26.1.4 反比例函数的图象与性质的应用 课件

(共26张PPT)
第二十六章 反比例函数
26.1 反比例函数
第4课时 反比例函数的图象与
性质的应用
1
题型
图表信息题
1．数学复习课上，王老师出示了如框中的题目：
已知直线y＝kx＋b（k≠0，b≠0）经过点M（b，－b），
求证：点M一定在双曲线 上．
题目中的黑色矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认
的文字．
(1)根据已知和结论中现有的信息，你能否求出题中直线对
应的函数解析式？若能，请写出求解过程；若不能，请
说明理由．
(2)请你根据已有的信息，在原题的黑色矩形框中，添加一
个适当的条件，把原题补充完整．你添加的这个条件是
什么？
解：(1)能．
由结论中的点M一定在双曲线 上，得
则b＝－2，∴M(－2，2)．
∴2＝－2k－2.解得k＝－2.
∴直线对应的函数解析式为y＝－2x－2.
(2)答案不唯一，
如：直线y＝kx＋b经过点N(1，－4)等等．
(1)把点M的坐标代入双曲线对应的函数解析式中得到关于b的方程，解该方程即可求出b的值，从而求得M的坐标，代入直线对应的函数解析式即可求得k的值，从而求得一次函数的解析式；(2)根据(1)中所求的函数解析式可写出图象上另一个点的坐标，添加的条件不唯一．
2
题型
反比例函数与一次函数的综合题(数形结合思想)
2．(2015·南昌)如图，已知直线y＝ax＋b与双曲线
(x>0)交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点(A与B不重合)，直
线AB与x轴交于P(x0，0)，
与y轴交于点C.
(1)若A，B两点坐标分别为(1，3)，(3，y2)，求点P的
坐标；
(2)若b＝y1＋1，点P的坐标为(6，0)，且AB＝BP，求
A，B两点的坐标；
(3)结合(1)(2)中的结果，猜想并用等式表示x1，x2，x0
之间的关系．(不要求证明)
解：(1)把A(1，3)的坐标代入 ，得k＝3.
∴反比例函数解析式为
∵点(3，y2)也在双曲线上，
∴3y2＝3，y2＝1.
把A(1，3)，B(3，1)的坐标分别代入y＝ax＋b，
得 解得
∴一次函数解析式为y＝－x＋4.
当y＝0时，x＝4，
∴点P的坐标为(4，0)．
(2)如图，作AD⊥x轴于点D，BE⊥x轴于点E，得AD∥BE，
AD＝y1，BE＝y2.∵AB＝BP，
∴BE＝ AD，即y2＝ y1，DE＝EP.
∵A(x1，y1)，B(x2，y2)都在双曲线 上，
∴x1y1＝x2y2＝k.∴2x1＝x2，
OD＝DE＝x1.
∴OD＝DE＝EP＝x1.
由点P(6，0)，知OP＝6，
∴3x1＝6，x1＝2.∴x2＝2x1＝4.
∵b＝y1＋1，y1＝ax1＋b，
∴ 解得a＝
∴一次函数解析式为y＝ x＋b.
∴y1＝－1＋b，y2＝－2＋b.
又∵y2＝ y1，∴b＝3.
∴一次函数的解析式为y＝ x＋3.
∴A(2，2)，B(4，1)．
(3)x1＋x2＝x0.
3
题型
函数与几何的综合题
3．(2015·济宁)在矩形AOBC中，OB＝6，OA＝4，分别以OB，
OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
F是边BC上一点(不与B，C两点重合)，过点F的反比例函数
(k>0)的图象与AC边交于点E.
(1)请用含k的式子表示
点E，F的坐标；
(2)若△OEF的面积为9，
求反比例函数的解析
式．
解：(1)E F
(2)∵E，F两点的坐标分别为
∴S△ECF＝ EC·CF＝ (6－ k) (4－ k).
∴S△EOF＝S矩形AOBC－S△AOE－S△BOF－S△ECF
＝24－ k－ k－S△ECF
＝24－k－ (6－ k) (4－ k).
∵△OEF的面积为9，
∴24－k－ (6－ k) (4－ k)=9.
整理得，k2＝144，k＝±12.
∵k>0，∴k＝12.
