18.1.2 三角形的中位线 课件
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课件29张PPT。第十八章 平行四边形18.1 平行四边形第5课时 三角形的中
位线1课堂讲解三角形的中位线性质
三角形中位线在四边形中的应用2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升三角形中的那条红线正好过两边的中点是什么呢！我也不清楚，让我们一起到今天知识海洋中看一看吧！1知识点三角形中位线的性质 前面我们研究平行四边形时，常常把它
分成几个三角形，利用三角形全等的性质研
究平行四边形的有关问题.下面我们利用平行
四边形研究三角形的有关问题.
如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，
连接DE. 像DE这样，连接三角形两边中点的线段叫做
三角形的中位线.知1－导知1－导探究 观察图,你能发现△ABC的中位线DE与边BC的位置关系
吗？度量一下，DE与BC之间有什么数量关系？
我们猜想，DE//BC， DE= BC.下面我们对它进行证明.
如图，D，E分别是△ABC的AB，AC的中点.求证：DE//
BC， DE= BC.
分析：本题既要证明两条线段所在的直线平行，又要证
明其中一条线段的长等于另一条线段长的一半.将DE延长一倍
后，可以将证明DE = BC 转化为证明延长后的线段与BC相
等.又由于E是AC的中点，根据对角线互相平分的四边形是平
行四边形构造一个平行四边形，利用平行四边形的性质进行
证明.知1－导如图，延长DE到点F，使EF=DE，连接FC，
DC，AF.
∵AE=EC，DE=EF，
∴四边形ADCF是平行四边形，
CF DA.
∴CF BD.
∴四边形DBCF是平行四边形，DF BC.
又 DE= DF，
∴ DE//BC，且DE= BC.证明：知1－导 通过上述证明，我们得到三角形的中位线定理：
三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且
等于第三边的一半.1．定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中
位线；
数学表达式：如图，
∵AD＝BD，AE＝EC，
∴DE是△ABC的中位线．
2．中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三
边，并且等于第三边的一半；
数学表达式：如图，∵AD＝BD，AE＝EC，
∴DE∥BC，且DE＝ BC.知1－讲要点精析：
(1)一个三角形有三条中位线；
(2)三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形；
三个面积相等的平行四边形；
(3)三角形的中位线与三角形的中线的区别：三角形的
中线是连接一顶点和它的对边中点的线段，而三角
形的中位线则是连接两边中点的线段．
(4)三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分．知1－讲要点精析：
三角形的中位线定理反映了三角形的中位线与
第三边的双重关系：一是位置关系，可以用来证两
直线平行；二是数量关系，可以用来证线段的倍分
关系．知1－讲例1 如图所示，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD=6，
BD=4，CD=3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、
BD的中点，则四边形EFGH的周长是 ．知1－讲利用勾股定理列式求出BC的长，
再根据三角形的中位线平行于第
三边并且等于第三边的一半求出
EH=FG = AD，
EF=GH = BC，然后代入数据
进行计算即可得解．11分析：知1－讲∵BD⊥CD，BD=4，CD=3，
∴BC
∵E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，
∴EH=FG = AD，EF=GH= BC，
∴四边形EFGH的周长=EH+GH+FG+EF=AD+BC，
又∵AD=6，
∴四边形EFGH的周长=6+5=11．解：知1－讲 本题考查了三角形的中位线定理，勾股定理的
应用，熟记三角形的中位线平行于第三边并且等于
第三边的一半是解题的关键．1 (2016·河南)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，
AC＝8，AB＝10，DE垂直平分AC交AB
于点E，则DE的长为( )
A．6 B．5 C．4 D．3知1－练2 (2015·山西)如图，在△ABC中，点D，E分别是边
AB，BC的中点．若△DBE的周长是6，则△ABC
的周长是( )
A．8 B．10 C．12 D．14知1－练知1－讲例2 如图，已知E为平行四边形ABCD中DC边延长线
上一点，且CE＝DC，连接AE，分别交BC，BD
于点F，G，连接AC交BD于点
O，连接OF. 求证：AB＝2OF.点O是平行四边形两条对角线的
交点，所以点O是线段AC的中点，
要证明AB＝2OF，我们只需证明点F是线段BC
的中点，即证明OF是△ABC的中位线．导引：知1－讲∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD.
