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鲁教版数学七年级下册第十章《三角形的有关证明》第1节
学习目标
1.了解做为证明基础的几条基本事实的内容，掌握证明的基本步骤和书写格式.
2.能根据有关基本事实来证明AAS.
3.能灵活地选择方法判定两个三角形全等.
4.能利用全等三角形的知识解决实际问题.
A
B
C
E
D
F
“全等”用符号“≌
”，表示图中的△ABC和△DEF全等，
全等三角形的表示法
记作△ABC≌
△DEF，读作△ABC全等于△DEF
注意
记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
∵△ABC≌△DEF(已知）
∴AB=DE,
AC=DF,BC=EF(全等三角形对应边相等）
∠A=∠D,
∠B=∠E,
∠C=∠F(全等三角形对应角相等）
下列三角形中一定全等的是（
）
A．三个角都对应相等的两个三角形
B．三边都对应相等的两个三角形
C．有一条边相等的两个直角三角形
D．有两边和一角对应相等的两个三角形
三角形全等判定
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．（可以简写成“边角边”或“SAS”）
知识回顾:
F
E
D
C
B
A
知识回顾:
A
B
D
A
B
C
SSA不能判定全等
三角形全等的4种判定：
SSS（边边边）
SAS（边角边）
ASA（角边角）
AAS（角角边）
有三边对应相等的两个三角形全等.
有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.
有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.
有两角和及其中一个角所对的边对应相等的两个三角形全等.
如图：
在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF．
求证：△ABC≌△DEF．
A
B
C
D
E
F
定理：有两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．
(简写成“角角边”或“AAS”）
命题的证明要画出图形，用“符号语言”表示出“已知”和“求证”，再完成证明.
证明：有两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.
用符号语言表达为：
在△ABC和△DEF中，
∵∠A=
∠D，
BC=EF，
∠B
=
∠E，
∴
△ABC≌△DEF
（AAS）．
火眼金睛辨真伪
下面的推理正确吗？
证明
：在△ABC和△DFE中，
∵∠A=∠D
（已知），
∠ACB=∠DEF（已知），
AB=EF（已知），
∴△ABC≌△DFE（AAS）．
AAS中的S必须是相等的一组对应角所对的边.
A
B
C
D
E
F
如图，M是AB的中点
，∠AMC=∠BMD
，∠C=∠D．
求证：△ACM
≌
△BDM．
A
B
M
C
D
证明：∵
M是AB的中点
(已知)，
∴
_____________(线段中点定义)
．
在△ACM
和△BDM中，
∵
∠AMC=∠BMD
(已知)，
∠C=∠D(已知)，
___=___(已证)，
∴
△ACM
≌
△BDM
(
)
．
①准备条件
②摆齐条件
③得结论
试一试完成下面的推理
AM=BM
AM
BM
AAS
对点训练
已知线段AB和CD相交于点O,线段OA=OD,
∠A=
∠
D
.
求证：
∠C=∠B,AB=CD
A
C
D
O
B
例1
怎么证明角相等、线段相等？
如图，△ABC与
△DCB中，∠ACB＝∠DBC,AC=BD.
求证:1.∠A＝∠D,AB＝CD.
2.CO=BO
O
A
B
C
D
立即应用
已知:在四边形ABCD中，AC平分∠BAD.
添加一个________条件,就能使△ACD
≌
△ACB
（不再添加其他线段，不再标注或使用其他字母）
D
A
B
C
例2
如图，AE和CD相交于点O,∠ADO=∠CEO=90°.
