18.2.4 菱形的判定课件
图片预览
文档简介
课件24张PPT。第十八章 平行四边形18.2 特殊的平行四边形第3课时 菱形的判定1课堂讲解由对角线的位置关系判定菱形
由边的数量关系判定菱形2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升 要判定一个四边形是菱形，除根据定义判定
外，还有其它的判定方法吗？1知识点由对角线的位置关系判定菱形 用一长一短两根细木条,在它们的中点处固定一个
小钉子，做成一个可转动的十字架，四周围上一根橡
皮筋，做成一个四边形.知1－导问题1 任意转动木条，这个四边形总有什么特征？你能证明你发现的结论吗？（平行四边形左图）继续转动木条，观察什么时候橡皮筋周围的四边形变成菱形？你能证明你的猜想吗？
猜想:对角线互相垂直的平行四边形是菱形.知1－导问题2这个命题的前提是什么？结论是什么？
用几何语言表示命题如下：
已知：在□ABCD中，对角线AC⊥BD，
求证：□ABCD是菱形.
我们可根据菱形的定义来证明这个平行四边形是
菱形，由平行四边形的性质得到BO=DO，由∠AOB=
∠AOD=90o及AO=AO，得△AOB≌△AOD，可得到
AB=AD (或根据线段垂直平分线性质定理,得到AB=
AD) ，最后证得□ABCD是菱形.知1－导问题3分析：知1－导 对角线互相垂直的平行四边形是菱形.提示：此方
法包括两个条件——(1)是一个平行四边形；(2)两条对
角线互相垂直。对角线互相垂直且平分的四边形是菱形.例1 如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且
AB=5，AO=4，BO=3.求证： □ ABCD 是菱形.知1－讲∵AB=5，AO=4，BO=3，
∴AB2=AO2+BO2.
∴△OAB是直角三角形，
AC⊥BD.
∴□ABCD 是菱形.证明：知1－讲证明一个四边形是菱形的方法：
若已知要证的四边形的对角线互相垂直，则要
考虑证明这个四边形是平行四边形．1 求证：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.知1－练(2016·齐齐哈尔)如图，?ABCD的对角线AC，BD
相交于点O，请你添加一个适当的条件_______使
其成为菱形(只填一个即可)．3 下列命题中正确的是( )
A．对角线相等的四边形是菱形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线相等的平行四边形是菱形
D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形知1－练2知识点由边的数量关系判定菱形知2－导 我们知道，菱形的四条边相等. 反过来，四条边
相等的四边形是菱形吗?思考知2－讲例2 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，
点E，F，G，H分别是AD，BD，BC，AC的中
点．试说明：四边形EFGH是菱形．由于点E，F，G，H分别是AD，BD，
BC，AC的中点，可知EH，HG，
GF，FE分别是△ACD，△ABC，△BCD，△ABD
的中位线，又∵AB＝CD，∴EH＝HG＝GF＝FE，
根据“四条边相等的四边形是菱形”可得四边形
EFGH是菱形． 导引：知2－讲∵点E，H分别为AD，AC的中点，
∴EH为△ACD的中位线，∴EH＝ CD.
同理可证：EF＝ AB，FG＝ CD，HG＝ AB.
∵AB＝CD，
∴EH＝EF＝FG＝HG，
∴四边形EFGH是菱形．解：知2－讲 有较多线段相等的条件时，我们可考虑通过证明
四条边相等来证明这个四边形是菱形．注意：本例也
可以通过先证四边形EFGH是平行四边形，再证一组
邻边相等，只不过步骤复杂一点，读者不妨试一试．知2－练1 求证：四条边相等的四边形是菱形.(中考·十堰)如图，在△ABC中，点D是BC的中点，
点E，F分别在线段AD及其延长线上，且DE＝DF.