∵E为平行四边形ABCD中DC边延长线上一点，
且CE＝DC，
∴AB∥CE，AB＝CE，
∴四边形ABEC是平行四边形，
∴点F是BC的中点．
又∵点O是AC的中点，
∴OF是△ABC的中位线，∴AB＝2OF.证明：知1－讲 证明线段倍分关系的方法：由于三角形的中位线
等于三角形第三边的一半，因此当需要证明某一线段
是另一线段的一半或两倍，且题中出现中点时，常考
虑三角形中位线定理．1 已知：如图，△ABC的中线BD，CE交于点O，F，
G分别是OB，OC的中点．
求证：四边形DEFG是平行四边形．知1－练知1－练2 (2016·株洲)如图，已知四边形ABCD是平行四边形，
对角线AC，BD交于点O，E是BC的中点，连接OE，
以下说法错误的是( )
A．OE＝ DC B．OA＝OC
C．∠BOE＝∠OBA D．∠OBE＝∠OCE知1－练3 (2015·铁岭)如图，点D，E，F分别为△ABC各边中
点，下列说法正确的是( )
A．DE＝DF B．EF＝ AB
C．S△ABD＝S△ACD D．AD平分∠BAC2知识点三角形中位线在四边形中的应用知2－讲欲证MN BC，只需证明MN
是△EBC的中位线即可．而要证得M，N分别为
BE，CE的中点，则可利用E，F分别为AD，BC
的中点证四边形ABFE和四边形EFCD为平行四边
形得到．例3 如图，在?ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，
连接AF，DF分别交BE，CE于点M，N，连接MN.
求证：MN BC.导引：知2－讲如图，连接EF.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD BC.
∵E，F分别是AD，BC的中点，
∴AE＝ AD，BF＝ BC，∴AE BF.
∴四边形ABFE是平行四边形，∴MB＝ME.
同理，四边形EFCD是平行四边形，∴NC＝NE.
∴MN是△EBC的中位线．∴MN BC.证明：知2－讲(1)证明两直线平行的常用方法：
①利用同平行(垂直)于第三条直线；②利用同位角、
内错角相等，同旁内角互补；③利用平行四边形
的性质；④利用三角形的中位线定理．
(2)证明一条线段是另一条线段的2倍的常用方法：
①利用含30°角的直角三角形；②利用平行四边
形的对角线；③利用三角形的中位线定理．1 〈长春〉如图，在?ABCD中，点O是对角线AC，
BD的交点，点E是边CD的中点，点F在BC的延
长线上，且CF＝BC，求证：四边形OCFE是平
行四边形．知2－练2 (中考·黑龙江)如图，在四边形ABCD中，点P是对角
线BD的中点，点E，F分别是AB，CD的中点，AD
＝BC，∠PEF＝30°，则∠PFE的度数是( )
A．15° B．20° C．25° D．30°知2－练3 如图，已知长方形ABCD中，R，P分别是DC，BC
上的点，E，F分别是AP，RP的中点，当P在BC上
从B向C移动而R不动时，下列结论成立的是( )
A．线段EF的长逐渐增大
B．线段EF的长逐渐减小
C．线段EF的长不改变
D．线段EF的长先增大后减小知2－练三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第
三边的一半．几何语言(如图)：
∵DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC．DE= BC．
注意：
(1)位置关系：平行于第三边，
(2)数量关系：等于第三边的一半拓展：
(1)在三角形中位线定理中要特别注意，三角形的中位
线平行的是三角形的“第三边”，而不是“底边”，
在三角形中，只有等腰三角形有底边．而一般的三
角形并没有底边．
(2)三角形的中位线定理可以证明线段相等或倍分关系；
可以证明两直线平行.