①
要证明△AOD≌△COE,只需再增添一个什么条件？
②若将已知条件变更为:△AOD≌△COE，你又能得出什么结论
（不再添加其他线段，不再标注或使用其他字母）．
D
A
E
B
O
C
对点训练
立即应用
全等三角形
全等三角
形的定义
全等三角形的
对应边相等
全等三角形的
对应角相等
SSS
SAS
ASA
AAS
证明三角形全等的步骤
全等三角形的判定
准备条件
摆齐条件
得出结论全等三角形评测练习
三角形全等是证明线段相等，角相等最基
( http: / / www.21cnjy.com )本、最常用的方法，这不仅因为全等三角形有很多重要的角相等、线段相等的特征，还在于全等三角形能把已知的线段相等、角相等与未知的结论联系起来．下面我们就在具体解题过程中来感受全等三角形带给我们的
基础练习：
1、如图，已知：∠B=∠DEF，BC=EF，现要证明△ABC≌△DEF，
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若要以“SAS”为依据，还缺条件_______；
若要以“ASA”为依据，还缺条件__________；
若要以“AAS”为依据，还缺条件_____________。
2.
如图，已知AC=BD，要使得△ABC≌△DCB，只需增加的一个条件是__________________。（填出所有可能性）
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3.如图，AD、分别是锐角△ABC和△中BC、边上的高，且AB=，AD=，若使△ABC≌△，请你补充条件
（只需填一个你认为适当的条件）.
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巩固提升
1.如图，已知AB=AD，∠1=∠2，要使△ABC≌△ADE，还需添加的条件是（只需填一个）_____．
2..
已知:如图,AD是BC上的中线,且DF=DE．
求证:BE∥CF．
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_
2
_
1
_
C
_
E
_
D
_
B
_
A《全等三角形》教学设计
一、教材分析
对于全等三角形的研究，实际是平面几何中对
( http: / / www.21cnjy.com )封闭的两个图形关系研究的第一步。它是两个三角形间最简单，最常见的关系.它不仅是学习后面知识的基础，并且是证明线段相等、角相等以及两线互相垂直、平行的重要依据.因此必须熟练地掌握全等三角形的有关内容，并且灵活的应用.本节课是在学习了全等三角形的有关内容的基础上，对三角形全等判定的进一步学习和证明，要求学生在以前的学习基础之上，了解做为证明基础的几条基本事实的内容，能够自主地证明AAS定理，掌握证明的基本步骤和书写格式.
明确每一步推理的依据并能准确地表达推理的过程，掌握证明的方法、思路，培养学生的推理能力.
本节内容在教材中处于非常重要的位置，起着承
( http: / / www.21cnjy.com )前启后的作用.根据教材的地位和作用，确定本节课的教学重点是能根据有关基本事实来证明AAS定理.并能灵活选择方法来证明三角形全等.
二、学习目标
1．了解做为证明基础的几条基本事实的内容，掌握证明的基本步骤和书写格式．
2．经历探索证明AAS的过程，能根据有关基本事实来证明AAS．并能灵活运用三角形4种全等判定解决实际问题．
3.
证明过程中培养学生的逻辑推理能力，发展有条理地表达能力，提高学生分析问题的能力及运用数学符号语言表达的能力.
三、学情分析
在七年级上学期，学生已采用动手画图、折纸及
( http: / / www.21cnjy.com )图形的平移、旋转、轴对称等直观方法探究过全等三角形的性质和判定，在侧重发展学生的合情推理能力的同时，初步渗透了简单的演绎推理，这为本节课的学习奠定了基础.
根据初二学生年龄、生理及心理特征，我确定本节课的难点是定理的证明及证明过程中数学符号语言的正确表达.因初二学生还不具备独立系统地推理论证几何问题的能力，思维受到一定的局限，考虑问题不够全面，因此要充分发挥教师的主导作用，适时点拨、引导，尽可能调动所有学生的积极性、主动性参与到合作探讨中来，使学生在与他人的合作交流中获取新知，并使个性思维得以发展。
四、教学评价
在教学过程的各个环节中，把
( http: / / www.21cnjy.com )学生自我评价、学生互评、教师评价结合起来，实现评价主体的多样化.让学生真正把自己当成课堂学习的主人，提高学生的学习积极性，同时在评价他人的过程中，也能不断提高学生的自身水平.