给出下列条件：①BE⊥EC；
②BF∥CE；③AB＝AC. 从中
选择一个条件使四边形BECF
是菱形，你认为这个条件是
________．(只填写序号)3 (2016·遵义)如图，在?ABCD中，对角线AC与BD交于
点O，若增加一个条件，使?ABCD成为菱形，下列给
出的条件不正确的是( )
A．AB＝AD
B．AC⊥BD
C．AC＝BD
D．∠BAC＝∠DAC知2－练要证明一个四边形是菱形，
一般先证明它是平行四边
形，再证明它的一组邻边
相等或对角线互相垂直．知2－讲例3 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC
交BC于点D，CH⊥AB于点H，交AD于点F，DE⊥
AB于点E，那么四边形CDEF是菱形吗？说说你的
理由．导引：四边形CDEF是菱形．理由如下：
∵CH⊥AB，DE⊥AB，∴CF∥DE，∠4＋∠5＝90°.
∵∠ACB＝90°，∴∠2＋∠3＝90°，DC⊥AC.
又∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，
∴∠3＝∠4，DC＝DE，∴∠2＝∠5.
又∵∠1＝∠5，∴∠1＝∠2.
∴CF＝CD，∴CF＝DE，即CF DE.
∴四边形CDEF是平行四边形．
又∵DC＝DE，∴四边形CDEF是菱形．知2－讲解：知2－讲判定菱形的方法：
①若用对角线进行判定：先证明四边形是平行四边形，
再证明对角线互相垂直，或直接证明四边形的对角
线互相垂直平分；
②若用边进行判定：先证明四边形是平行四边形，再
证明一组邻边相等，或直接证明四边形的四条边都
相等．1 如图，在?ABCD中，点E，F分别为AB，CD的中
点，BD是对角线．过点A作AG∥DB交CB的延长
线于点G.
(1)求证：DE∥BF；
(2)若∠G＝90°，求证：四边形DEBF是菱形．知2－练(2016·兰州)如图，矩形ABCD的对角线AC与BD
相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，AD＝2 ，
DE＝2，则四边形OCED的面积( )
A．2
B．4
C．4
D．8知3－练如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连
接AD，下列条件能够判定四边形ABCD为菱形
的是( )
A．AB＝BC
B．AC＝BC
C．∠B＝60°
D．∠ACB＝60°知3－练1．通过探究，本节课你得到了哪些结论？有什么
认识？
2．菱形的判定方法有哪些？
由边的数量关系判定菱形2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升 要判定一个四边形是菱形，除根据定义判定
外，还有其它的判定方法吗？1知识点由对角线的位置关系判定菱形 用一长一短两根细木条,在它们的中点处固定一个
小钉子，做成一个可转动的十字架，四周围上一根橡
皮筋，做成一个四边形.知1－导问题1 任意转动木条，这个四边形总有什么特征？你能证明你发现的结论吗？（平行四边形左图）继续转动木条，观察什么时候橡皮筋周围的四边形变成菱形？你能证明你的猜想吗？
猜想:对角线互相垂直的平行四边形是菱形.知1－导问题2这个命题的前提是什么？结论是什么？
用几何语言表示命题如下：
已知：在□ABCD中，对角线AC⊥BD，
求证：□ABCD是菱形.
我们可根据菱形的定义来证明这个平行四边形是
菱形，由平行四边形的性质得到BO=DO，由∠AOB=
∠AOD=90o及AO=AO，得△AOB≌△AOD，可得到
AB=AD (或根据线段垂直平分线性质定理,得到AB=
AD) ，最后证得□ABCD是菱形.知1－导问题3分析：知1－导 对角线互相垂直的平行四边形是菱形.提示：此方
法包括两个条件——(1)是一个平行四边形；(2)两条对
角线互相垂直。对角线互相垂直且平分的四边形是菱形.例1 如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且
AB=5，AO=4，BO=3.求证： □ ABCD 是菱形.知1－讲∵AB=5，AO=4，BO=3，
∴AB2=AO2+BO2.
∴△OAB是直角三角形，
AC⊥BD.
