18.2.5 正方形及其性质课件
图片预览
文档简介
课件24张PPT。第十八章 平行四边形18.2 特殊的平行四边形第3课时 正方形及其
性质1课堂讲解正方形的定义
正方形边的性质
正方形角的性质2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升鞋匠们钉鞋时常用的铁钉的横截面的形状，不像普通铁钉那样是圆的，而呈正方形，你们知道其中的原因吗？你提的问题十分有趣，为什么是正方形而不是圆形，这是正方形独特的性质所起的作用，我们只要再进一步深入接触正方形就会知道其中的道理1知识点正方形的定义做一做：
用一张长方形的纸片（如图所示）折出一个正
方形．
什么样的四边形是正方形？知1－导知1－导 正方形(square)是我们熟悉的几何图形，它的四
条边都相等，四个角都是直角. 因此，正方形既是矩
形，又是菱形(如图).它既有矩形的性质，又有菱形的
性质.正方形的定义：四条边都相等，四个角都是直角的四
边形叫做正方形；
要点精析：
(1)正方形的四条边相等，说明正方形是特殊的菱形；
(2)正方形的四个角都是直角，说明正方形是特殊的矩
形．
即：正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形．知1－讲例1 如图，已知点E是正方形ABCD的边CD上一点，点
F是CB的延长线上一点，且EA⊥AF. 求证：DE
=BE.知1－讲本题要证明两条线段相等，而证明
线段相等的方法有很多，根据题中
所给的条件，由正方形ABCD，我们可以得到边
相等，角相等，也可以得到平行，所以在可以得
到比较多的条件的情况下，一般会想到用全等去
解决，而本题中全等的条件也很充足，那么问题
即可解决．分析：知1－讲∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠D=∠ABF=∠BAD=90°．
∴∠BAE+∠EAD=90°．
∴EA⊥AF，
∴∠BAE+∠FAB=90°．
∴∠EAD=∠FAB．
∴△ABF≌△ADE．
∴DE=BF.证明：知1－讲 知道正方形就说明它的四边都相等，四个角
都是直角.1 如图，ABCD是正方形，G是BC上(除端点外)的任
意一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE，交AG于点F．
下列结论不一定成立的是( )
A．△AED≌△BFA
B．DE－BF＝EF
C．△BGF∽△DAE
D．DE－BG＝FG知1－练2 下面四个定义中不正确的是( )
A．有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
B．有一组邻边相等的四边形叫做菱形
C．有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行
四边形叫做正方形
D．有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形知1－练3 下列说法错误的是( )
A．正方形是平行四边形
B．正方形是菱形
C．正方形是矩形
D．菱形和矩形都是正方形知1－练2知识点正方形边的性质知2－讲正方形的性质：
具有矩形、菱形、平行四边形的一切性质，即
四条边相等，邻边垂直，对边平行；知2－讲例2 已知：如图，在正方形ABCD中，对角线的交
点为O，E是OB上的一点，DG⊥AE于G，DG
交AO于F，求证：EF∥AB.要证EF∥AB，由于∠OBA＝45°，
∠EOF＝90°，即需证∠OEF＝
45°，即要证明OE＝OF，而
OE＝OF可通过证明△AEO≌△DFO获得．导引：知2－讲∵四边形ABCD是正方形，
∴∠AOE＝∠DOF＝90°，AO＝DO，∠OBA＝45°.
又∵DG⊥AE，
∴∠EAO＋∠AEO＝∠EDG＋∠GED＝90°.
∵∠AEO＝∠GED，∴∠EAO＝∠EDG＝∠FDO.
∴△AEO≌△DFO(ASA)．∴OE＝OF.
∴∠OEF＝45°. ∴∠OEF＝∠OBA.
∴EF∥AB.证明：知2－讲 通过证明三角形全等得到边和角相等，再进一步
得到平行或垂直，是有关正方形中证边或角相等的最
常用的方法，而正方形的四条边相等，四个角都是直
角为证明三角形全等提供了条件．1 如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于
点O，E，F分别在OD，OC上，且DE＝CF，连接
DF，AE，AE的延长线交DF于点M.
