18.2.2 矩形的判定课件
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课件21张PPT。第十八章 平行四边形18.2 特殊的平行四边形第2课时 矩形的判定1课堂讲解由对角线的关系判定矩形
由直角的个数判定矩形2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升 改变平行四边形活动框架，将框架夹角∠α变为
90°，平行四边形成为一个矩形，那么如何识别一
个四边形是矩形呢？1知识点由对角线的关系判定矩形 我们知道，矩形的对角线相等.反过
来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？
工人师傅在做门窗或矩形零件时，不
仅要测量两组对边的长度是否分别相等，
常常还要测量它们的两条对角线是否相等，
以确保图形是矩形.你知道其中的道理吗？知1－导思考知1－导 可以发现并证明矩形的一个判定定理：
对角线相等的平行四边形是矩形.
警示：两条对角线相等的四边形不一定是矩形，这个
四边形必须是平行四边形才可以.例1 如图，在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，
且OA=OD，∠OAD=50°.求∠OAB的度数.知1－讲∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC= AC，OB=OD= BD.
又 OA=OD，
∴ AC=BD.
∴四边形ABCD是矩形.
∴ ∠DAB=90°.
又∠OAD=50°，
∴∠OAB=40°.解：知1－讲 用对角线相等的平行四边形是矩形判定一个四边
形是矩形必须满足两个条件：一是对角线相等，二是
四边形是平行四边形．也就是说两条对角线相等的四
边形不一定是矩形，必须加上“平行四边形”这个条件
它才是矩形．1 如图，?ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
△OAB是等边三角形，且AB=4.
求?ABCD的面积.知1－练2 (2016·黑龙江)如图，在?ABCD中，延长AD到点
E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，请你添加
一个条件________，使四边形DBCE是矩形．知1－练3 下列四边形：①对角线互相平分的四边形；②对角
线相等的四边形；③对角线相等的平行四边形；
④对角线互相平分且相等的四边形．其中一定是矩
形的个数是( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个知1－练2知识点有直角的个数判定矩形知2－导 前面我们研究了矩形的四个角，知道它们都是直角.它的
逆命题成立吗？即四个角都是直角的四边形是矩形吗？进一
步，至少有几个角是直角的四边形是矩形？
(1)根据矩形的定义，有一个角是直角的平行四边形是矩形．
如果不通过平行四边形，能根据四边形中直角的个数，直接由
四边形来判定它是矩形吗?有几个角是直角的四边形是矩形呢?
矩形的四个角都是直角.反过来，四个角都是直角的四边形
是矩形.思考知2－导 (2)小亮说得对吗?能证明他的结论吗?
(3)小莹说：“由于四边形的内角和等于360°，因
而四个内角中只要有三个角是直角，第四个内角也一定
是直角．所以可以减少一个条件，有三个角是直角的四
边形就是矩形．”小莹的说法正确吗?
已知：如图所示，在四边形ABCD中，
∠A=∠B=∠C=90°．
求证：四边形ABCD是矩形．知2－导 ∵∠A=∠B=∠C=90°，
∠A+∠B=180°，
∠B+∠C=180°，
∴AD∥BC， AB∥CD.
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵∠A=90°.
∴ ?ABCD是矩形.
(4)比较上面(2)(3)中小亮和小莹的两种说法，你认
为选择哪种说法作为矩形的判定定理更为简洁?
于是，便得到：有三个角是直角的四边形是矩形. 证明：知2－导有三个角是直角的四边形是矩形.知2－讲例2 如图，?ABCD的四个内角的平分线分别相交于
点E，F，G，H.求证：四边形EFGH是矩形.要证明四边形EFGH是矩形，
由于已知ABCD的四个内角
的平分线分别相交于点E，F，
G，H，因此可选用“有三个角是直角的四边形是
矩形”来证明．导引：知2－讲∵AB∥CD，∴∠ABC＋∠BCD＝180°.
∵BG平分∠ABC，CG平分∠BCD，
∴∠GBC＋∠GCB＝ ∠ABC＋ ∠BCD
＝ ×180°＝90°，
∴∠BGC＝90°. 同理可得∠AFB＝∠AED＝90°.
∴∠GFE＝∠FEH＝∠FGH＝90°.
∴四边形EFGH是矩形．证明：知2－讲 本题目中的图形是建立在四边形基础上，而
条件中又涉及角的关系，一般采用“角的方法”来
判定矩形．1 如图，已知在四边形ABCD中，AC⊥BD于点O，
E，F，G，H分别是四边形ABCD各边的中点．
求证：四边形EFGH是矩形．知2－练知2－练在?ABCD中，添加下列条件中的一个，就能判定
它是矩形的是( )
A．∠A＋∠C＝180° B．AB＝BC
C．AC⊥BD D．AC＝2AB知2－练3 (2015·临沂)如图，四边形ABCD为平行四边形，延长
AD到E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，添加一
个条件，不能使四边形DBCE成为
矩形的是( )
A．AB＝BE
B．DE⊥DC
C．∠ADB＝90°
D．CE⊥DE矩形判定的技巧：
证明四边形是矩形，已知对角线相等时，只需再
证明对角线互相平分或四边形是平行四边形；已知四
边形是平行四边形时，只需再证有一个角是直角或对
角线相等．如果已知四边形的两个角是直角，此时选
择“有三个角是直角的四边形是矩形”证明比较简单．
由直角的个数判定矩形2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升 改变平行四边形活动框架，将框架夹角∠α变为
90°，平行四边形成为一个矩形，那么如何识别一
个四边形是矩形呢？1知识点由对角线的关系判定矩形 我们知道，矩形的对角线相等.反过
来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？
工人师傅在做门窗或矩形零件时，不
仅要测量两组对边的长度是否分别相等，
常常还要测量它们的两条对角线是否相等，
以确保图形是矩形.你知道其中的道理吗？知1－导思考知1－导 可以发现并证明矩形的一个判定定理：
对角线相等的平行四边形是矩形.
