18.2.1 矩形及其性质课件
图片预览
文档简介
课件28张PPT。第十八章 平行四边形18.2 特殊的平行四边形第1课时 矩形及其性质1课堂讲解矩形的定义
矩形的边角性质
矩形的对角线性质
直角三角形斜边上中线的性质2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升 把平行四边形的一个角特殊化成直角，我们得
到一个什么样的图形呢？这个图形我们小学学过吗？
你能从这个图形与平行四边形的关系方面给出它的
定义吗？1知识点矩形的定义 我们先从角开始，如右图，当平行四边形
的一个角为直角时，这时的平行四边形是一个
特殊的平行四边形.有一个角是直角的平行四边
形叫做矩形(rectangle)，也就是长方形.
矩形也是常见的图形.门窗框、书桌面、教科书封面、地
砖等(如下图)都有矩形的形象.你还能举出一些例子吗？知1－讲知1－讲定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．
注意：
(1)由矩形的定义知，矩形一定是平行四边形，但平
行四边形不一定是矩形．
(2)矩形必须具备两个条件：①它是一个平行四边形；
②它有一个角是直角，这两个条件缺一不可．例1 如图所示，l1∥l2，A、B是l1上的两点，过A、B分
别作l2的垂线，垂足分别为D、C．四
边形ABCD是矩形吗?简述你的理由．知1－讲很容易发现ABCD为平行四边形只需有一个角为
直角即可，因为AD⊥l2有直角，问题得证．
四边形ABCD是矩形，理由：∵AD⊥l2，BC⊥l2，
∴AD∥BC．∵l1∥l2，
∴四边形ABCD是平行四边形．
又∵∠ADC=90°，∴平行四边形ABCD为矩形．分析：解：知1－讲 利用定义识别一个四边形是矩形，首先要证明
四边形是平行四边形，然后证明平行四边形有一个
角是直角.1 (2015·南昌)如图，小贤为了体验四边形的不稳定性，
将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，B与D
两点之间用一根橡皮筋拉直固定，然后向右扭动框架，
观察所得四边形的变化，下列判断错误的是( )
A．四边形ABCD由矩形变为平行四边形
B．BD的长度增大
C．四边形ABCD的面积不变
D．四边形ABCD的周长不变知1－练2知识点矩形的边角性质知2－导 因为矩形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质.由于它有一个角为直角，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？
(1)取一张矩形的纸片，分别沿它的两组
对边的中点所在的直线折叠，你发现
矩形是轴对称图形吗?如果是，它有几条对称轴？
(2)用矩形的轴对称性质，由矩形的一个角是直角，你
发现矩形的另外三个角有什么性质?证明你的结论．思考知2－讲例2 如图所示，在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，
∠DAE∶∠BAE＝3∶1，求∠BAO和
∠EAO的度数．由∠DAE与∠BAE之和为矩形
的一个内角及两角之比即可求
出∠DAE和∠BAE的度数，从
而得出∠ABE的度数，由矩形的性质易得∠BAO＝
∠ABE，即可求出∠BAO的度数，再由∠EAO＝
∠BAO－∠BAE可得∠EAO的度数．导引：知2－讲∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB＝90°，AO＝ AC，BO＝ BD，AC＝BD.
∴∠BAE＋∠DAE＝90°，AO＝BO.
又∵∠DAE∶∠BAE＝3∶1，
∴∠BAE＝22.5°，∠DAE＝67.5°.
∵AE⊥BD，
∴∠ABE＝90°－∠BAE＝90°－22.5°＝67.5°.
∵AO＝BO，∴∠BAO＝∠ABE＝67.5°.