位线1课堂讲解三角形的中位线性质
三角形中位线在四边形中的应用2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升三角形中的那条红线正好过两边的中点是什么呢！我也不清楚，让我们一起到今天知识海洋中看一看吧！1知识点三角形中位线的性质 前面我们研究平行四边形时，常常把它
分成几个三角形，利用三角形全等的性质研
究平行四边形的有关问题.下面我们利用平行
四边形研究三角形的有关问题.
如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，
连接DE. 像DE这样，连接三角形两边中点的线段叫做
三角形的中位线.知1－导知1－导探究 观察图,你能发现△ABC的中位线DE与边BC的位置关系
吗？度量一下，DE与BC之间有什么数量关系？
我们猜想，DE//BC， DE= BC.下面我们对它进行证明.
如图，D，E分别是△ABC的AB，AC的中点.求证：DE//
BC， DE= BC.
分析：本题既要证明两条线段所在的直线平行，又要证
明其中一条线段的长等于另一条线段长的一半.将DE延长一倍
后，可以将证明DE = BC 转化为证明延长后的线段与BC相
等.又由于E是AC的中点，根据对角线互相平分的四边形是平
行四边形构造一个平行四边形，利用平行四边形的性质进行
证明.知1－导如图，延长DE到点F，使EF=DE，连接FC，
DC，AF.
∵AE=EC，DE=EF，
∴四边形ADCF是平行四边形，
CF DA.
∴CF BD.
∴四边形DBCF是平行四边形，DF BC.
又 DE= DF，
∴ DE//BC，且DE= BC.证明：知1－导 通过上述证明，我们得到三角形的中位线定理：
三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且
等于第三边的一半.1．定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中
位线；
数学表达式：如图，
∵AD＝BD，AE＝EC，
∴DE是△ABC的中位线．
2．中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三
边，并且等于第三边的一半；
数学表达式：如图，∵AD＝BD，AE＝EC，
∴DE∥BC，且DE＝ BC.知1－讲要点精析：
(1)一个三角形有三条中位线；
(2)三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形；
三个面积相等的平行四边形；
(3)三角形的中位线与三角形的中线的区别：三角形的
中线是连接一顶点和它的对边中点的线段，而三角
形的中位线则是连接两边中点的线段．
(4)三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分．知1－讲要点精析：
三角形的中位线定理反映了三角形的中位线与
第三边的双重关系：一是位置关系，可以用来证两
直线平行；二是数量关系，可以用来证线段的倍分
关系．知1－讲例1 如图所示，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD=6，
BD=4，CD=3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、
BD的中点，则四边形EFGH的周长是 ．知1－讲利用勾股定理列式求出BC的长，
再根据三角形的中位线平行于第
三边并且等于第三边的一半求出
EH=FG = AD，
EF=GH = BC，然后代入数据
进行计算即可得解．11分析：知1－讲∵BD⊥CD，BD=4，CD=3，
∴BC
∵E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，
∴EH=FG = AD，EF=GH= BC，
∴四边形EFGH的周长=EH+GH+FG+EF=AD+BC，
又∵AD=6，
∴四边形EFGH的周长=6+5=11．解：知1－讲 本题考查了三角形的中位线定理，勾股定理的
应用，熟记三角形的中位线平行于第三边并且等于
第三边的一半是解题的关键．1 (2016·河南)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，
AC＝8，AB＝10，DE垂直平分AC交AB
于点E，则DE的长为( )
A．6 B．5 C．4 D．3知1－练2 (2015·山西)如图，在△ABC中，点D，E分别是边
AB，BC的中点．若△DBE的周长是6，则△ABC
的周长是( )
A．8 B．10 C．12 D．14知1－练知1－讲例2 如图，已知E为平行四边形ABCD中DC边延长线
上一点，且CE＝DC，连接AE，分别交BC，BD
于点F，G，连接AC交BD于点
O，连接OF. 求证：AB＝2OF.点O是平行四边形两条对角线的
交点，所以点O是线段AC的中点，
要证明AB＝2OF，我们只需证明点F是线段BC
的中点，即证明OF是△ABC的中位线．导引：知1－讲∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD.
