27.2.7 相似三角形判定的应用课件

课件26张PPT。第二十七章 相 似27.2 相似三角形第7课时 相似三角形判定
的应用1应用利用平行线判定三角形相似的应用1．如图，⊙O的半径为4，B是⊙O外一点，连接OB，且OB＝6，过点B作⊙O的切线BD，切点为D，延长BO交⊙O于点A，过点A作切线BD的垂线，垂足为C.
(1)求证：AD平分∠BAC；
(2)求AC的长．(1) 求证：AD平分∠BAC；
证明：如图，连接OD.∵BD是⊙O的切线，
∴OD⊥BD.∵AC⊥BD，
∴OD∥AC.∴∠DAC＝∠ADO.
∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ADO，
∴∠DAO＝∠DAC，即AD平分∠BAC.
(2)求AC的长．
解：∵OD∥AC，∴△BOD∽△BAC，
∴2利用三边关系判定三角形相似的应用应用2．如图，在△ABC中，∠B＝90°，点D，E在BC上，且AB＝BD＝DE＝EC.
(1)求证：△ADE∽△CDA；
(2)求∠AED＋∠ACD的度数．(1) 求证：△ADE∽△CDA；
证明：设AB＝BD＝DE＝EC＝a，
则DC＝2a，AD＝ a，AE＝ a，AC＝ a.
∴
∴△ADE∽△CDA.
(2) 求∠AED＋∠ACD的度数．
解：∵∠B＝90°，AB＝BD，∴∠ADB＝45°.
由(1)知△ADE∽△CDA，
∴∠ACD＝∠DAE.
∴∠AED＋∠ACD＝∠AED＋∠DAE＝∠ADB＝45°.3利用边角关系判定三角形相似的应用应用3．如图，在矩形ABCD中，长BC＝12 cm，宽AB＝8 cm，P，Q分别是AB，BC上运动的两点．若点P自点A出发，以1 cm/s的速度沿AB方向运动，同时，点Q自点B出发，以2 cm/s的速度沿BC方向运动，经过几秒，以P，B，Q为顶点的三角形与△BCD相似？(Q到达C点后，点P，Q同时停止运动)解：在矩形ABCD中，CD＝AB＝8 cm，BC＝12 cm.
设经过x s，△PBQ与△BCD相似，则PB＝(8－x)cm，BQ＝2x cm，由于∠PBQ＝∠BCD＝90°，
(1)当 时，△PBQ∽△DCB.
∴ ，解得x＝ .
(2)当 时，△QBP∽△DCB，
∴ ，解得x＝2.
∴经过 s或2 s，△PBQ与△BCD相似．点拨：要使以P，B，Q为顶点的三角形与△BCD相似，则要分两种情况进行分析．分别是△PBQ∽△DCB和△QBP∽△DCB，从而解得所经过的时间．4利用角的关系判定三角形相似的应用4．(2016?大庆)如图，在菱形ABCD中，G是BD上一点，连接CG并延长交BA的延长线于点F，交AD于点E.
(1)求证：AG＝CG；
(2)求证：AG2＝GE?GF.应用(1)求证：AG＝CG；
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD，∠ADB＝∠CDB，
在△ADG与△CDG中，
∴△ADG≌△CDG(SAS)，∴AG＝CG.(2)求证：AG2＝GE?GF.
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，
∴∠F＝∠FCD.
又∵△ADG≌△CDG，∴∠EAG＝∠DCG，
∴∠EAG＝∠F，
∵∠AGE＝∠AGE，
∴△AEG∽△FAG，
∴ ，即AG2＝GE?GF.5利用相似解折叠问题5．(2015?湘潭)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，△ACD沿AD折叠，使得点C落在斜边AB上的点E处．
(1)求证：△BDE∽△BAC；
(2)已知AC＝6，BC＝8，
求线段AD的长度．应用(1)求证：△BDE∽△BAC；
∵∠C＝90°，△ACD沿AD折叠，点C落在点E处，
∴∠C＝∠AED＝90°.
∴∠DEB＝∠C＝90°.
又∵∠B＝∠B，
∴△BDE∽△BAC.证明： (2)已知AC＝6，BC＝8，求线段AD的长度．
解：由勾股定理得，AB＝10.
由折叠的性质知，AE＝AC＝6， DE＝CD，∠AED＝∠C＝90°.
∴BE＝AB－AE＝10－6＝4.
在Rt△BDE中，由勾股定理得：
DE2＋BE2＝BD2，
即CD2＋42＝(8－CD)2，解得CD＝3.
