18.2.6 正方形的判定课件
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课件26张PPT。第十八章 平行四边形18.2 特殊的平行四边形第3课时 正方形的判定1课堂讲解正方形面积的性质
正方形的判定2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升 相传，上古神话人物伏羲在黄河边行走，得到龙马送来的“河图”(如下图所示)，在洛水边又得到神龟送来的“洛书”．“河图”、“洛书”是几千年前的两幅图象，是正方形的图案，由点和线交织而成，充满了巧妙的数字关系，说明中华祖先很早对于几何和代数的研究．充分显示了中华祖先的聪明才智．1知识点正方形面积的性质例1 如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC
＝2AE，直角三角形FEG的两直角边EF、EG分别
交BC、DC于点M、N.若正方形ABCD的边长为a，
则重叠部分四边形EMCN的面积为( )
A. a2 B. a2
C. a2 D. a2知1－讲D作EP⊥BC于点P，EQ⊥CD于点Q，易得△EPM
≌△EQN，利用四边形EMCN的面积等于正方形
PCQE的面积求解．
作EP⊥BC于点P，EQ⊥CD于点Q，
∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，
又∵∠EPM＝∠EQN＝90°，∴∠PEQ＝90°，
∴∠PEM＋∠MEQ＝90°，
∵三角形FEG是直角三角形，∴∠NEF＝∠NEQ＋
∠MEQ＝90°，∴∠PEM＝∠NEQ，
∵CA是∠BCD的角平分线，∠EPC＝∠EQC＝90°，
∴EP＝EQ，四边形PCQE是正方形，知1－讲导引：
在△EPM和△EQN中，
∴△EPM≌△EQN(ASA)，∴S△EQN＝S△EPM，
∴四边形EMCN的面积等于正方形PCQE的面积，
∵正方形ABCD的边长为a，∴AC＝ a，
∵EC＝2AE，∴EC＝ a，∴EP＝PC＝ a，
∴正方形PCQE的面积＝ a× a＝ a2，
∴四边形EMCN的面积＝ a2.知1－讲知1－讲 本例解法在于巧用割补法，将分散的图形拼合在
一起，将不规则的阴影面积集中到一个规则的图形中，
再利用正方形及三角形的性质求出，解答过程体现了
割补法及转化思想．1 〈枣庄〉如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆
时针旋转45°得到正方形 AB1C1D1，边 B1C1与
CD交于点O，则四边形AB1OD的面积是( )
A. B. C. D. －1知1－练2 如图，正方形ABCD的边长为2，H在CD的延长线
上，四边形CEFH也为正方形，则△DBF的面积
为( )
A．4 B. C．2 D．2知1－练2知识点正方形的判定知2－导 正方形有哪些性质？如何判定一个四边形是正方
形？把它们写出来，并和同学交流一下，然后证明其
中的一些结论.思考知2－导 我们学习了平行四边形、矩形、菱形、正方形，
那么思考一下，它们之间有怎样的包含关系？问题知2－讲正方形的判定方法：
要判定一个四边形是正方形，最常用的方法就是
先证明它是矩形(或菱形)，再证明这个矩形(或菱形)有
一组邻边相等(或有一个角是直角)，其实质就是根据正
方形的定义来判定，当然也可以先证四边形是平行四
边形，再证有一组邻边相等且有一个角是直角，或证
这个平行四边形的对角线相等并且互相垂直．知2－讲例2 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD平分
∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E，
F. 求证：四边形CFDE是正方形．要证四边形CFDE是正方形，
首先要确定这个正方形建立
在哪种四边形的基础上，即
先证它是什么四边形；再证
这种四边形是正方形需要补
充的条件．导引：知2－讲证法一：∵DE⊥BC，AC⊥BC，∴DE∥CF.