五、教学过程
（一）师生共忆
温故导新
1.______________的两个三角形叫做全等三角形，
全等用符号____来表示，如图所示，△ABC全等于△A′B′C′，
记作__________，注意对应顶点要写在对应的位置上，
其中，AB=_____，AC=_____，BC=______，∠A=_____，
∠B=_____，∠C=_____理由是__________．
2．下列三角形中一定全等的是（
）
A．有两边和一角对应相等的两个三角形
B．三边都对应相等的两个三角形
C．三个角都对应相等的两个三角形
D．有一条边相等的两个直角三角形
3．三角形全等判定属基本事实的有_____，_____，_____尚需证明的有_____．
设计意图：采用师生共忆的方式，唤起学生
( http: / / www.21cnjy.com )对已有知识的回忆，通过复习，直接引出本节课的学习内容和任务.通过多媒体演示，联系本书中的基本事实，明确SSS、SSA、AAS属基本事实，无需证明，而AAS尚待证明，通过这些问题的设定，引入新课，开启学生的思维，激发学生的兴趣，调动学生的学习积极性.
（二）思考求证
运用定理
我们知道，要判断一个命题是不是真命
( http: / / www.21cnjy.com )题，仅靠经验、观察、实验和猜想是不够的，必须一步一步、有根有据地进行推理，经过严格证明的命题才能做为定理直接使用.
证明：有两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.
（一生板演，其余学生自主完成在学习单上）
思考问题：你选择的哪条基本事实来证明？能说说你的证明思路吗？
1.教师请学生展示交流，其他学生评价.
2.学生自主订正完善.
如图：
在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF．
求证：△ABC≌△DEF．
证明：（生独立完成）
回顾总结：
1.得出定理：有两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.简述为：“角角边”或“AAS”.
2.该定理可直接做为其他证明的依据.
符号语言表述为：
在△ABC和△DEF中，
∵∠A=
∠D，
∠B
=
∠E，
BC=EF，
∴
△ABC≌△DEF
（AAS）．
巩固定理
1.火眼金睛辨是非
下面的推理正确吗？
证明：在△ABC和△DFE中，
∵∠A=∠D
（已知），
∠ACB=∠DEF
（已知），
AB=EF
（已知），
∴△ABC≌△DFE（AAS）．
对点训练
试一试完成下面的推理.
1.如图，M是AB的中点
，∠AMC=∠BMD
，∠C=∠D．
求证：△ACM
≌
△BDM．
证明：∵
M是AB的中点
(已知)，
∴
_____________(线段中点定义)
．
在△ACM
和△BDM中，
∵
∠AMC=∠BMD
(已知)，
∠C=∠D(已知)，
___=___(已证)，
∴
△ACM
≌
△BDM
(
)
．
设计意图：通过引导学生回忆证明的基
( http: / / www.21cnjy.com )本步骤,点明证明一个文字命题的思考方向，降低证明的难度,然后让学生自主证明，若学生解决不了，可实行小组合作.在此过程中加强了学生分析问题的能力,也使得逻辑思维能力得到提升.放手让学生独立书写证明过程，目的在于发现学生的证明过程中存在的问题.从而规范学生的证明步骤，使学生养成条理、严谨的思考表达习惯.
AAS的定理得出后，即时进行了有针对性的训练,加深了学生对定理的理解.并通过符号语言的练习，锻炼学生的识图能力、推理能力及符号语言表达能力，体会定理的作用.
（三）探索归纳
巩固练习
刚才我们已经学习证明了AAS定理并运用该定理求证三角形全等，下面就让我们来看一下三角形全等在具体解题中的作用.
例1：线段AB和CD相交于点O,线段OA=OD,
∠A=
∠D
.
求证：
∠C=∠B,AB=CD
个人独立思考，组内交流.
个人展示，集体评价.
问题：在证明本题过程中应该注意养成的学习习惯是什么？
本题隐含的已知条件是什么？
三角形全等证明可以作为证明_____和_____相等的依据.
立即应用:
如图，△ABC与
△DCB中，∠ACB＝∠DBC,AC=BD.
求证:∠A＝∠D,AB＝CD.
设计意图：在注重培养学生独立思考能力的基础上
( http: / / www.21cnjy.com ),加强学生对问题的分析应用能力,小组内交流答案,充分发挥生生之间的交流学习，让学生在交流中体验自身价值.
