18.2.3 菱形及其性质课件
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课件36张PPT。第十八章 平行四边形18.2 特殊的平行四边形第3课时 菱形及其性质1课堂讲解菱形的定义
菱形的边的性质
菱形的对角线的性质
菱形的对称性2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升 菱形具有平行四边形的不稳定性，具有变化中
的不变性，有对称美在生活中，被人们广泛地采用，
如图为“中国花边”，其中就有很多菱形的图案.在
我们的周边，还有哪些物体是菱形的形状，用到菱
形的哪些性质？1知识点菱形的定义 我们观察平行四边形的一组邻边，如右图，当
这组邻边相等时，这时的平行四边形也是一个特殊
的平行四边形.有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形(rhombus).
菱形也是常见的图形.一些门窗的窗格、美丽的中国结、伸缩
的衣帽架 (下图)等都有菱形的形象.你还能举出一些例子吗？ 知1－导知1－讲定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
要点精析：
(1)菱形必须满足两个条件：一是平行四边形；二是
一组邻边相等．二者必须同时具备，缺一不可．
(2)菱形的定义既是菱形的基本性质，也是菱形的基
本判定方法．例1 已知：如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB
于点D，DE∥AC交BC于点E，DF∥BC交AC于
点F. 四边形DECF是菱形吗？为什么？知1－讲因为DE∥FC，DF∥EC，所
以四边形DECF为平行四边
形，再根据有一组邻边相等
的平行四边形是菱形求证即
可．导引：知1－讲四边形DECF是菱形．理由如下：
∵DE∥FC，DF∥EC，
∴四边形DECF为平行四边形．
由AC∥DE，知∠2＝∠3.
∵CD平分∠ACB，
∴∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴DE＝EC，
∴平行四边形DECF为菱形(有一组邻边相等的平
行四边形是菱形)．解：知1－讲 本题考查了菱形的定义，菱形的定义也可
以作为菱形的判定方法．1 〈安顺〉如图，已知点D在△ABC的BC边上，DE
∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F.
(1)证明：AE＝DF；
(2)若AD平分∠BAC，试判断四边形AEDF的形状，
并说明理由．知1－练2 如图，若要使平行四边形ABCD成为菱形，则需
要添加的条件是( )
A．AB＝CD
B．AD＝BC
C．AB＝BC
D．AC＝BD知1－练2知识点菱形的边的性质知2－导 菱形具有平行四边形的所有性质．此外，菱形
还具有哪些特殊性质呢? 根据菱形的轴对称性，你
发现菱形的四条边具有什么大小关系?问 题菱形的四条边都相等.知2－讲例2 如图所示，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，
E、F分别是BC、CD的中点，连接AE、EF、
AF，则△AEF的周长为( )
A． B．
C． D．3 在菱形ABCD中，因为∠B＝60°，连接AC，则
△ABC是等边三角形，又因为E分别是BC的中点，
所以AE垂直于BC，因此AE＝ ，所以
△AEF的周长为 ，故选B.B分析：知2－讲 在菱形中作辅助线经常连接对角线，构造
三角形来做题，能够迎刃而解.1 边长为3 cm的菱形的周长是( )
A．6 cm B．9 cm C．12 cm D．15 cm
2 (2015·台州)如图，在菱形ABCD中，AB＝8，点E，
F分别在AB，AD上，且AE＝AF，过点E作EG∥AD
交CD于点G，过点F作FH∥AB交BC于点H，EG与
FH交于点O，当四边形AEOF与四边形CGOH的周长
之差为12时，AE的长为( )
A．6.5 B．6
C．5.5 D．5知2－练知2－练3 如图所示，在菱形ABCD中，AB = 5，∠BCD =?
120°，则对角线AC等于( )
A．20
B．15
C．10
D．53知识点菱形的对角线的性质知3－导 因为菱形是平行四边形，所以它具有平行四边形的
所有性质.由于它的一组邻边相等，它是否具有一般平行
四边形不具有的一些特殊性质呢？思考菱形的两条对角线AC与BD之间具有什么位置关系?知3－导 对于菱形，我们仍然从它的对角线等方面进行研
究.可以发现并证明(请你自己完成证明)，菱形还有以
下性质：
菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线
平分一组对角.知3－导问 题菱形的面积如何计算呢？菱形的面积有两种计算方法：
一种是底乘以高的积；
另一种是对角线乘积的一半.所以在求菱形的面积
时，要灵活运用使计算简单.由于菱形的四条边都相等，
所以要求其周长就要先求
出其边长．由菱形的性质
可知，其对角线互相垂直平分，因此可以在直角
三角形中利用勾股定理来进行计算．知3－讲例3 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于
点O，BD＝12 cm，AC＝6 cm.求菱形的周长．导引：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝ AC，BO＝ BD.