∴反比例函数的解析式为
4
题型
一次函数、反比例函数、三角形面积的综合题
4．(2015·山西)如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝
3x＋2的图象与y轴交于点A，与反比例函数 (k≠0)在
第一象限内的图象交于点B，且点B的横坐标为1.过点A作
AC⊥y轴交反比例函数 (k≠0)的图象于点C，连接BC.
求：
(1)反比例函数的解析式；
(2)△ABC的面积．
解：(1)∵一次函数y＝3x＋2的图象过点B，
且点B的横坐标为1，
∴y＝3×1＋2＝5.
∴点B的坐标为(1，5)．
∵点B在反比例函数 的图象上，
∴k＝1×5＝5.
∴反比例函数的解析式为
(2)∵一次函数y＝3x＋2的图象与y轴交于点A，
当x＝0时，y＝2，
∴点A的坐标为(0，2)．
∵AC⊥y轴，
∴点C的纵坐标与点A的纵坐标相同，是2.
∵点C在反比例函数 的图象上，
∴当y＝2时， 解得
∴AC＝
如图，过点B作BD⊥AC于D，
则BD＝yB－yC＝5－2＝3，
∴S△ABC＝ AC·BD
＝ × ×3
＝
5
题型
反比例函数与中心对称
5．(2016·株洲)如图，平行四边形ABCD的两个顶点A，C在反
比例函数 (k≠0)图象上，点B，D在x轴上，且B，D
两点关于原点对称，AD交y轴于P点．
(1)已知点A的坐标是(2，3)，
求k的值及C点的坐标；
(2)若△APO的面积为2，求
点D到直线AC的距离．
解：(1)∵点A的坐标是(2，3)，且点A在反比例函数
(k≠0)图象上，
∴ ∴k＝6，
又∵点C与点A关于原点O对称，
∴C(－2，－3)．
(2)∵△APO的面积为2，点A的坐标是(2，3)，
∴2＝ ，得OP＝2，
∴点P的坐标为(0，2)．
设过点P(0，2)，点A(2，3)的直线解析式为y＝ax＋b，
∴ 解得
即直线PA对应函数的解析式为y＝ x＋2.
将y＝0代入y＝ x＋2，得x＝－4，
∴OD＝4，
∵A(2，3)，C(－2，－3)，
∴AC＝
设点D到AC的距离为m，
∵S△ACD＝S△ODA＋S△ODC，
∴
解得m＝ ，即点D到直线AC的距离是
6
题型
反比例函数与轴对称的综合题
6. (2015·南通)如图，直线y＝mx＋n与双曲线 相交于
A(－1，2)，B(2，b)两点，与y轴相交于点C.
(1)求m，n的值；
(2)若点D与点C关于x轴
对称，求△ABD的面
积．
解：(1)把x＝－1，y＝2；x＝2，y＝b代入
解得k＝－2，b＝－1；
把x＝－1，y＝2；x＝2，y＝－1代入y＝mx＋n，
解得m＝－1，n＝1.
(2)直线y＝－x＋1与y轴交点C的坐标为(0，1)，所以
点D的坐标为(0，－1)．又点B的坐标为(2，－1)，
点A的坐标为(－1，2)，
所以△ABD的面积＝ ×2×(1＋2)＝3.　
7
题型
反比例函数与几何最小值的综合题
7．如图，反比例函数 (k≠0，x＞0)的图象与直线y＝3x
相交于点C，过直线上点A(1，3)作AB⊥x轴于点B，交反比
例函数图象于点D，且AB＝3BD.
(1)求k的值；
(2)求点C的坐标；
(3)在y轴上确定一点M，
使点M到C，D两点距
离之和d＝MC＋MD最小，求点M的坐标．
解：(1)∵A(1，3)，∴OB＝1，AB＝3.
又∵AB＝3BD，∴BD＝1，
∴D(1，1)．∴k＝1×1＝1.
(2)由(1)知反比例函数的解析式为
解方程组 得 或 (舍去)．
∴点C的坐标为
(3)如图，作点D关于y轴的对称点E，则E(－1，1)，作直
线CE，交y轴于点M，点M即为所求．设直线CE对应
的函数解析式为y＝mx＋b，则
解得
∴直线CE对应的函数解析式为
y＝(2 －3)x＋2 －2.
当x＝0时，y＝2 －2，
∴点M的坐标为(0，2 －2)．