∴∠EAO＝∠BAO－∠BAE＝67.5°－22.5°＝45°.解：知2－讲 矩形的每条对角线把矩形分成两个直角三角形，
矩形的两条对角线将矩形分成四个等腰三角形，因此
有关矩形的计算问题经常通过转化到直角三角形和等
腰三角形中来解决．1 如图，把一张矩形纸片沿EF折叠后，点D，C分
别落在点D′，C′的位置．若∠EFB＝65°，则
∠AED′等于( )
A．70° B．65° C．50° D．25°知2－练知2－练2 (2016·荆门)如图，在矩形ABCD中(AD＞AB)，点
E是BC上一点，且DE＝DA，AF⊥DE，垂足为点
F，在下列结论中，不一定正确的是( )
A．△AFD≌△DCE B．AF＝ AD
C．AB＝AF D．BE＝AD－DF知2－练3 如图，点E是矩形ABCD的边AD延长线上的一点，
且AD＝DE，连接BE交CD于点O，连接AO，下列
结论中不正确的是( )
A．△AOB≌△BOC B．△BOC≌△EOD
C．△AOD≌△EOD D．△AOD≌△BOC3知识点矩形的对角线性质知3－导 任意画一个矩形，作出它的两条对角线，并比较它们的长．你有什么发现?
已知：如图所示，四边形ABCD是矩形．
求证：AC=DB．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠DCB=90°(矩形的性质定理1)．
∵AB=CD(平行四边形的对边相等)，BC=CB．
∴△ABC≌△DCB(SAS).∴AC=DB．
于是，就得到矩形的性质：矩形的对角线相等.证明：知3－讲例3 如图，矩形ABCD的对角线 AC，BD相交于点 O，
∠AOB=60°，AB=4.求矩形对角线的长.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC与BD相等且互相平分.
∴OA=OB.
又 ∠AOB=60°，
∴△OAB是等边三角形.
∴OA=AB=4.
∴ AC=BD=2OA=8.解：1 一个矩形的一条对角线长为8，两条对角线的一
个交角为120°.求这个矩形的 边长（结果保留小
数点后两位).知3－练2 (2016·菏泽)在?ABCD中，AB＝3，BC＝4，连
接AC，BD，当?ABCD的面积最大时，下列结
论正确的有( )
①AC＝5；②∠BAD＋∠BCD＝180°；
③AC⊥BD；④AC＝BD.
A．①②③ B．①②④
C．②③④ D．①③④知3－练知4－导4知识点直角三角形斜边上中线的性质 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.我
们观察Rt△ABC，在Rt△ABC中，BO是
斜边AC上的中线，BO与AC有什么关系？
根据矩形的性质，我们知道， BO =
BD= AC.由此，我们得到直角三角形的一个性质.思考 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
注意推论的应用条件：
一是直角三角形，
二是斜边的中线，
三是等于斜边的一半.知4－讲例4 如图(1)，BD，CE是△ABC的两条高，M，N分别
是BC，DE的中点．求证：MN⊥DE.知4－讲如图(2)，连接EM，DM，由CE与BD
为△ABC的两条高，可得△BEC与
△CDB均为直角三角形，根据M为BC
的中点，利用直角三角形斜边上的中线
等于斜边的一半，可得EM为BC的一半，
DM也为BC的一半，通过等量代换可得
EM＝DM，又N为DE的中点，
所以MN⊥DE.导引：知4－讲连接EM，DM，如图(2).
∵BD，CE为△ABC的两条高，
∴BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠BEC＝∠CDB＝90°.
在Rt△BEC中，∵M为斜边BC的中点，
∴EM＝ BC.
在Rt△CDB中，∵M为斜边BC的中点，
∴DM＝ BC.
∴EM＝DM.
又∵N为DE的中点，∴MN⊥DE.证明：知4－讲 若题目中出现了一边的中点，往往需要用到中
线，若又有直角，往往需要用到直角三角形斜边上
的中线等于斜边的一半．1 如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠DCB＝
90°，对角线AC与BD相交于点O，M，N分别
是BD，AC的中点．
(1)求证：MN⊥AC；
(2)当AC＝8 cm，BD＝10 cm时，
求MN的长．知4－练(2015·鄂尔多斯)如图，P是矩形ABCD的对角线AC
的中点，E是AD的中点．若AB＝6，AD＝8，则四
边形ABPE的周长为( )
A．14 B．16 C．17 D．18知4－练如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别
为AC，AB边的中点，连接DE，CE.则下列结论中
不一定正确的是( )
A．ED∥BC
B．ED⊥AC
C．∠ACE＝∠BCE
D．AE＝CE知4－练1．矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩
形，因此，矩形是平行四边形的特例，具有平行
四边形所有性质．
2．性质归纳：
(1)边的性质：对边平行且相等．
(2)角的性质：四个角都是直角．
(3)对角线性质：对角线互相平分且相 等．
(4)对称性：矩形是轴对称图形．
矩形的边角性质
矩形的对角线性质
直角三角形斜边上中线的性质2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升 把平行四边形的一个角特殊化成直角，我们得
到一个什么样的图形呢？这个图形我们小学学过吗？
你能从这个图形与平行四边形的关系方面给出它的
定义吗？1知识点矩形的定义 我们先从角开始，如右图，当平行四边形
的一个角为直角时，这时的平行四边形是一个
特殊的平行四边形.有一个角是直角的平行四边
形叫做矩形(rectangle)，也就是长方形.