求证：AM⊥DF.知2－练2 正方形具有而矩形不一定具有的性质是( )
A．四个角都相等 B．四条边相等
C．对角线相等 D．对角线互相平分
3 (2016·广东)如图，正方形ABCD的面积为1，则以
相邻两边中点连线EF为边的正方形EFGH的周长
为( )
A. B．2
C. ＋1 D．2 ＋1
知2－练3知识点正方形角的性质知3－讲例3 如图，正方形ABCD的边长为1 cm，AC为对角线，
AE平分∠BAC，EF⊥AC，求BE的长．线段BE是Rt△ABE的一边，但由于
AE未知，不能直接用勾股定理求BE，
由条件可证△ABE≌△AFE，问题转
化为求EF的长，结合已知条件易获解．导引： ∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B＝90°，∠ACB＝45°，AB＝BC＝1 cm.
∵EF⊥AC，∴∠EFA＝∠EFC＝90°.
又∵∠ECF＝45°，
∴△EFC是等腰直角三角形，∴EF＝FC.
∵∠BAE＝∠FAE，∠B＝∠EFA＝90°，AE＝AE，
∴△ABE≌△AFE.
∴AB＝AF＝1 cm，BE＝EF，∴FC＝BE.
在Rt△ABC中，AC
∴FC＝AC－AF＝( －1)(cm)，∴BE＝( －1) cm.知3－讲解：知3－讲 解有关正方形的问题，要充分利用正方形的四边
相等、四角相等、对角线垂直平分且相等等性质，正
方形的性质、等腰直角三角形的特点、勾股定理是解
决正方形的相关证明与计算问题的三把钥匙．1 如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AC
上一点，连接EB，ED.
(1)求证：△BEC≌△DEC；
(2)延长BE交AD于F，当∠BED＝120°时，求
∠EFD的度数．知3－练2 (2015·怀化)如图，在正方形ABCD中，如果AF
＝BE，那么∠AOD的度数是________．知3－练 正方形同时具备平行四边形、矩形、菱形的所有
性质，因此，正方形的四个角都是直角，四条边都相
等，对角线互相垂直平分且相等，每一条对角线平分
一组对角，正方形是轴对称图形，有四条对称轴．这
些性质为证明线段相等、垂直，角相等提供了重要的
依据．
性质1课堂讲解正方形的定义
正方形边的性质
正方形角的性质2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升鞋匠们钉鞋时常用的铁钉的横截面的形状，不像普通铁钉那样是圆的，而呈正方形，你们知道其中的原因吗？你提的问题十分有趣，为什么是正方形而不是圆形，这是正方形独特的性质所起的作用，我们只要再进一步深入接触正方形就会知道其中的道理1知识点正方形的定义做一做：
用一张长方形的纸片（如图所示）折出一个正
方形．
什么样的四边形是正方形？知1－导知1－导 正方形(square)是我们熟悉的几何图形，它的四
条边都相等，四个角都是直角. 因此，正方形既是矩
形，又是菱形(如图).它既有矩形的性质，又有菱形的
性质.正方形的定义：四条边都相等，四个角都是直角的四
边形叫做正方形；
要点精析：
(1)正方形的四条边相等，说明正方形是特殊的菱形；
(2)正方形的四个角都是直角，说明正方形是特殊的矩
形．
即：正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形．知1－讲例1 如图，已知点E是正方形ABCD的边CD上一点，点
F是CB的延长线上一点，且EA⊥AF. 求证：DE
=BE.知1－讲本题要证明两条线段相等，而证明
线段相等的方法有很多，根据题中
所给的条件，由正方形ABCD，我们可以得到边
相等，角相等，也可以得到平行，所以在可以得
到比较多的条件的情况下，一般会想到用全等去
解决，而本题中全等的条件也很充足，那么问题
即可解决．分析：知1－讲∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠D=∠ABF=∠BAD=90°．
∴∠BAE+∠EAD=90°．
∴EA⊥AF，
∴∠BAE+∠FAB=90°．
∴∠EAD=∠FAB．
∴△ABF≌△ADE．
∴DE=BF.证明：知1－讲 知道正方形就说明它的四边都相等，四个角
都是直角.1 如图，ABCD是正方形，G是BC上(除端点外)的任
意一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE，交AG于点F．
下列结论不一定成立的是( )
A．△AED≌△BFA
B．DE－BF＝EF
C．△BGF∽△DAE
D．DE－BG＝FG知1－练2 下面四个定义中不正确的是( )
A．有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
B．有一组邻边相等的四边形叫做菱形
C．有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行
四边形叫做正方形
D．有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形知1－练3 下列说法错误的是( )
A．正方形是平行四边形
B．正方形是菱形
C．正方形是矩形
D．菱形和矩形都是正方形知1－练2知识点正方形边的性质知2－讲正方形的性质：
具有矩形、菱形、平行四边形的一切性质，即
四条边相等，邻边垂直，对边平行；知2－讲例2 已知：如图，在正方形ABCD中，对角线的交
点为O，E是OB上的一点，DG⊥AE于G，DG
交AO于F，求证：EF∥AB.要证EF∥AB，由于∠OBA＝45°，
∠EOF＝90°，即需证∠OEF＝
45°，即要证明OE＝OF，而
OE＝OF可通过证明△AEO≌△DFO获得．导引：知2－讲∵四边形ABCD是正方形，
∴∠AOE＝∠DOF＝90°，AO＝DO，∠OBA＝45°.
