28.2.1 解直角三角形课件
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课件24张PPT。第二十八章 锐角三角函数第1课时 解直角三角形28.2 解直角三角形及其应用1课堂讲解已知两边解直角三角形
已知一边及一锐角解直角三角形
已知一边及一锐角三角函数值解直角三角形2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升 1972年的情形：设塔顶中心点为B，塔
身中心线与垂直中心线的夹角为∠ A，过点
B向垂直中心线引垂线，垂足为点 C(如图).
在Rt△ABC中， ∠C= 90°，BC= 5.2 m，
AB=54.5 m，因此
sin A=
利用计算器可得∠A≈5°28′.我们回到本章引言提出的比萨斜塔倾斜程度的问题. 类似地，可以求出2001年纠偏后塔身中心线与垂直
中心线的夹角.你能求出来吗？
如果将上述实际问题抽象为数学问题，就是已知直
角三角形的斜边和一条直角边，求它的锐角的度数.
一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，
即三条边和两个锐 角.由直角三角形中的已知元素，求
出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形.1知识点已知两边解直角三角形?探究：
（1）在直角三角形中，除直角外的五个元素之间有哪些关系？
（2）知道五个元素中的几个，就可以求其余元素？知1－导 如图，在Rt△ABC中，∠C为直角，
∠A， ∠B， ∠C所对的边分别为a，b，c，
那么除直角∠ C外的 五个元素之间有如下
关系： 知1－导（1）三边之间的关系a2+b2=c2 (勾股定理）；
（2）两锐角之间的关系∠A+ ∠B = 90°；
（3）边角之间的关系
上述（3）中的A都可以换成B，同时把a，b互换.知1－导 利用这些关系，知道其中的两个元素（至少有一
个是边），就可以求出其余三个未知元素.知1－讲 已知斜边和直角边：先利用勾股定理求出另一直
角边，再求一锐角的正弦和余弦值，即可求出一锐角，
再利用直角三角形的两锐角互余，求出另一锐角．
已知两直角边：应用勾股定理求斜边，应用角的
正切值求出一锐角，再利用直角三角形的两锐角互余，
求出另一锐角．一般不用正弦或余弦值求锐角，因为
斜边是一个中间量，如果是近似值，会影响结果的精
确度．例1 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC= ，BC= ，解这个直角三角形.
解：∵
∴∠A=60° ，
∠B=90°-∠A=90°- 60°=30°，
AB=2AC=2 .知1－讲知1－讲 已知直角三角形的两边解直角三角形的方法：
先由勾股定理求第三边，再由两边中一直角边所对
的角与这两边的关系，求出这个角，最后由两锐角
互余求出第三个角．知1－练1 在Rt△ABC中，∠C=90°，根据下列条件解直角三角形：c=30，b=20;
2 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2 ，AC＝ ，
则∠A的度数为( )
A．90° B．60°
C．45° D．30°3 在△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝3，欲求 ∠A的值，最适宜的做法是( )
A．计算tan A的值求出
B．计算sin A的值求出
C．计算cos A的值求出
D．先根据sin B求出∠B，再利用90°－∠B求出知1－练2知识点已知一边及一锐角解直角三角形知2－导 课外活动小组测量学校旗杆的高度．如图，当太阳光线与地面成35°时，测得旗杆AB在地面上的投影BC长为23. 5米，那么你能求
出旗杆AB的高度吗?知2－导 已知直角三角形的一边和一锐角，解直角三角
形时，若已知一直角边a和一锐角A： ① ∠B=90 °-
∠ A；②c=
若已知斜边c和一个锐角A： ① ∠ B=90°- ∠ A；
②a=c·sin A ; ③b=c·cos A.例2 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B= 35°，b=20，解这个直角三角形（结果保留小数点最后一位）.
解：∠A=90°-∠B=90°- 35°=55°.
知2－讲 你还有其他方法求出c吗？知2－讲已知一锐角和一边解直角三角形的方法：
(1)在直角三角形中，若已知一个锐角和斜边，则可由两
锐角互余求出另一个锐角，然后利用三角函数(正弦、
余弦)求出两条直角边；
(2)若已知一个直角三角形的一个锐角和一条直角边，则
可由两锐角互余求出另一个锐角，然后利用余弦或正
弦求出其斜边，利用正切求出其另一条直角边．知2－练1 在Rt△ABC中，∠C=90°，根据下列条件解直角三角形：
（1） ∠B=72°，c=14；
（2） ∠B=30°，a= .