∵AC＝6 cm，BD＝12 cm，
∴AO＝3 cm，BO＝6 cm.
在Rt△ABO中，由勾股定理，
得AB＝
∴菱形的周长＝4AB知3－讲解：知3－讲 菱形的对角线将菱形分成四个全等的直角三角
形，我们通常将菱形问题中求相关线段的长转化为
求直角三角形中相关线段的长，再利用勾股定理来
计算．1 如图，四边形ABCD是菱形，BE⊥AD，BF⊥CD，
垂足分别为E，F.
(1)求证：BE＝BF；
(2)当菱形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6时，
求BE的长．知3－练2 (2016·枣庄)如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，
DB＝6，DH⊥AB于H，则DH等于( )
A. B. C．5 D．4知3－练知3－讲如图，菱形花坛ABCD的边长为20 m，∠ABC=60°，沿着菱形的对角线修建了两条小
路AC和BD. 求两条小路的长(结果保留小数点后
两位)和花坛的面积(结果保留小数点后一位).例4 ∵花坛ABCD的形状是菱形，
∴AC⊥BD，∠ABO = ∠ABC = × 60°= 30°.
在Rt△OAB中，AO = AB = ×20=10，
∴花坛的两条小路长AC = 2AO =20 (m)，
BD = 2BO=20 ≈34. 64 (m).
花坛的面积S四边形ABCD=4×S△OAB
= AC·BD=200 ≈346. 4 (m2).知3－讲解：知3－讲菱形的面积有三种计算方法：
(1)将其看成平行四边形，用底与高的积来求；
(2)对角线分得的四个全等直角三角形面积之和；
(3)两条对角线乘积的一半．
说明：读者可利用(1)(2)两种方法试一试；注意应
用(3)这种方法时不要忽视“一半”．1 已知菱形的两条对角线的长分别是6和8，求菱
形的周长和面积.知3－练2 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点
O，AB＝5，AC＝6，过点D作AC的平行线交BC的
延长线于点E，则△BDE的面积为( )
A．22 B．24 C．48 D．44知3－练知4－导4知识点菱形的对称性 如图，比较菱形的对角线和平行四边形的对角线，
我们发现，菱形的对角线把菱形分成四个全等的直角三
角形，而平行四边形通常只被分成两对全等的三角形.
菱形是轴对称图形，它的对角线所在的直线就是它
的对称轴.知4－导 菱形是轴对称图形，它有两条对称轴. 对
称轴是分别经过两组对角顶点的两条直线．例5 如图①，在菱形ABCD中，E，F分
别是CB，CD上的点，且BE＝DF.
(1)求证：AE＝AF.
(2)若∠B＝60°，点E，F分
别是BC，CD的中点，求证：△AEF为等边三角形.知4－讲(1)要证AE＝AF，只需证△AEB≌△AFD，由BE＝
DF及菱形的相关性质进行证明即可．(2)如图②，要
证△AEF为等边三角形，由AE＝AF知，只需证∠EAF
＝60°即可，要证∠EAF＝60°，只需证∠1＝∠2＝
30°即可，这可由菱形及等边三角形相关知识证出．导引：知4－讲(1)∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D.
又∵BE＝DF，
∴△ABE≌△ADF，∴AE＝AF.
(2)如图②，连接AC.
∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC.
又∵∠B＝60°，∴△ABC为等边三角形．
∴∠BAC＝60°.
∵E为BC的中点，∴∠1＝ ∠BAC＝30°.
同理∠2＝30°，∴∠EAF＝60°.
又∵AE＝AF，∴△AEF为等边三角形．证明：知4－讲 菱形的每条对角线把菱形分成两个全等的等腰三
角形(特殊时为两个全等的等边三角形)，两条对角线
把菱形分成四个全等的直角三角形．所以有关菱形的
一些证明与计算问题常常与特殊的三角形的有关问题
综合在一起．1 如图，在菱形ABCD中，P是AB上的一个动点(不
与A，B重合)，连接DP交对角线AC于点E，连接
EB.求证：∠APD＝∠EBC.知4－练2 如图，O是菱形ABCD的对角线AC，BD的交点，E，
F分别是OA，OC的中点，下列结论：①S△ADE＝
S△EOD；②四边形BFDE是轴对称图形；③△DEF是
轴对称图形；④∠ADE＝∠EDO.其中正确的有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个知4－练1．菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做
菱形
2．菱形的性质：
(1)它具有平行四边形的一切性质.
(2)菱形的四条边相等.