∴6利用相似解旋转问题6．(2015?黄石)在△AOB中，C，D分别是OA，OB边上的点，将△OCD绕点O顺时针旋转到△OC′D′.
如图①，若∠AOB＝90°，OA＝OB，C，D分别为OA，OB的中点，
证明：①AC′＝BD′；
②AC′⊥BD′.
应用证明：①∵△OCD旋转到△OC′D′，
∴OC＝OC′，OD＝OD′，∠AOC′＝∠BOD′.
∵OA＝OB，C，D分别是OA，OB的中点，
∴OC＝OD.
∴OC′＝OD′.
∴△AOC′≌△BOD′(SAS)．
∴AC′＝BD′.②延长AC′交BD′于E，交BO于F，如图①所示．
∵△AOC′≌△BOD′，
∴∠OAC′＝∠OBD′.
又∠AFO＝∠BFE，∠OAC′＋∠AFO＝90°，
∴∠OBD′＋∠BFE＝90°.
∴∠BEA＝90°.
∴AC′⊥BD′.(2) 如图②，若△AOB为任意三角形且∠AOB＝θ，CD∥AB，AC′与BD′交于点E，猜想∠AEB＝θ是否成立？请说明理由．解：∠AEB＝θ成立．理由如下：
如图②所示．设AC′与BO交于点F.
∵△OCD旋转到△OC′D′，
∴OC＝OC′，OD＝OD′，∠AOC′＝∠BOD′.
∵CD∥AB，
又∠AOC′＝∠BOD′，∴△AOC′∽△BOD′.
∴∠OAC′＝∠OBD′.
又∠AFO＝∠BFE，∴∠AEB＝∠AOB＝θ.∴∴∴7利用相似解四边形问题7. (2015?绥化改编)如图，在正方形ABCD中，延长BC至M，延长CD至N，使BM＝DN，连接MN交BD的延长线于点E.
(1)求证：BD＋2DE＝ BM；
(2)如图，连接BN交AD于点F，
连接MF交BD于点G，若AF∶FD
＝1∶2，且CM＝2，求线段DG的
长．
应用(1)求证：BD＋2DE＝ BM；
证明：过点M作MP⊥BC交BD的延长线于点P，如图所示．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，∠DBC＝∠BDC＝45°.
∴PM∥CN.
∴∠N＝∠EMP，∠BDC＝∠MPB＝45°.
∴BM＝PM.
∵BM＝DN，∴DN＝MP.
在△DEN和△PEM中，∴△DEN≌△PEM.
∴DE＝EP.∴DP＝2DE.
∵△BMP是等腰直角三角形，
∴BP＝ BM.
∴BD＋2DE＝ BM.(2) 如图，连接BN交AD于点F，连接MF交BD于点G，若AF∶FD＝1∶2，且CM＝2，求线段DG的长．解：∵AF ∶ FD＝1∶2，
∴DF ∶ BC＝2 ∶ 3.易知△BCN∽△FDN，
∴
设正方形的边长为a，又知CM＝2，
∴BM＝DN＝a＋2，CN＝2a＋2.
∴ .解得a＝2.
∴DF＝ ，BM＝4，BD＝ .易知△DFG∽△BMG，
∴
∴
∴8利用相似解圆的问题8．(2016?陕西)如图，已知AB是⊙O的弦，过点B作BC⊥AB交⊙O于点C，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，取AD的中点E，过点E作EF∥BC交DC的延长线于点F，连接AF
并延长交BC的延长线于点G.
求证：(1)FC＝FG；
(2)AB2＝BC?BG.应用(1)FC＝FG；
(1)∵EF∥BC，AB⊥BG，
∴EF⊥AD.
∵E是AD的中点，∴FA＝FD，
∴∠FAD＝∠D.
∵GB⊥AB，
∴∠GAB＋∠G＝∠D＋∠DCB＝90°，
∴∠DCB＝∠G.∵∠DCB＝∠GCF，
∴∠GCF＝∠G，
∴FC＝FG.证明：(2)AB2＝BC?BG.
连接AC，如图所示，
∵AB⊥BG，∴AC是⊙O的直径．
∵FD是⊙O的切线，切点为C，
∴∠DCB＝∠CAB.
∵∠DCB＝∠G，∴∠CAB＝∠G.
∵∠CBA＝∠GBA＝90°，
∴△ABC∽△GBA，
∴ ，即AB2＝BC?BG.证明：