2 (2016·沈阳)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B
＝30°，AB＝8，则BC的长是( )
A. B．4
C．8 D．4知2－练3 在△ABC中，∠C＝90°，若∠B＝2∠A，b＝3，
则a等于( )
A.
B.
C．6
D.知3－讲3知识点已知一边及一锐角三角函数值解直角三角形例3 如图，在△ABC中，AB＝1，AC＝ ，sin B＝ ，
求BC的长．
导引：要求的BC边不在直角三角形中，已知条件中有
∠B的正弦值，作BC边上的高，将∠B置于直角
三角形中，利用解直角三角形就可解决问题．知3－讲如图，过点A作AD⊥BC于点D.
∵AB＝1，sin B＝
∴AD＝AB·sin B＝
∴BD＝
∴CD＝
∴BC＝CD＋BD＝解： 知3－讲 通过作垂线(高)，将斜三角形分割成两个直角三
角形，然后利用解直角三角形来解决边或角的问题，
这种“化斜为直”的思想很常见．在作垂线时，要结
合已知条件，充分利用已知条件，如本题若过B点
作AC的垂线，则∠B的正弦值就无法利用．1 如图，在△ABC中，sin B＝ ，∠A＝105°，AB＝2，求△ABC的面积．
2 (2016·兰州)在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝ ，
BC＝6，则AB＝( )
A．4 B．6
C．8 D．10知3－练1.在直角三角形中有三条边、三个角，它们具备以下关系：
（1）三边之间关系：a2+b2=c2 (勾股定理）.
（2）锐角之间的关系：∠A+ ∠B = 90°.
（3）边角之间的关系：2.解直角三角形就是在直角三角形中，由已知元素求未
知元素的过程.
3.在直角三角形的六个元素中，除直角外的五个元素只
要知道两个元素（其中至少有一条边）就可以求出其
余的三个元素.解直角三角形，是三角形知识的综合运
用，它只有下面两种情况：一是已知两条边解直角三
角形；二是已知一条边和一个锐角解直角三角形.
已知一边及一锐角解直角三角形
已知一边及一锐角三角函数值解直角三角形2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升 1972年的情形：设塔顶中心点为B，塔
身中心线与垂直中心线的夹角为∠ A，过点
B向垂直中心线引垂线，垂足为点 C(如图).
在Rt△ABC中， ∠C= 90°，BC= 5.2 m，
AB=54.5 m，因此
sin A=
利用计算器可得∠A≈5°28′.我们回到本章引言提出的比萨斜塔倾斜程度的问题. 类似地，可以求出2001年纠偏后塔身中心线与垂直
中心线的夹角.你能求出来吗？
如果将上述实际问题抽象为数学问题，就是已知直
角三角形的斜边和一条直角边，求它的锐角的度数.
一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，
即三条边和两个锐 角.由直角三角形中的已知元素，求
出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形.1知识点已知两边解直角三角形?探究：
（1）在直角三角形中，除直角外的五个元素之间有哪些关系？
（2）知道五个元素中的几个，就可以求其余元素？知1－导 如图，在Rt△ABC中，∠C为直角，
∠A， ∠B， ∠C所对的边分别为a，b，c，
那么除直角∠ C外的 五个元素之间有如下
关系： 知1－导（1）三边之间的关系a2+b2=c2 (勾股定理）；
（2）两锐角之间的关系∠A+ ∠B = 90°；
（3）边角之间的关系
上述（3）中的A都可以换成B，同时把a，b互换.知1－导 利用这些关系，知道其中的两个元素（至少有一
个是边），就可以求出其余三个未知元素.知1－讲 已知斜边和直角边：先利用勾股定理求出另一直
角边，再求一锐角的正弦和余弦值，即可求出一锐角，
再利用直角三角形的两锐角互余，求出另一锐角．
已知两直角边：应用勾股定理求斜边，应用角的
正切值求出一锐角，再利用直角三角形的两锐角互余，
求出另一锐角．一般不用正弦或余弦值求锐角，因为
斜边是一个中间量，如果是近似值，会影响结果的精
确度．例1 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC= ，BC= ，解这个直角三角形.
