27.2.9 相似三角形的应用举例课件
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课件31张PPT。第二十七章 相 似27.2 相似三角形第9课时 相似三角形应
用举例1课堂讲解利用光照下的影子
利用标杆
利用镜子反射2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升 埃及金字塔到底有多高？据史料记载：古希腊科学家泰勒斯利用相似三角形的原理，借助金字塔在太阳光线下形成的影子测出了
金字塔的高度．你知道
他是怎样测量的吗？今
天我们就利用这些知识
测量一些不能直接测量
的物体的高度吧.1知识点利用光照下的影子 对于学校里旗杆的高度，我
们是无法直接进行测量的．但是
我们可以根据相似三角形的知识，
测出旗杆的高度．结合右面的图
形，大家思考如何求出高度.知1－导知1－导利用阳光下的影子测高：
(1)构造相似三角形，如图.
(2)测量数据：AB(身高)，BC(人影长)，BE
(旗杆影长)；待求数据：DE(旗杆高)．
(3)计算理由：
因为AC∥DB(平行光)，所以∠ACB＝∠DBE.
因为∠ABC＝∠DEB＝90°(直立即为垂直)，
所以△ABC∽△DEB，有知1－导 测量方法：测量不能到达顶部的物体的高度时，
常常利用光线构造相似三角形(如同一时刻，物高与
影长)来解决．常见的测量方式有四种，如图所示.知1－导(1)由于太阳在不停地移动，影子的长也随着太阳的
移动而发生变化．因此，度量影子的长一定要在
同一时刻下进行，否则就会影响结果的准确性．(2)太阳离我们非常远，因此可以把太阳光近似地看
成平行光线．
(3)此方法要求被测物体的底部可以到达，否则测不
到被测物体的影长，从而计算不出物体的高．例1 据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相
似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，
借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔
的高度.
如图，木杆EF长2 m，它的影长FD为3 m，测
得OA为201 m， 求金字塔的高度BO.知1－讲 怎样测出OA的长？ 知1－讲太阳光是平行光线，因此∠BAO=∠EDF.
又∠AOB=∠DFE=90°，
∴ △ ABO∽ △DEF.
∴
∴
因此金字塔的高度为134 m.解：知1－讲 利用影长测量不能直接测量的物高的方法：利用
同一时刻的太阳光线构造两个相似三角形，利用相似
三角形对应边的比相等列出关于物高、物影、人高、
人影的比例关系式，然后通过测量物影、人高、人影
来计算出物高．在某一时刻，测得一根高为1.8 m的竹竿的影长为
3 m，同时测得一栋楼的影长为90 m，这栋楼的高
度是多少？知1－练如图，身高为1.6 m的某学生想测量学校旗杆的高
度，当他站在C处时，他头顶端的影子正好与旗杆
顶端的影子重合，并测得AC＝2.0 m，BC＝8.0 m，
则旗杆的高度是( )
A．6.4 m B．7.0 m
C．8.0 m D．9.0 m知1－练2知识点利用标杆知2－导 小明想利用树影测量树高，他在某一时刻测得长为1 m的竹竿影长0.9 m，但当他马上测量树影时，因树靠近一栋建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，如图，他先测得留在墙上的影高l.2 m，
又测得地面部分的影长2.7 m，他求
得的树高是多少?问 题知2－导解：如图，过点C作CE⊥AB于点E，
因此BE=CD=1.2 m，CE=BD=2.7 m，
由
所以AB=AE+BE=1.2+3=4.2 (m).