同理DF∥CE，
∴四边形CFDE是平行四边形．
∵CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∴? CFDE是菱形．
∵∠ACB＝90°，∴菱形CFDE是正方形．
证法二：∵∠ECF＝∠CFD＝∠CED＝90°，
∴四边形CFDE是矩形．
∵CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∴矩形CFDE是正方形．知2－讲 证明条件中不含对角线的四边形是正方形的四种
方法：方法1：证：“四边形＋四边相等＋四个直角”；
方法2：证：“平行四边形＋一组邻边相等＋一个直
角”；方法3：证：“矩形＋一组邻边相等”；方法4：
证：“菱形＋一个直角”．
说明：在判定四边形是正方形时，四边形常常是
建立在矩形或菱形的基础上，采用方法3、方法4进行
证明；如证明中的证法一、证法二；本例也可采用方
法1、方法2，请读者去试一试．1 已知：如图，点M是矩形ABCD的边AD的中点，点
P是BC边上的一动点，PE⊥CM，PF⊥BM，垂足
分别为E、F.
(1)当矩形ABCD的长与宽满足
什么条件时，四边形PEMF
为矩形？试说明理由；
(2)在(1)中，当点P运动到什么位置时，矩形PEMF
为正方形？为什么？知2－练2 下列选项中不能判定四边形ABCD是正方形(对角
线交于点O)的是( )
A．AB CD，AB＝AD，∠BAD＝90°
B．AB＝BC＝CD＝AD，∠ABC＝90°
C．∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝90°，AC＝BD
D．AO＝CO＝BO＝DO，AC⊥BD知2－练知2－讲例3 如图，已知在?ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E
是BD的延长线上的点，且EA＝EC.
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)若∠DAC＝∠EAD＋∠AED，
求证：四边形ABCD是正方形．要证?ABCD是正方形，有三种途径可走：即在平行四
边形、菱形、矩形的基础上，找各需补充的对角线的
条件进行证明；若要证明?ABCD是菱形，由于题中条
件与对角线相关，则需证AC⊥BD.导引：知2－讲(1)首先根据平行四边形的性质可得AO＝CO，再由EA
＝EC可得△EAC是等腰三角形，然后根据等腰三角
形三线合一的性质可得EO⊥AC，根据对角线互相
垂直的平行四边形是菱形可证出结论；
(2)首先根据角的关系得出AO＝DO，进而得到AC＝
BD，再根据对角线相等的菱形是正方形可得到结
论．知2－讲 (1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO，
∵EA＝EC，∴EO⊥AC，即BD⊥AC，
∴四边形ABCD是菱形．
(2)∵∠ADO＝∠EAD＋∠AED，
∠DAC＝∠EAD＋∠AED，
∴∠ADO＝∠DAC，∴AO＝DO，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC＝2AO，BD＝2DO，
∴AC＝BD，∴四边形ABCD是正方形.证明：知2－讲 证明条件中含对角线的四边形是正方形的方法：
(1)证：“四边形＋对角线互相垂直、平分且相等”；
(2)证：“平行四边形＋对角线互相垂直且相等”；
(3)证：“矩形＋对角线互相垂直”；
(4)证：“菱形＋对角线相等”．
证明一个四边形是正方形的方法：需结合条件选
择合理的判定方法，一般先证明是矩形，然后找出一
组邻边相等或对角线互相垂直；或者先证明是菱形，
然后找一个角是直角或对角线相等．1 如图，已知?ABCD中，对角线AC，BD交于点O，
E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形，
若∠AED＝2∠EAD.