矩形也是常见的图形.门窗框、书桌面、教科书封面、地
砖等(如下图)都有矩形的形象.你还能举出一些例子吗？知1－讲知1－讲定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．
注意：
(1)由矩形的定义知，矩形一定是平行四边形，但平
行四边形不一定是矩形．
(2)矩形必须具备两个条件：①它是一个平行四边形；
②它有一个角是直角，这两个条件缺一不可．例1 如图所示，l1∥l2，A、B是l1上的两点，过A、B分
别作l2的垂线，垂足分别为D、C．四
边形ABCD是矩形吗?简述你的理由．知1－讲很容易发现ABCD为平行四边形只需有一个角为
直角即可，因为AD⊥l2有直角，问题得证．
四边形ABCD是矩形，理由：∵AD⊥l2，BC⊥l2，
∴AD∥BC．∵l1∥l2，
∴四边形ABCD是平行四边形．
又∵∠ADC=90°，∴平行四边形ABCD为矩形．分析：解：知1－讲 利用定义识别一个四边形是矩形，首先要证明
四边形是平行四边形，然后证明平行四边形有一个
角是直角.1 (2015·南昌)如图，小贤为了体验四边形的不稳定性，
将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，B与D
两点之间用一根橡皮筋拉直固定，然后向右扭动框架，
观察所得四边形的变化，下列判断错误的是( )
A．四边形ABCD由矩形变为平行四边形
B．BD的长度增大
C．四边形ABCD的面积不变
D．四边形ABCD的周长不变知1－练2知识点矩形的边角性质知2－导 因为矩形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质.由于它有一个角为直角，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？
(1)取一张矩形的纸片，分别沿它的两组
对边的中点所在的直线折叠，你发现
矩形是轴对称图形吗?如果是，它有几条对称轴？
(2)用矩形的轴对称性质，由矩形的一个角是直角，你
发现矩形的另外三个角有什么性质?证明你的结论．思考知2－讲例2 如图所示，在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，
∠DAE∶∠BAE＝3∶1，求∠BAO和
∠EAO的度数．由∠DAE与∠BAE之和为矩形
的一个内角及两角之比即可求
出∠DAE和∠BAE的度数，从
而得出∠ABE的度数，由矩形的性质易得∠BAO＝
∠ABE，即可求出∠BAO的度数，再由∠EAO＝
∠BAO－∠BAE可得∠EAO的度数．导引：知2－讲∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB＝90°，AO＝ AC，BO＝ BD，AC＝BD.
∴∠BAE＋∠DAE＝90°，AO＝BO.
又∵∠DAE∶∠BAE＝3∶1，
∴∠BAE＝22.5°，∠DAE＝67.5°.
∵AE⊥BD，
∴∠ABE＝90°－∠BAE＝90°－22.5°＝67.5°.
∵AO＝BO，∴∠BAO＝∠ABE＝67.5°.
∴∠EAO＝∠BAO－∠BAE＝67.5°－22.5°＝45°.解：知2－讲 矩形的每条对角线把矩形分成两个直角三角形，
矩形的两条对角线将矩形分成四个等腰三角形，因此
有关矩形的计算问题经常通过转化到直角三角形和等
腰三角形中来解决．1 如图，把一张矩形纸片沿EF折叠后，点D，C分
别落在点D′，C′的位置．若∠EFB＝65°，则
∠AED′等于( )
A．70° B．65° C．50° D．25°知2－练知2－练2 (2016·荆门)如图，在矩形ABCD中(AD＞AB)，点
E是BC上一点，且DE＝DA，AF⊥DE，垂足为点
F，在下列结论中，不一定正确的是( )
A．△AFD≌△DCE B．AF＝ AD
C．AB＝AF D．BE＝AD－DF知2－练3 如图，点E是矩形ABCD的边AD延长线上的一点，
且AD＝DE，连接BE交CD于点O，连接AO，下列
结论中不正确的是( )
A．△AOB≌△BOC B．△BOC≌△EOD
C．△AOD≌△EOD D．△AOD≌△BOC3知识点矩形的对角线性质知3－导 任意画一个矩形，作出它的两条对角线，并比较它们的长．你有什么发现?