∴□ABCD 是菱形.证明：知1－讲证明一个四边形是菱形的方法：
若已知要证的四边形的对角线互相垂直，则要
考虑证明这个四边形是平行四边形．1 求证：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.知1－练(2016·齐齐哈尔)如图，?ABCD的对角线AC，BD
相交于点O，请你添加一个适当的条件_______使
其成为菱形(只填一个即可)．3 下列命题中正确的是( )
A．对角线相等的四边形是菱形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线相等的平行四边形是菱形
D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形知1－练2知识点由边的数量关系判定菱形知2－导 我们知道，菱形的四条边相等. 反过来，四条边
相等的四边形是菱形吗?思考知2－讲例2 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，
点E，F，G，H分别是AD，BD，BC，AC的中
点．试说明：四边形EFGH是菱形．由于点E，F，G，H分别是AD，BD，
BC，AC的中点，可知EH，HG，
GF，FE分别是△ACD，△ABC，△BCD，△ABD
的中位线，又∵AB＝CD，∴EH＝HG＝GF＝FE，
根据“四条边相等的四边形是菱形”可得四边形
EFGH是菱形． 导引：知2－讲∵点E，H分别为AD，AC的中点，
∴EH为△ACD的中位线，∴EH＝ CD.
同理可证：EF＝ AB，FG＝ CD，HG＝ AB.
∵AB＝CD，
∴EH＝EF＝FG＝HG，
∴四边形EFGH是菱形．解：知2－讲 有较多线段相等的条件时，我们可考虑通过证明
四条边相等来证明这个四边形是菱形．注意：本例也
可以通过先证四边形EFGH是平行四边形，再证一组
邻边相等，只不过步骤复杂一点，读者不妨试一试．知2－练1 求证：四条边相等的四边形是菱形.(中考·十堰)如图，在△ABC中，点D是BC的中点，
点E，F分别在线段AD及其延长线上，且DE＝DF.
给出下列条件：①BE⊥EC；
②BF∥CE；③AB＝AC. 从中
选择一个条件使四边形BECF
是菱形，你认为这个条件是
________．(只填写序号)3 (2016·遵义)如图，在?ABCD中，对角线AC与BD交于
点O，若增加一个条件，使?ABCD成为菱形，下列给
出的条件不正确的是( )
A．AB＝AD
B．AC⊥BD
C．AC＝BD
D．∠BAC＝∠DAC知2－练要证明一个四边形是菱形，
一般先证明它是平行四边
形，再证明它的一组邻边
相等或对角线互相垂直．知2－讲例3 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC
交BC于点D，CH⊥AB于点H，交AD于点F，DE⊥
AB于点E，那么四边形CDEF是菱形吗？说说你的
理由．导引：四边形CDEF是菱形．理由如下：
∵CH⊥AB，DE⊥AB，∴CF∥DE，∠4＋∠5＝90°.
∵∠ACB＝90°，∴∠2＋∠3＝90°，DC⊥AC.
又∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，
∴∠3＝∠4，DC＝DE，∴∠2＝∠5.
又∵∠1＝∠5，∴∠1＝∠2.
∴CF＝CD，∴CF＝DE，即CF DE.
∴四边形CDEF是平行四边形．
又∵DC＝DE，∴四边形CDEF是菱形．知2－讲解：知2－讲判定菱形的方法：
①若用对角线进行判定：先证明四边形是平行四边形，
再证明对角线互相垂直，或直接证明四边形的对角
线互相垂直平分；
②若用边进行判定：先证明四边形是平行四边形，再
证明一组邻边相等，或直接证明四边形的四条边都
相等．1 如图，在?ABCD中，点E，F分别为AB，CD的中
点，BD是对角线．过点A作AG∥DB交CB的延长
线于点G.
(1)求证：DE∥BF；
(2)若∠G＝90°，求证：四边形DEBF是菱形．知2－练(2016·兰州)如图，矩形ABCD的对角线AC与BD
相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，AD＝2 ，
DE＝2，则四边形OCED的面积( )
A．2
B．4
C．4
D．8知3－练如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连
接AD，下列条件能够判定四边形ABCD为菱形
的是( )
A．AB＝BC
B．AC＝BC
C．∠B＝60°
D．∠ACB＝60°知3－练1．通过探究，本节课你得到了哪些结论？有什么
认识？
2．菱形的判定方法有哪些？