根据等边三角形的性质可以得到线段相等，角相
等，进而通过证明三角形全等得到四边形ADEF的两
组对边分别相等，根据两组对边分别相等的四边形是
平行四边形得证．1 如图，在Rt△MON中，∠MON＝90°，试说明
四边形PONM是平行四边形．知1－练知1－练2 四边形的四条边长分别是a，b，c，d，其中a，b为
一组对边长，c，d为另一组对边长且a2＋b2＋c2＋d2
＝2ab＋2cd，则这个四边形是( )
A．任意四边形
B．平行四边形
C．对角线相等的四边形
D．对角线垂直的四边形2知识点由两组对角分别相等判定平行四边形知2－讲 几何语言： ∵∠ABC=∠ADC，∠BAD=∠BCD，
∴四边形ABCD是平行四边形．（如图所示）
注意：注意这里的两个定理的前提都是四边形，条
件一个是两组对边分别平行;另一个是两组对角分别相等.知2－讲例3 如图，在?ABCD中，BE平分∠ABC，交AD于
点E，DF平分∠ADC，交BC于点F，那么四边
形BFDE是平行四边形吗？为什么？利用平行四边形对角相等
的性质可得∠ABC＝
∠ADC，∠A＝∠C，然后
再依据角平分线的定
义和三角形外角的性质证出四边形BFDE的两组
对角分别相等，于是可得出结论．导引：知2－讲四边形BFDE是平行四边形．
理由：在?ABCD中，∠ABC＝∠ADC，∠A＝∠C.
∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，
∴∠ABE＝∠CBE＝ ∠ABC，
∠CDF＝∠ADF＝ ∠ADC，
∴∠CDF＝∠ADF＝∠ABE＝∠CBE.
∵∠DFB＝∠C＋∠CDF，∠BED＝∠ABE＋∠A，
∴∠DFB＝∠BED，∴四边形BFDE是平行四边形．解：知2－讲 当已知条件出现所要说明的四边形的角时，
可选择“两组对角分别相等的四边形是平行四边
形”来判定．1 将两块全等的含30°角的三角尺如图①摆放在一起．
(1)四边形ABCD是平行四边形吗？说出你的结论和
理由；
(2)如图②，将三角尺BCD沿射线BD的方向平移到
Rt△B1C1D1的位置，连接BC1，AD1，四边形
ABC1D1是平行四边形吗？说出你的结论和理由．知2－练2 下列给出的条件中，能判定四边形ABCD是平行
四边形的是( )
A．AB∥CD，AD＝BC
B．AB＝AD，CB＝CD
C．AB＝CD，AD＝BC
D．∠B＝∠C，∠A＝∠D知2－练3知识点由对角线互相平分判定平行四边形知3－导 过前面的学习，我们知道，平行四边形的对边相等、
对角相等、对角线互相平分.反过来，对边相等，或对角
相等，或对角线互相平分的四边形是平行四边形吗？也
就是说，平行四边形的性质定理的逆命题成立吗？
下面我们以“对角线互相平分的四边形是平行四边
形”为例，通过三角形 全等进行证明.思考知3－导 如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，
且OA=OC，OB=OD.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
∵OA=OC，OD=OB,
∠AOD=∠COB，
∴△ AOD≌△COB.
∴∠OAD=∠OCB.
∴AD//BC.
同理 AB//DC.
∴四边形ABCD是平行四边形. 证明：知3－讲从对角线看：
对角线互相平分的四边形是平行四边形．
数学表达式：如图，∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形．知3－讲∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AO=CO，BO=DO.
∵ AE=CF，
∴AO-AE=CO-CF，即EO=FO.
又 BO=DO，
∴四边形BFDE是平行四边形.例4 如图， ? ABCD的对角线AC，BD 相交于点O，
E，F是AC上的两点，并且AE=CF.
求证：四边形BFDE是平行四边形.证明：知3－讲 从对角线方面判断四边形的形状要注意是对角线
互相平分，即交点既是第一条对角线的中点，又是第
二条对角线的中点.1 已知：如图，?ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
在AC，BD上分别取点E，G和M，N，使AE＝CG，
BM＝DN.
请说明四边形EMGN是平行四边形．知3－练2 (2015·牡丹江)如图，四边形ABCD的对角线相交于
点O，AO＝CO，请添加一个条件______(只添一个
即可)，使四边形ABCD是平行四边形．知3－练4知识点由一组对边平行且相等判定平行四边形知4－导 我们知道，两组对边分别平行或相等的四边形是平
行四边形.如果只考虑四边形的一组对边，它们满足什么
条件时这个四边形能成为平行四边形呢？
我们知道，如果一个四边形是平行四边形，那么它
的任意一组对边平行且相等.反过来，一组对边平行且相
等的四边形是平行四边形吗？
我们猜想这个结论正确，下面进行证明.思考知4－导 如图，在四边形ABCD中， AB//CD，且AB=CD.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
连接AC，
∵AB//CD,
∴∠1=∠2.
又AB=CD，AC=CA.
∴△ ABC≌△CDA.
∴BC=DA.
∴四边形ABCD两组对边分别相等，它是平行四
边形. 证明：知4－导 于是我们又得到平行四边形的一个判断定理：
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.知4－讲一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
数学表达式：如图，∵AB CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．知4－讲∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB=CD，EB//FD.
又EB= AB，FD= CD，
∴ EB=FD.
∴四边形EBFD是平行四边形.例5 如图，在?ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点.
求证：四边形EBFD是平行四边形.证明：知4－讲 要证四边形是平行四边形，已知有一组对边平行，
联想的思路有两种：一是证明另一组对边平行；二是
证明平行的这组对边相等．而证明边相等要三角形全
等这条思路较常见．1 〈凉山州〉如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜
边AB向外作等边△ACD，等边△ABE.已知∠BAC
＝30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF.
(1)试说明AC＝EF；
(2)求证：四边形ADFE是平行四边形．知4－练2 (2016·湘西州)下列说法错误的是( )
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
D．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是
平行四边形知4－练在四边形ABCD中，AD＝BC，若四边形ABCD是
平行四边形，则还应满足( )
A．∠A＋∠C＝180°
B．∠B＋∠D＝180°
C．∠A＋∠B＝180°
D．∠A＋∠D＝180°知4－练 平行四边形的判定方法：如图：
(1)定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
几何语言：∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
几何语言： ∵AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
(3)对角线互相平分的四边形是平行四边形．
几何语言： ∵AO=CO，BO=DO，
∴四边形ABCD是平行四边形．(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
几何语言： ∵∠ABC=∠ADC，∠BAD=∠BCD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
(5)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
几何语言(如图)：
∵AB∥CD，AB=GD，
∴四边形ABCD是平行四边形．