答：这棵树的高为4.2 m． 可得AE=3 m，知2－导1.与测量有关的概念：
(1)视点：观察物体时人的眼睛称为视点．
(2)仰角：测量物体的高度时，水平视线与观察物
体的视线间的夹角称为仰角．
(3)盲区：人的视线看不到的区域称为盲区．
2.测量原理：用标杆或直尺作为三角形的边，利用视
点和盲区的知识构造相似三角形．知2－导3.测量方法：如图，观测者的眼睛C必须与标杆的顶
端D和物体的顶端A“三点共线”，标杆与地面要
垂直，测量出标杆的高度DF， 人眼离地面的高度
CE，人与标杆的距离EF，标杆与
物体的距离FG. 利用相似三角形
“对应边的比相等”的性质求物体
的高度AG.知2－导 利用标杆或直尺测量物体的高度也叫目测，在
日常生活中有着广泛的应用，必要时可以用自己的
身高和臂长等作为测量工具．知2－讲例2 如图，左、右并排的两棵大树的高分别为AB = 8 m和
CD = 12 m，两树底部的距离BD = 5 m，一个人估计
自己眼睛距地面1. 6 m. 她沿着正对这两棵树的一条水
平直路l从左向右前进，当她与左边较低的树的距离小
于多少时，就看不到右边较高的树的顶端C了？知2－讲分析：如图 ，设观察者眼睛的位置为点F，画出观察者的水?
平视线FG，分别交AB，CD于点H，K．视线FA与FG
的夹角∠AFH是观察点A时的仰角．类似地，∠CFK
是观察点C时的仰角．由于树的遮挡， 区域Ⅰ和Ⅱ ，
观察者都看不到.知2－讲解：如图，假设观察者从左向右走到点E时，她的眼睛的位
置点E与两棵树的顶端A，C恰在一条直线上.
∵AB⊥l，CD ⊥l，∴AB∥CD.
∴△AEH ∽△CEK. ∴
即
解得EH=8(m).
由此可知，如果观察者继续前进，当她与左边的树的距
离小于8 m时，由于这棵树的遮挡，她看不到右边树的
顶端C.知2－讲 解实际问题关键是找出相似的三角形，然后根
据对应边的比相等列出方程，建立适当的数学模型
来解决问题．如图，利用标杆BE测量建筑物的高度．如果标杆BE高1. 2 m， 测得AB=1. 6 m，BC = 12. 4 m，楼
高CD是多少？知2－练知2－练2 (2015?吉林)如图，利用标杆BE测量建筑物的高度，
标杆BE高1.5 m，测得AB＝2 m，BC＝14 m，则
楼高CD为________．知3－导3知识点利用镜子反射 若在一个阴天，没有太阳光，还能测量金字塔的高度吗?
用镜面反射(如图，点A是一面小镜子，根据光的反射定
律：由入射角等于反射角构造相似三角形)．
分析：根据光的反射定律由入射
角等于反射角构造△AOB
与△AFE相似，即可利用
对应边的比相等求出BO．问 题知3－导利用相似三角形测量的一般步骤：
利用相似三角形的知识对未知量(高度、宽度等)进行测量，
一般要经历以下几个步骤：
(1)利用平行线、标杆等构造相似三角形；
(2)测量与表示未知量的线段相对应的边长，以及另外任
意一组对应边的长度；
(3)画出示意图，利用相似三角形的性质，列出以上包括
未知量在内的四个量的比例式，解出未知量；
(4)检验并得出答案．例3 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一
个目标点P，在近岸取点Q和 S，使点P，Q，S共线且
直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS 垂直的直线a
上选择适当的点T，确定PT与
过点Q且垂直PS的直线b的交
点R．已 测得QS = 45 m，
ST = 90 m，QR = 60 m，请
根据这些数据，计算河宽PQ. 知3－讲解： ∵ ∠PQR= ∠PST=90°, ∠P= ∠P,
∴ △PQR ∽ △PST.
∴
即
PQ×90=(PQ+45) ×60.
解得 PQ = 90(m).