又∵DG⊥AE，
∴∠EAO＋∠AEO＝∠EDG＋∠GED＝90°.
∵∠AEO＝∠GED，∴∠EAO＝∠EDG＝∠FDO.
∴△AEO≌△DFO(ASA)．∴OE＝OF.
∴∠OEF＝45°. ∴∠OEF＝∠OBA.
∴EF∥AB.证明：知2－讲 通过证明三角形全等得到边和角相等，再进一步
得到平行或垂直，是有关正方形中证边或角相等的最
常用的方法，而正方形的四条边相等，四个角都是直
角为证明三角形全等提供了条件．1 如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于
点O，E，F分别在OD，OC上，且DE＝CF，连接
DF，AE，AE的延长线交DF于点M.
求证：AM⊥DF.知2－练2 正方形具有而矩形不一定具有的性质是( )
A．四个角都相等 B．四条边相等
C．对角线相等 D．对角线互相平分
3 (2016·广东)如图，正方形ABCD的面积为1，则以
相邻两边中点连线EF为边的正方形EFGH的周长
为( )
A. B．2
C. ＋1 D．2 ＋1
知2－练3知识点正方形角的性质知3－讲例3 如图，正方形ABCD的边长为1 cm，AC为对角线，
AE平分∠BAC，EF⊥AC，求BE的长．线段BE是Rt△ABE的一边，但由于
AE未知，不能直接用勾股定理求BE，
由条件可证△ABE≌△AFE，问题转
化为求EF的长，结合已知条件易获解．导引： ∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B＝90°，∠ACB＝45°，AB＝BC＝1 cm.
∵EF⊥AC，∴∠EFA＝∠EFC＝90°.
又∵∠ECF＝45°，
∴△EFC是等腰直角三角形，∴EF＝FC.
∵∠BAE＝∠FAE，∠B＝∠EFA＝90°，AE＝AE，
∴△ABE≌△AFE.
∴AB＝AF＝1 cm，BE＝EF，∴FC＝BE.
在Rt△ABC中，AC
∴FC＝AC－AF＝( －1)(cm)，∴BE＝( －1) cm.知3－讲解：知3－讲 解有关正方形的问题，要充分利用正方形的四边
相等、四角相等、对角线垂直平分且相等等性质，正
方形的性质、等腰直角三角形的特点、勾股定理是解
决正方形的相关证明与计算问题的三把钥匙．1 如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AC
上一点，连接EB，ED.
(1)求证：△BEC≌△DEC；
(2)延长BE交AD于F，当∠BED＝120°时，求
∠EFD的度数．知3－练2 (2015·怀化)如图，在正方形ABCD中，如果AF
＝BE，那么∠AOD的度数是________．知3－练 正方形同时具备平行四边形、矩形、菱形的所有
性质，因此，正方形的四个角都是直角，四条边都相
等，对角线互相垂直平分且相等，每一条对角线平分
一组对角，正方形是轴对称图形，有四条对称轴．这
些性质为证明线段相等、垂直，角相等提供了重要的
依据．