(3)菱形的对角线互相垂直， 并且一条对角线平分
一组对角.
菱形的边的性质
菱形的对角线的性质
菱形的对称性2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升 菱形具有平行四边形的不稳定性，具有变化中
的不变性，有对称美在生活中，被人们广泛地采用，
如图为“中国花边”，其中就有很多菱形的图案.在
我们的周边，还有哪些物体是菱形的形状，用到菱
形的哪些性质？1知识点菱形的定义 我们观察平行四边形的一组邻边，如右图，当
这组邻边相等时，这时的平行四边形也是一个特殊
的平行四边形.有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形(rhombus).
菱形也是常见的图形.一些门窗的窗格、美丽的中国结、伸缩
的衣帽架 (下图)等都有菱形的形象.你还能举出一些例子吗？ 知1－导知1－讲定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
要点精析：
(1)菱形必须满足两个条件：一是平行四边形；二是
一组邻边相等．二者必须同时具备，缺一不可．
(2)菱形的定义既是菱形的基本性质，也是菱形的基
本判定方法．例1 已知：如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB
于点D，DE∥AC交BC于点E，DF∥BC交AC于
点F. 四边形DECF是菱形吗？为什么？知1－讲因为DE∥FC，DF∥EC，所
以四边形DECF为平行四边
形，再根据有一组邻边相等
的平行四边形是菱形求证即
可．导引：知1－讲四边形DECF是菱形．理由如下：
∵DE∥FC，DF∥EC，
∴四边形DECF为平行四边形．
由AC∥DE，知∠2＝∠3.
∵CD平分∠ACB，
∴∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴DE＝EC，
∴平行四边形DECF为菱形(有一组邻边相等的平
行四边形是菱形)．解：知1－讲 本题考查了菱形的定义，菱形的定义也可
以作为菱形的判定方法．1 〈安顺〉如图，已知点D在△ABC的BC边上，DE
∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F.
(1)证明：AE＝DF；
(2)若AD平分∠BAC，试判断四边形AEDF的形状，
并说明理由．知1－练2 如图，若要使平行四边形ABCD成为菱形，则需
要添加的条件是( )
A．AB＝CD
B．AD＝BC
C．AB＝BC
D．AC＝BD知1－练2知识点菱形的边的性质知2－导 菱形具有平行四边形的所有性质．此外，菱形
还具有哪些特殊性质呢? 根据菱形的轴对称性，你
发现菱形的四条边具有什么大小关系?问 题菱形的四条边都相等.知2－讲例2 如图所示，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，
E、F分别是BC、CD的中点，连接AE、EF、
AF，则△AEF的周长为( )
A． B．
C． D．3 在菱形ABCD中，因为∠B＝60°，连接AC，则
△ABC是等边三角形，又因为E分别是BC的中点，
所以AE垂直于BC，因此AE＝ ，所以
△AEF的周长为 ，故选B.B分析：知2－讲 在菱形中作辅助线经常连接对角线，构造
三角形来做题，能够迎刃而解.1 边长为3 cm的菱形的周长是( )
A．6 cm B．9 cm C．12 cm D．15 cm
2 (2015·台州)如图，在菱形ABCD中，AB＝8，点E，
F分别在AB，AD上，且AE＝AF，过点E作EG∥AD
交CD于点G，过点F作FH∥AB交BC于点H，EG与
FH交于点O，当四边形AEOF与四边形CGOH的周长
之差为12时，AE的长为( )
A．6.5 B．6
C．5.5 D．5知2－练知2－练3 如图所示，在菱形ABCD中，AB = 5，∠BCD =?
120°，则对角线AC等于( )
A．20
B．15
C．10
D．53知识点菱形的对角线的性质知3－导 因为菱形是平行四边形，所以它具有平行四边形的
所有性质.由于它的一组邻边相等，它是否具有一般平行
四边形不具有的一些特殊性质呢？思考菱形的两条对角线AC与BD之间具有什么位置关系?知3－导 对于菱形，我们仍然从它的对角线等方面进行研
究.可以发现并证明(请你自己完成证明)，菱形还有以
下性质：
菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线
平分一组对角.知3－导问 题菱形的面积如何计算呢？菱形的面积有两种计算方法：
一种是底乘以高的积；
另一种是对角线乘积的一半.所以在求菱形的面积
时，要灵活运用使计算简单.由于菱形的四条边都相等，
所以要求其周长就要先求
出其边长．由菱形的性质
可知，其对角线互相垂直平分，因此可以在直角
三角形中利用勾股定理来进行计算．知3－讲例3 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于
点O，BD＝12 cm，AC＝6 cm.求菱形的周长．导引：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝ AC，BO＝ BD.