因此，河宽大约为90 m.知3－讲知3－讲 测量不能直接到达的两点间的距离，关键是构
造两个相似三角形，利用能测量的三角形的边长及
相似三角形的性质求此距离．1 如图，测得 BD = 120 m，DC = 60 m，EC = 50 m，
求河宽AB.知3－练2 (2015?天水)如图是一位同学设计的用手电筒来测
量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平
面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古
城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，
测得AB＝2 m，BP＝3 m，
PD＝12 m，那么该古城墙
的高度CD是________．知3－练
用举例1课堂讲解利用光照下的影子
利用标杆
利用镜子反射2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升 埃及金字塔到底有多高？据史料记载：古希腊科学家泰勒斯利用相似三角形的原理，借助金字塔在太阳光线下形成的影子测出了
金字塔的高度．你知道
他是怎样测量的吗？今
天我们就利用这些知识
测量一些不能直接测量
的物体的高度吧.1知识点利用光照下的影子 对于学校里旗杆的高度，我
们是无法直接进行测量的．但是
我们可以根据相似三角形的知识，
测出旗杆的高度．结合右面的图
形，大家思考如何求出高度.知1－导知1－导利用阳光下的影子测高：
(1)构造相似三角形，如图.
(2)测量数据：AB(身高)，BC(人影长)，BE
(旗杆影长)；待求数据：DE(旗杆高)．
(3)计算理由：
因为AC∥DB(平行光)，所以∠ACB＝∠DBE.
因为∠ABC＝∠DEB＝90°(直立即为垂直)，
所以△ABC∽△DEB，有知1－导 测量方法：测量不能到达顶部的物体的高度时，
常常利用光线构造相似三角形(如同一时刻，物高与
影长)来解决．常见的测量方式有四种，如图所示.知1－导(1)由于太阳在不停地移动，影子的长也随着太阳的
移动而发生变化．因此，度量影子的长一定要在
同一时刻下进行，否则就会影响结果的准确性．(2)太阳离我们非常远，因此可以把太阳光近似地看
成平行光线．
(3)此方法要求被测物体的底部可以到达，否则测不
到被测物体的影长，从而计算不出物体的高．例1 据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相
似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，
借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔
的高度.
如图，木杆EF长2 m，它的影长FD为3 m，测
得OA为201 m， 求金字塔的高度BO.知1－讲 怎样测出OA的长？ 知1－讲太阳光是平行光线，因此∠BAO=∠EDF.
又∠AOB=∠DFE=90°，
∴ △ ABO∽ △DEF.
∴
∴
因此金字塔的高度为134 m.解：知1－讲 利用影长测量不能直接测量的物高的方法：利用
同一时刻的太阳光线构造两个相似三角形，利用相似
三角形对应边的比相等列出关于物高、物影、人高、
人影的比例关系式，然后通过测量物影、人高、人影
来计算出物高．在某一时刻，测得一根高为1.8 m的竹竿的影长为
3 m，同时测得一栋楼的影长为90 m，这栋楼的高
度是多少？知1－练如图，身高为1.6 m的某学生想测量学校旗杆的高
度，当他站在C处时，他头顶端的影子正好与旗杆
顶端的影子重合，并测得AC＝2.0 m，BC＝8.0 m，
则旗杆的高度是( )
A．6.4 m B．7.0 m
C．8.0 m D．9.0 m知1－练2知识点利用标杆知2－导 小明想利用树影测量树高，他在某一时刻测得长为1 m的竹竿影长0.9 m，但当他马上测量树影时，因树靠近一栋建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，如图，他先测得留在墙上的影高l.2 m，
又测得地面部分的影长2.7 m，他求
得的树高是多少?问 题知2－导解：如图，过点C作CE⊥AB于点E，
因此BE=CD=1.2 m，CE=BD=2.7 m，
由
所以AB=AE+BE=1.2+3=4.2 (m).