解：∵
∴∠A=60° ，
∠B=90°-∠A=90°- 60°=30°，
AB=2AC=2 .知1－讲知1－讲 已知直角三角形的两边解直角三角形的方法：
先由勾股定理求第三边，再由两边中一直角边所对
的角与这两边的关系，求出这个角，最后由两锐角
互余求出第三个角．知1－练1 在Rt△ABC中，∠C=90°，根据下列条件解直角三角形：c=30，b=20;
2 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2 ，AC＝ ，
则∠A的度数为( )
A．90° B．60°
C．45° D．30°3 在△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝3，欲求 ∠A的值，最适宜的做法是( )
A．计算tan A的值求出
B．计算sin A的值求出
C．计算cos A的值求出
D．先根据sin B求出∠B，再利用90°－∠B求出知1－练2知识点已知一边及一锐角解直角三角形知2－导 课外活动小组测量学校旗杆的高度．如图，当太阳光线与地面成35°时，测得旗杆AB在地面上的投影BC长为23. 5米，那么你能求
出旗杆AB的高度吗?知2－导 已知直角三角形的一边和一锐角，解直角三角
形时，若已知一直角边a和一锐角A： ① ∠B=90 °-
∠ A；②c=
若已知斜边c和一个锐角A： ① ∠ B=90°- ∠ A；
②a=c·sin A ; ③b=c·cos A.例2 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B= 35°，b=20，解这个直角三角形（结果保留小数点最后一位）.
解：∠A=90°-∠B=90°- 35°=55°.
知2－讲 你还有其他方法求出c吗？知2－讲已知一锐角和一边解直角三角形的方法：
(1)在直角三角形中，若已知一个锐角和斜边，则可由两
锐角互余求出另一个锐角，然后利用三角函数(正弦、
余弦)求出两条直角边；
(2)若已知一个直角三角形的一个锐角和一条直角边，则
可由两锐角互余求出另一个锐角，然后利用余弦或正
弦求出其斜边，利用正切求出其另一条直角边．知2－练1 在Rt△ABC中，∠C=90°，根据下列条件解直角三角形：
（1） ∠B=72°，c=14；
（2） ∠B=30°，a= .
2 (2016·沈阳)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B
＝30°，AB＝8，则BC的长是( )
A. B．4
C．8 D．4知2－练3 在△ABC中，∠C＝90°，若∠B＝2∠A，b＝3，
则a等于( )
A.
B.
C．6
D.知3－讲3知识点已知一边及一锐角三角函数值解直角三角形例3 如图，在△ABC中，AB＝1，AC＝ ，sin B＝ ，
求BC的长．
导引：要求的BC边不在直角三角形中，已知条件中有
∠B的正弦值，作BC边上的高，将∠B置于直角
三角形中，利用解直角三角形就可解决问题．知3－讲如图，过点A作AD⊥BC于点D.
∵AB＝1，sin B＝
∴AD＝AB·sin B＝
∴BD＝
∴CD＝
∴BC＝CD＋BD＝解： 知3－讲 通过作垂线(高)，将斜三角形分割成两个直角三
角形，然后利用解直角三角形来解决边或角的问题，
这种“化斜为直”的思想很常见．在作垂线时，要结
合已知条件，充分利用已知条件，如本题若过B点
作AC的垂线，则∠B的正弦值就无法利用．1 如图，在△ABC中，sin B＝ ，∠A＝105°，AB＝2，求△ABC的面积．
2 (2016·兰州)在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝ ，
BC＝6，则AB＝( )
A．4 B．6
C．8 D．10知3－练1.在直角三角形中有三条边、三个角，它们具备以下关系：
（1）三边之间关系：a2+b2=c2 (勾股定理）.
（2）锐角之间的关系：∠A+ ∠B = 90°.
（3）边角之间的关系：2.解直角三角形就是在直角三角形中，由已知元素求未
知元素的过程.
3.在直角三角形的六个元素中，除直角外的五个元素只
要知道两个元素（其中至少有一条边）就可以求出其
余的三个元素.解直角三角形，是三角形知识的综合运
用，它只有下面两种情况：一是已知两条边解直角三
角形；二是已知一条边和一个锐角解直角三角形.