求证：四边形ABCD是正方形．知2－练2 (2016·益阳)下列判断错误的是( )
A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B．四个内角都相等的四边形是矩形
C．四条边都相等的四边形是菱形
D．两条对角线垂直且互相平分的四边形是正方形知2－练3 (2015·日照)小明在学习了正方形之后，给同桌小文
出了道题，从下列四个条件：①AB＝BC；②∠ABC
＝90°；③AC＝BD；④AC⊥BD中选两个作为补充
条件，使?ABCD为正方形(如图)，现有下列四种选法，
你认为其中错误的是( )
A．①② B．②③ C．①③ D．②④知2－练 证明条件中不含对角线的四边形是正方形的四
种方法：
方法1：证：“四边形＋四边相等＋四个直角”；
方法2：证：“平行四边形＋一组邻边相等＋一个直
角”；
方法3：证：“矩形＋一组邻边相等”；
方法4：证：“菱形＋一个直角”． 证明条件中含对角线的四边形是正方形的方法：
(1)证：“四边形＋对角线互相垂直、平分且相等”；
(2)证：“平行四边形＋对角线互相垂直且相等”；
(3)证：“矩形＋对角线互相垂直”；
(4)证：“菱形＋对角线相等”．
正方形的判定2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升 相传，上古神话人物伏羲在黄河边行走，得到龙马送来的“河图”(如下图所示)，在洛水边又得到神龟送来的“洛书”．“河图”、“洛书”是几千年前的两幅图象，是正方形的图案，由点和线交织而成，充满了巧妙的数字关系，说明中华祖先很早对于几何和代数的研究．充分显示了中华祖先的聪明才智．1知识点正方形面积的性质例1 如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC
＝2AE，直角三角形FEG的两直角边EF、EG分别
交BC、DC于点M、N.若正方形ABCD的边长为a，
则重叠部分四边形EMCN的面积为( )
A. a2 B. a2
C. a2 D. a2知1－讲D作EP⊥BC于点P，EQ⊥CD于点Q，易得△EPM
≌△EQN，利用四边形EMCN的面积等于正方形
PCQE的面积求解．
作EP⊥BC于点P，EQ⊥CD于点Q，
∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，
又∵∠EPM＝∠EQN＝90°，∴∠PEQ＝90°，
∴∠PEM＋∠MEQ＝90°，
∵三角形FEG是直角三角形，∴∠NEF＝∠NEQ＋
∠MEQ＝90°，∴∠PEM＝∠NEQ，
∵CA是∠BCD的角平分线，∠EPC＝∠EQC＝90°，
∴EP＝EQ，四边形PCQE是正方形，知1－讲导引：
在△EPM和△EQN中，
∴△EPM≌△EQN(ASA)，∴S△EQN＝S△EPM，
∴四边形EMCN的面积等于正方形PCQE的面积，
∵正方形ABCD的边长为a，∴AC＝ a，
∵EC＝2AE，∴EC＝ a，∴EP＝PC＝ a，
∴正方形PCQE的面积＝ a× a＝ a2，
∴四边形EMCN的面积＝ a2.知1－讲知1－讲 本例解法在于巧用割补法，将分散的图形拼合在
一起，将不规则的阴影面积集中到一个规则的图形中，
再利用正方形及三角形的性质求出，解答过程体现了
割补法及转化思想．1 〈枣庄〉如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆
时针旋转45°得到正方形 AB1C1D1，边 B1C1与
CD交于点O，则四边形AB1OD的面积是( )
A. B. C. D. －1知1－练2 如图，正方形ABCD的边长为2，H在CD的延长线
上，四边形CEFH也为正方形，则△DBF的面积
为( )
A．4 B. C．2 D．2知1－练2知识点正方形的判定知2－导 正方形有哪些性质？如何判定一个四边形是正方
形？把它们写出来，并和同学交流一下，然后证明其
中的一些结论.思考知2－导 我们学习了平行四边形、矩形、菱形、正方形，
那么思考一下，它们之间有怎样的包含关系？问题知2－讲正方形的判定方法：
要判定一个四边形是正方形，最常用的方法就是
先证明它是矩形(或菱形)，再证明这个矩形(或菱形)有
一组邻边相等(或有一个角是直角)，其实质就是根据正
方形的定义来判定，当然也可以先证四边形是平行四
边形，再证有一组邻边相等且有一个角是直角，或证
这个平行四边形的对角线相等并且互相垂直．知2－讲例2 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD平分
∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E，
F. 求证：四边形CFDE是正方形．要证四边形CFDE是正方形，
首先要确定这个正方形建立
在哪种四边形的基础上，即
先证它是什么四边形；再证
这种四边形是正方形需要补
充的条件．导引：知2－讲证法一：∵DE⊥BC，AC⊥BC，∴DE∥CF.
同理DF∥CE，
∴四边形CFDE是平行四边形．
∵CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∴? CFDE是菱形．
∵∠ACB＝90°，∴菱形CFDE是正方形．
证法二：∵∠ECF＝∠CFD＝∠CED＝90°，
∴四边形CFDE是矩形．
∵CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∴矩形CFDE是正方形．知2－讲 证明条件中不含对角线的四边形是正方形的四种
方法：方法1：证：“四边形＋四边相等＋四个直角”；
方法2：证：“平行四边形＋一组邻边相等＋一个直
角”；方法3：证：“矩形＋一组邻边相等”；方法4：
证：“菱形＋一个直角”．
说明：在判定四边形是正方形时，四边形常常是
建立在矩形或菱形的基础上，采用方法3、方法4进行
证明；如证明中的证法一、证法二；本例也可采用方
法1、方法2，请读者去试一试．1 已知：如图，点M是矩形ABCD的边AD的中点，点
P是BC边上的一动点，PE⊥CM，PF⊥BM，垂足
分别为E、F.