已知：如图所示，四边形ABCD是矩形．
求证：AC=DB．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠DCB=90°(矩形的性质定理1)．
∵AB=CD(平行四边形的对边相等)，BC=CB．
∴△ABC≌△DCB(SAS).∴AC=DB．
于是，就得到矩形的性质：矩形的对角线相等.证明：知3－讲例3 如图，矩形ABCD的对角线 AC，BD相交于点 O，
∠AOB=60°，AB=4.求矩形对角线的长.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC与BD相等且互相平分.
∴OA=OB.
又 ∠AOB=60°，
∴△OAB是等边三角形.
∴OA=AB=4.
∴ AC=BD=2OA=8.解：1 一个矩形的一条对角线长为8，两条对角线的一
个交角为120°.求这个矩形的 边长（结果保留小
数点后两位).知3－练2 (2016·菏泽)在?ABCD中，AB＝3，BC＝4，连
接AC，BD，当?ABCD的面积最大时，下列结
论正确的有( )
①AC＝5；②∠BAD＋∠BCD＝180°；
③AC⊥BD；④AC＝BD.
A．①②③ B．①②④
C．②③④ D．①③④知3－练知4－导4知识点直角三角形斜边上中线的性质 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.我
们观察Rt△ABC，在Rt△ABC中，BO是
斜边AC上的中线，BO与AC有什么关系？
根据矩形的性质，我们知道， BO =
BD= AC.由此，我们得到直角三角形的一个性质.思考 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
注意推论的应用条件：
一是直角三角形，
二是斜边的中线，
三是等于斜边的一半.知4－讲例4 如图(1)，BD，CE是△ABC的两条高，M，N分别
是BC，DE的中点．求证：MN⊥DE.知4－讲如图(2)，连接EM，DM，由CE与BD
为△ABC的两条高，可得△BEC与
△CDB均为直角三角形，根据M为BC
的中点，利用直角三角形斜边上的中线
等于斜边的一半，可得EM为BC的一半，
DM也为BC的一半，通过等量代换可得
EM＝DM，又N为DE的中点，
所以MN⊥DE.导引：知4－讲连接EM，DM，如图(2).
∵BD，CE为△ABC的两条高，
∴BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠BEC＝∠CDB＝90°.
在Rt△BEC中，∵M为斜边BC的中点，
∴EM＝ BC.
在Rt△CDB中，∵M为斜边BC的中点，
∴DM＝ BC.
∴EM＝DM.
又∵N为DE的中点，∴MN⊥DE.证明：知4－讲 若题目中出现了一边的中点，往往需要用到中
线，若又有直角，往往需要用到直角三角形斜边上
的中线等于斜边的一半．1 如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠DCB＝
90°，对角线AC与BD相交于点O，M，N分别
是BD，AC的中点．
(1)求证：MN⊥AC；
(2)当AC＝8 cm，BD＝10 cm时，
求MN的长．知4－练(2015·鄂尔多斯)如图，P是矩形ABCD的对角线AC
的中点，E是AD的中点．若AB＝6，AD＝8，则四
边形ABPE的周长为( )
A．14 B．16 C．17 D．18知4－练如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别
为AC，AB边的中点，连接DE，CE.则下列结论中
不一定正确的是( )
A．ED∥BC
B．ED⊥AC
C．∠ACE＝∠BCE
D．AE＝CE知4－练1．矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩
形，因此，矩形是平行四边形的特例，具有平行
四边形所有性质．
2．性质归纳：
(1)边的性质：对边平行且相等．
(2)角的性质：四个角都是直角．
(3)对角线性质：对角线互相平分且相 等．
(4)对称性：矩形是轴对称图形．