（四）问题开放
思维升华
例2.已知:在四边形ABCD中，AC平分∠BAD.
添加一个________条件,就能使△ACD
≌
△ACB.
（不再添加其他线段，不再标注或使用其他字母）
立即应用
如图，AE和CD相交于点O,∠ADO=∠CEO=90°.
①
要证明△AOD≌△COE,只需再增添一个什么条件？
②反过来由△AOD≌△COE，你能得出什么结论
（不再添加其他线段，不再标注或使用其他字母）．
设计意图：本题属开放性问题
( http: / / www.21cnjy.com ),例2属条件开放类,立即应用在练习了条件开放题目后，加了一个结论开放问题,本类题目的是在学生能熟练运用定理解决问题之后练习,能有效地激发学生的学习兴趣,提升学生的思维能力,以此加强推理能力的培养，有效地提高学生分析问题、解决问题的能力.
总结交流
全面提升
采用知识树的形式引领学生回顾本节主要知识点.
1.通过本节课的学习，你有哪些收获和体会？与大家共同分享.
2.教师评价总结并激励学生.
设计意图：采用知识树的形
( http: / / www.21cnjy.com )式引领学生进行回顾，提高了学生的关注度，能够引导学生主动回忆.采用小组内交流与集体交流相结合的方式小结，给学生畅所欲言的机会，使学生对所学知识有一个完整系统的认识，锻炼学生的归纳表达能力，使学生养成及时反思的学习习惯，同时关注学生的情感态度，为学生的后继学习注入新动力.
（六）布置作业
巩固成果
配套练习册P82
1、2、3.（必做）
P83
5.（选做）
设计意图：对本节课所学定理进行应用练习，强化证明中数学语言的表达.选做题的设计，满足了不同层次学生的学习需求.
附：板书设计
AAS
需要证明
《全等三角形》学习单
学习过程
学习内容
我思考
我求证
证明：有两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.火眼金睛辨真伪下面的推理正确吗？证明：在△ABC和△DFE中，∵∠A=∠D
（已知），∠ACB=∠DEF（已知）AB=EF
（已知），∴△ABC≌△DFE（AAS）．对点训练试一试完成下面的推理.
1.如图，M是AB的中点
，∠AMC=∠BMD
，∠C=∠D．求证：△ACM
≌
△BDM．证明：∵
M是AB的中点
(已知)，∴
_____________(线段中点定义)
．在△ACM
和△BDM中，∵
∠AMC=∠BMD
(已知)，∠C=∠D(已知)，___=___(已证)，∴
△ACM
≌
△BDM
(
)
．学习内容
我学习我应用
例1：线段AB和CD相交于点O,线段OA=OD,
∠A=∠D
.
求证：
∠C=∠B,AB=CD立即应用如图，△ABC与
△DCB中，∠ACB＝∠DBC,AC=BD.求证:1.∠A＝∠D,AB＝CD.2.CO=BO
我应用我提高
例2.已知:在四边形ABCD中，AC平分∠BAD.添加一个________条件,就能使△ACD
≌
△ACB（不再添加其他线段，不再标注或使用其他字母）思维提升如图，AE和CD相交于点O,∠ADO=∠CEO=90°.要证明△AOD≌△COE,只需再增添一个什么条件？反过来由△AOD≌△COE，你能得出什么结论 （不再添加其他线段，不再标注或使用其他字母）．
鲁教版数学七年级下册第十章《三角形的有关证明》第1节
《全等三角形》教学设计
宫淑一
乳山市诸往初中
A
B
C
A′
B′
C′
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
A
B
M
C
D
A
C
D
O
B
O
A
B
C
D
D
A
B
C
D
A
E
B
O
C
全等三角形
学生板书
（定理证明）
判定
SSS
SAS
ASA
基本事实
A
B
C
D
E
F
相信自己一定行！
A
B
M
C
D
A
C
D
O
B
O
A
B
C
D
D
A
B
C
相信自己你是最棒的！
D
A
E
B
O
C