(1)当矩形ABCD的长与宽满足
什么条件时，四边形PEMF
为矩形？试说明理由；
(2)在(1)中，当点P运动到什么位置时，矩形PEMF
为正方形？为什么？知2－练2 下列选项中不能判定四边形ABCD是正方形(对角
线交于点O)的是( )
A．AB CD，AB＝AD，∠BAD＝90°
B．AB＝BC＝CD＝AD，∠ABC＝90°
C．∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝90°，AC＝BD
D．AO＝CO＝BO＝DO，AC⊥BD知2－练知2－讲例3 如图，已知在?ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E
是BD的延长线上的点，且EA＝EC.
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)若∠DAC＝∠EAD＋∠AED，
求证：四边形ABCD是正方形．要证?ABCD是正方形，有三种途径可走：即在平行四
边形、菱形、矩形的基础上，找各需补充的对角线的
条件进行证明；若要证明?ABCD是菱形，由于题中条
件与对角线相关，则需证AC⊥BD.导引：知2－讲(1)首先根据平行四边形的性质可得AO＝CO，再由EA
＝EC可得△EAC是等腰三角形，然后根据等腰三角
形三线合一的性质可得EO⊥AC，根据对角线互相
垂直的平行四边形是菱形可证出结论；
(2)首先根据角的关系得出AO＝DO，进而得到AC＝
BD，再根据对角线相等的菱形是正方形可得到结
论．知2－讲 (1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO，
∵EA＝EC，∴EO⊥AC，即BD⊥AC，
∴四边形ABCD是菱形．
(2)∵∠ADO＝∠EAD＋∠AED，
∠DAC＝∠EAD＋∠AED，
∴∠ADO＝∠DAC，∴AO＝DO，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC＝2AO，BD＝2DO，
∴AC＝BD，∴四边形ABCD是正方形.证明：知2－讲 证明条件中含对角线的四边形是正方形的方法：
(1)证：“四边形＋对角线互相垂直、平分且相等”；
(2)证：“平行四边形＋对角线互相垂直且相等”；
(3)证：“矩形＋对角线互相垂直”；
(4)证：“菱形＋对角线相等”．
证明一个四边形是正方形的方法：需结合条件选
择合理的判定方法，一般先证明是矩形，然后找出一
组邻边相等或对角线互相垂直；或者先证明是菱形，
然后找一个角是直角或对角线相等．1 如图，已知?ABCD中，对角线AC，BD交于点O，
E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形，
若∠AED＝2∠EAD.
求证：四边形ABCD是正方形．知2－练2 (2016·益阳)下列判断错误的是( )
A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B．四个内角都相等的四边形是矩形
C．四条边都相等的四边形是菱形
D．两条对角线垂直且互相平分的四边形是正方形知2－练3 (2015·日照)小明在学习了正方形之后，给同桌小文
出了道题，从下列四个条件：①AB＝BC；②∠ABC
＝90°；③AC＝BD；④AC⊥BD中选两个作为补充
条件，使?ABCD为正方形(如图)，现有下列四种选法，
你认为其中错误的是( )
A．①② B．②③ C．①③ D．②④知2－练 证明条件中不含对角线的四边形是正方形的四
种方法：
方法1：证：“四边形＋四边相等＋四个直角”；
方法2：证：“平行四边形＋一组邻边相等＋一个直
角”；
方法3：证：“矩形＋一组邻边相等”；
方法4：证：“菱形＋一个直角”． 证明条件中含对角线的四边形是正方形的方法：
(1)证：“四边形＋对角线互相垂直、平分且相等”；
(2)证：“平行四边形＋对角线互相垂直且相等”；
(3)证：“矩形＋对角线互相垂直”；
(4)证：“菱形＋对角线相等”．