警示：两条对角线相等的四边形不一定是矩形，这个
四边形必须是平行四边形才可以.例1 如图，在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，
且OA=OD，∠OAD=50°.求∠OAB的度数.知1－讲∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC= AC，OB=OD= BD.
又 OA=OD，
∴ AC=BD.
∴四边形ABCD是矩形.
∴ ∠DAB=90°.
又∠OAD=50°，
∴∠OAB=40°.解：知1－讲 用对角线相等的平行四边形是矩形判定一个四边
形是矩形必须满足两个条件：一是对角线相等，二是
四边形是平行四边形．也就是说两条对角线相等的四
边形不一定是矩形，必须加上“平行四边形”这个条件
它才是矩形．1 如图，?ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
△OAB是等边三角形，且AB=4.
求?ABCD的面积.知1－练2 (2016·黑龙江)如图，在?ABCD中，延长AD到点
E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，请你添加
一个条件________，使四边形DBCE是矩形．知1－练3 下列四边形：①对角线互相平分的四边形；②对角
线相等的四边形；③对角线相等的平行四边形；
④对角线互相平分且相等的四边形．其中一定是矩
形的个数是( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个知1－练2知识点有直角的个数判定矩形知2－导 前面我们研究了矩形的四个角，知道它们都是直角.它的
逆命题成立吗？即四个角都是直角的四边形是矩形吗？进一
步，至少有几个角是直角的四边形是矩形？
(1)根据矩形的定义，有一个角是直角的平行四边形是矩形．
如果不通过平行四边形，能根据四边形中直角的个数，直接由
四边形来判定它是矩形吗?有几个角是直角的四边形是矩形呢?
矩形的四个角都是直角.反过来，四个角都是直角的四边形
是矩形.思考知2－导 (2)小亮说得对吗?能证明他的结论吗?
(3)小莹说：“由于四边形的内角和等于360°，因
而四个内角中只要有三个角是直角，第四个内角也一定
是直角．所以可以减少一个条件，有三个角是直角的四
边形就是矩形．”小莹的说法正确吗?
已知：如图所示，在四边形ABCD中，
∠A=∠B=∠C=90°．
求证：四边形ABCD是矩形．知2－导 ∵∠A=∠B=∠C=90°，
∠A+∠B=180°，
∠B+∠C=180°，
∴AD∥BC， AB∥CD.
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵∠A=90°.
∴ ?ABCD是矩形.
(4)比较上面(2)(3)中小亮和小莹的两种说法，你认
为选择哪种说法作为矩形的判定定理更为简洁?
于是，便得到：有三个角是直角的四边形是矩形. 证明：知2－导有三个角是直角的四边形是矩形.知2－讲例2 如图，?ABCD的四个内角的平分线分别相交于
点E，F，G，H.求证：四边形EFGH是矩形.要证明四边形EFGH是矩形，
由于已知ABCD的四个内角
的平分线分别相交于点E，F，
G，H，因此可选用“有三个角是直角的四边形是
矩形”来证明．导引：知2－讲∵AB∥CD，∴∠ABC＋∠BCD＝180°.
∵BG平分∠ABC，CG平分∠BCD，
∴∠GBC＋∠GCB＝ ∠ABC＋ ∠BCD
＝ ×180°＝90°，
∴∠BGC＝90°. 同理可得∠AFB＝∠AED＝90°.
∴∠GFE＝∠FEH＝∠FGH＝90°.
∴四边形EFGH是矩形．证明：知2－讲 本题目中的图形是建立在四边形基础上，而
条件中又涉及角的关系，一般采用“角的方法”来
判定矩形．1 如图，已知在四边形ABCD中，AC⊥BD于点O，
E，F，G，H分别是四边形ABCD各边的中点．
求证：四边形EFGH是矩形．知2－练知2－练在?ABCD中，添加下列条件中的一个，就能判定
它是矩形的是( )
A．∠A＋∠C＝180° B．AB＝BC
C．AC⊥BD D．AC＝2AB知2－练3 (2015·临沂)如图，四边形ABCD为平行四边形，延长
AD到E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，添加一
个条件，不能使四边形DBCE成为
矩形的是( )
A．AB＝BE
B．DE⊥DC
C．∠ADB＝90°
D．CE⊥DE矩形判定的技巧：
证明四边形是矩形，已知对角线相等时，只需再
证明对角线互相平分或四边形是平行四边形；已知四
边形是平行四边形时，只需再证有一个角是直角或对
角线相等．如果已知四边形的两个角是直角，此时选
择“有三个角是直角的四边形是矩形”证明比较简单．