∵E为平行四边形ABCD中DC边延长线上一点，
且CE＝DC，
∴AB∥CE，AB＝CE，
∴四边形ABEC是平行四边形，
∴点F是BC的中点．
又∵点O是AC的中点，
∴OF是△ABC的中位线，∴AB＝2OF.证明：知1－讲 证明线段倍分关系的方法：由于三角形的中位线
等于三角形第三边的一半，因此当需要证明某一线段
是另一线段的一半或两倍，且题中出现中点时，常考
虑三角形中位线定理．1 已知：如图，△ABC的中线BD，CE交于点O，F，
G分别是OB，OC的中点．
求证：四边形DEFG是平行四边形．知1－练知1－练2 (2016·株洲)如图，已知四边形ABCD是平行四边形，
对角线AC，BD交于点O，E是BC的中点，连接OE，
以下说法错误的是( )
A．OE＝ DC B．OA＝OC
C．∠BOE＝∠OBA D．∠OBE＝∠OCE知1－练3 (2015·铁岭)如图，点D，E，F分别为△ABC各边中
点，下列说法正确的是( )
A．DE＝DF B．EF＝ AB
C．S△ABD＝S△ACD D．AD平分∠BAC2知识点三角形中位线在四边形中的应用知2－讲欲证MN BC，只需证明MN
是△EBC的中位线即可．而要证得M，N分别为
BE，CE的中点，则可利用E，F分别为AD，BC
的中点证四边形ABFE和四边形EFCD为平行四边
形得到．例3 如图，在?ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，
连接AF，DF分别交BE，CE于点M，N，连接MN.
求证：MN BC.导引：知2－讲如图，连接EF.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD BC.
∵E，F分别是AD，BC的中点，
∴AE＝ AD，BF＝ BC，∴AE BF.
∴四边形ABFE是平行四边形，∴MB＝ME.
同理，四边形EFCD是平行四边形，∴NC＝NE.
∴MN是△EBC的中位线．∴MN BC.证明：知2－讲(1)证明两直线平行的常用方法：
①利用同平行(垂直)于第三条直线；②利用同位角、
内错角相等，同旁内角互补；③利用平行四边形
的性质；④利用三角形的中位线定理．
(2)证明一条线段是另一条线段的2倍的常用方法：
①利用含30°角的直角三角形；②利用平行四边
形的对角线；③利用三角形的中位线定理．1 〈长春〉如图，在?ABCD中，点O是对角线AC，
BD的交点，点E是边CD的中点，点F在BC的延
长线上，且CF＝BC，求证：四边形OCFE是平
行四边形．知2－练2 (中考·黑龙江)如图，在四边形ABCD中，点P是对角
线BD的中点，点E，F分别是AB，CD的中点，AD
＝BC，∠PEF＝30°，则∠PFE的度数是( )
A．15° B．20° C．25° D．30°知2－练3 如图，已知长方形ABCD中，R，P分别是DC，BC
上的点，E，F分别是AP，RP的中点，当P在BC上
从B向C移动而R不动时，下列结论成立的是( )
A．线段EF的长逐渐增大
B．线段EF的长逐渐减小
C．线段EF的长不改变
D．线段EF的长先增大后减小知2－练三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第
三边的一半．几何语言(如图)：
∵DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC．DE= BC．
注意：
(1)位置关系：平行于第三边，
(2)数量关系：等于第三边的一半拓展：
(1)在三角形中位线定理中要特别注意，三角形的中位
线平行的是三角形的“第三边”，而不是“底边”，
在三角形中，只有等腰三角形有底边．而一般的三
角形并没有底边．
(2)三角形的中位线定理可以证明线段相等或倍分关系；
可以证明两直线平行.