∵AC＝6 cm，BD＝12 cm，
∴AO＝3 cm，BO＝6 cm.
在Rt△ABO中，由勾股定理，
得AB＝
∴菱形的周长＝4AB知3－讲解：知3－讲 菱形的对角线将菱形分成四个全等的直角三角
形，我们通常将菱形问题中求相关线段的长转化为
求直角三角形中相关线段的长，再利用勾股定理来
计算．1 如图，四边形ABCD是菱形，BE⊥AD，BF⊥CD，
垂足分别为E，F.
(1)求证：BE＝BF；
(2)当菱形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6时，
求BE的长．知3－练2 (2016·枣庄)如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，
DB＝6，DH⊥AB于H，则DH等于( )
A. B. C．5 D．4知3－练知3－讲如图，菱形花坛ABCD的边长为20 m，∠ABC=60°，沿着菱形的对角线修建了两条小
路AC和BD. 求两条小路的长(结果保留小数点后
两位)和花坛的面积(结果保留小数点后一位).例4 ∵花坛ABCD的形状是菱形，
∴AC⊥BD，∠ABO = ∠ABC = × 60°= 30°.
在Rt△OAB中，AO = AB = ×20=10，
∴花坛的两条小路长AC = 2AO =20 (m)，
BD = 2BO=20 ≈34. 64 (m).
花坛的面积S四边形ABCD=4×S△OAB
= AC·BD=200 ≈346. 4 (m2).知3－讲解：知3－讲菱形的面积有三种计算方法：
(1)将其看成平行四边形，用底与高的积来求；
(2)对角线分得的四个全等直角三角形面积之和；
(3)两条对角线乘积的一半．
说明：读者可利用(1)(2)两种方法试一试；注意应
用(3)这种方法时不要忽视“一半”．1 已知菱形的两条对角线的长分别是6和8，求菱
形的周长和面积.知3－练2 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点
O，AB＝5，AC＝6，过点D作AC的平行线交BC的
延长线于点E，则△BDE的面积为( )
A．22 B．24 C．48 D．44知3－练知4－导4知识点菱形的对称性 如图，比较菱形的对角线和平行四边形的对角线，
我们发现，菱形的对角线把菱形分成四个全等的直角三
角形，而平行四边形通常只被分成两对全等的三角形.
菱形是轴对称图形，它的对角线所在的直线就是它
的对称轴.知4－导 菱形是轴对称图形，它有两条对称轴. 对
称轴是分别经过两组对角顶点的两条直线．例5 如图①，在菱形ABCD中，E，F分
别是CB，CD上的点，且BE＝DF.
(1)求证：AE＝AF.
(2)若∠B＝60°，点E，F分
别是BC，CD的中点，求证：△AEF为等边三角形.知4－讲(1)要证AE＝AF，只需证△AEB≌△AFD，由BE＝
DF及菱形的相关性质进行证明即可．(2)如图②，要
证△AEF为等边三角形，由AE＝AF知，只需证∠EAF
＝60°即可，要证∠EAF＝60°，只需证∠1＝∠2＝
30°即可，这可由菱形及等边三角形相关知识证出．导引：知4－讲(1)∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D.
又∵BE＝DF，
∴△ABE≌△ADF，∴AE＝AF.
(2)如图②，连接AC.
∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC.
又∵∠B＝60°，∴△ABC为等边三角形．
∴∠BAC＝60°.
∵E为BC的中点，∴∠1＝ ∠BAC＝30°.
同理∠2＝30°，∴∠EAF＝60°.
又∵AE＝AF，∴△AEF为等边三角形．证明：知4－讲 菱形的每条对角线把菱形分成两个全等的等腰三
角形(特殊时为两个全等的等边三角形)，两条对角线
把菱形分成四个全等的直角三角形．所以有关菱形的
一些证明与计算问题常常与特殊的三角形的有关问题
综合在一起．1 如图，在菱形ABCD中，P是AB上的一个动点(不
与A，B重合)，连接DP交对角线AC于点E，连接
EB.求证：∠APD＝∠EBC.知4－练2 如图，O是菱形ABCD的对角线AC，BD的交点，E，
F分别是OA，OC的中点，下列结论：①S△ADE＝
S△EOD；②四边形BFDE是轴对称图形；③△DEF是
轴对称图形；④∠ADE＝∠EDO.其中正确的有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个知4－练1．菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做
菱形
2．菱形的性质：
(1)它具有平行四边形的一切性质.
(2)菱形的四条边相等.
(3)菱形的对角线互相垂直， 并且一条对角线平分
一组对角.