答：这棵树的高为4.2 m． 可得AE=3 m，知2－导1.与测量有关的概念：
(1)视点：观察物体时人的眼睛称为视点．
(2)仰角：测量物体的高度时，水平视线与观察物
体的视线间的夹角称为仰角．
(3)盲区：人的视线看不到的区域称为盲区．
2.测量原理：用标杆或直尺作为三角形的边，利用视
点和盲区的知识构造相似三角形．知2－导3.测量方法：如图，观测者的眼睛C必须与标杆的顶
端D和物体的顶端A“三点共线”，标杆与地面要
垂直，测量出标杆的高度DF， 人眼离地面的高度
CE，人与标杆的距离EF，标杆与
物体的距离FG. 利用相似三角形
“对应边的比相等”的性质求物体
的高度AG.知2－导 利用标杆或直尺测量物体的高度也叫目测，在
日常生活中有着广泛的应用，必要时可以用自己的
身高和臂长等作为测量工具．知2－讲例2 如图，左、右并排的两棵大树的高分别为AB = 8 m和
CD = 12 m，两树底部的距离BD = 5 m，一个人估计
自己眼睛距地面1. 6 m. 她沿着正对这两棵树的一条水
平直路l从左向右前进，当她与左边较低的树的距离小
于多少时，就看不到右边较高的树的顶端C了？知2－讲分析：如图 ，设观察者眼睛的位置为点F，画出观察者的水?
平视线FG，分别交AB，CD于点H，K．视线FA与FG
的夹角∠AFH是观察点A时的仰角．类似地，∠CFK
是观察点C时的仰角．由于树的遮挡， 区域Ⅰ和Ⅱ ，
观察者都看不到.知2－讲解：如图，假设观察者从左向右走到点E时，她的眼睛的位
置点E与两棵树的顶端A，C恰在一条直线上.
∵AB⊥l，CD ⊥l，∴AB∥CD.
∴△AEH ∽△CEK. ∴
即
解得EH=8(m).
由此可知，如果观察者继续前进，当她与左边的树的距
离小于8 m时，由于这棵树的遮挡，她看不到右边树的
顶端C.知2－讲 解实际问题关键是找出相似的三角形，然后根
据对应边的比相等列出方程，建立适当的数学模型
来解决问题．如图，利用标杆BE测量建筑物的高度．如果标杆BE高1. 2 m， 测得AB=1. 6 m，BC = 12. 4 m，楼
高CD是多少？知2－练知2－练2 (2015?吉林)如图，利用标杆BE测量建筑物的高度，
标杆BE高1.5 m，测得AB＝2 m，BC＝14 m，则
楼高CD为________．知3－导3知识点利用镜子反射 若在一个阴天，没有太阳光，还能测量金字塔的高度吗?
用镜面反射(如图，点A是一面小镜子，根据光的反射定
律：由入射角等于反射角构造相似三角形)．
分析：根据光的反射定律由入射
角等于反射角构造△AOB
与△AFE相似，即可利用
对应边的比相等求出BO．问 题知3－导利用相似三角形测量的一般步骤：
利用相似三角形的知识对未知量(高度、宽度等)进行测量，
一般要经历以下几个步骤：
(1)利用平行线、标杆等构造相似三角形；
(2)测量与表示未知量的线段相对应的边长，以及另外任
意一组对应边的长度；
(3)画出示意图，利用相似三角形的性质，列出以上包括
未知量在内的四个量的比例式，解出未知量；
(4)检验并得出答案．例3 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一
个目标点P，在近岸取点Q和 S，使点P，Q，S共线且
直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS 垂直的直线a
上选择适当的点T，确定PT与
过点Q且垂直PS的直线b的交
点R．已 测得QS = 45 m，
ST = 90 m，QR = 60 m，请
根据这些数据，计算河宽PQ. 知3－讲解： ∵ ∠PQR= ∠PST=90°, ∠P= ∠P,
∴ △PQR ∽ △PST.
∴
即
PQ×90=(PQ+45) ×60.
解得 PQ = 90(m).
因此，河宽大约为90 m.知3－讲知3－讲 测量不能直接到达的两点间的距离，关键是构
造两个相似三角形，利用能测量的三角形的边长及
相似三角形的性质求此距离．1 如图，测得 BD = 120 m，DC = 60 m，EC = 50 m，
求河宽AB.知3－练2 (2015?天水)如图是一位同学设计的用手电筒来测
量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平
面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古
城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，
测得AB＝2 m，BP＝3 m，
PD＝12 m，那么该古城墙
的高度CD是________．知3－练