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《勾股定理》练习
一、选择——基础知识运用
1．如图，以直角三角形a、b、c为边，向外作等边三角形，半圆，等腰直角三角形和正方形，上述四种情况的面积关系满足S1+S2=S3图形个数有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．如图，在4×4方格中作以AB为一边的Rt△ABC，要求点C也在格点上，这样的Rt△ABC能作出（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．6个
3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为AC上一点，且DA=DB=5，又△DAB的面积为10，那么DC的长是（ ）
A．4 B．3 C．5 D．4.5
4．下列说法中正确的是（ ）
A．已知a，b，c是三角形的三边，则a2+b2=c2
B．在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方
C．在Rt△ABC中，∠C=90°，所以a2+b2=c2
D．在Rt△ABC中，∠B=90°，所以a2+b2=c2
5．一个钝角三角形的两边长为3、4，则第三边可以为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
6．如图所示，三个正方形中两个的面积分别为S1=169，S2=144，则S3=（ ）
A．50 B．25 C．100 D．30
二、解答——知识提高运用
7．在四边形ABCD中（见图），线段BC长5，∠ABC为直角，∠BCD为135°，AC=AD，而且点A到边CD的垂线段AE的长为12，线段ED的长为5，求四边形ABCD的面积。
8．画一个直角三角形，分别以它的三条边为边向外作等边三角形，要求：
（1）画出图形；
（2）探究这三个等边三角形面积之间的关系，并说明理由。
9．已知△ABC是边长为2的等边三角形，△ACD是一个含有30°角的直角三角形，现将△ABC和△ACD拼成一个凸四边形ABCD．
（1）画出四边形ABCD；
（2）求出四边形ABCD的对角线BD的长。
10．如图所示．从锐角三角形ABC的顶点B向对边作垂线BE．其中AE=3√3，AB=5√3，∠EBC=30°，求BC。
11．设计师要用四条线段CA，AB，BD，DC首尾相接组成如图所示的两个直角三角形图案，∠C与∠D为直角，已知其中三条线段的长度分别为1cm，9cm，5cm，第四条长为xcm，试求出所有符合条件的x的值。
参考答案
一、选择——基础知识运用
1．【答案】D
【解析】（1）S1=a2，S2=b2，S3=c2，
∵a2+b2=c2，
∴a2+b2=c2，
∴S1+S2=S3．
（2）S1=a2，S2=b2，S3=c2，
∵a2+b2=c2，
∴a2+b2=c2，
∴S1+S2=S3．
（3）S1=a2，S2=b2，S3=c2，
∵a2+b2=c2，
∴a2+b2=c2，
∴S1+S2=S3．
（4）S1=a2，S2=b2，S3=c2，
∵a2+b2=c2，
∴S1+S2=S3．
综上，可得
面积关系满足S1+S2=S3图形有4个。
故选：D。
2．【答案】D
【解析】
当AB是斜边时，则第三个顶点所在的位置有：C、D，E，H四个；
当AB是直角边，A是直角顶点时，第三个顶点是F点；
当AB是直角边，B是直角顶点时，第三个顶点是G。
因而共有6个满足条件的顶点。
故选D。
3．【答案】B
【解析】∵在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴BC⊥AC，即BC是△DAB的高，
∵△DAB的面积为10，DA=5，
∴DA BC=10，
∴BC=4，
∴CD===3。
故选B。
4．【答案】C
【解析】在直角三角形中只有斜边的平方等于其他两边的平方的和，且斜边对角为直角。
A、不确定c是斜边，故本命题错误，即A选项错误；
B、不确定第三边是否是斜边，故本命题错误，即B选项错误；
C、∠C=90°，所以其对边为斜边，故本命题正确，即C选项正确；
D、∠B=90°，所以斜边为b，所以a2+c2=b2，故本命题错误，即D选项错误；
故选 C。
5．【答案】C
【解析】设第三边为c，
若这个三角形为直角三角形，则第三边为=5，
∵钝角大于直角，
∴c＞5，
∵三角形第三边小于其余两边和，
∴c＜7，
故选C。
6．【答案】C
【解析】根据图形及勾股定理得：S1=S2+S3，
∵S1=169，S2=144，
∴S3=S1-S2=169-144=25．
故选C。
二、解答——知识提高运用
7．【答案】90
【解析】
∵AC=AD，且AE⊥CD，∴E为CD的中点，
即CE=DE=5，∴△ACD的面积S= CD AE=60，
且AC==13，
∴在直角△ABC中，AB==12，
∴△ABC的面积S= BC AB=30，
故四边形ABCD的面积为30+60=90。
答：四边形ABCD的面积为 90。
8．【答案】（1）如图1所示；
（2）如图2所示：
斜边所在等边三角形的面积是另外两个等边三角形面积之和，
即S1+S2=S3，
理由如下：
∵△ABC是直角三角形，
∴AB2+AC2=BC2，
∵S3=BC2，S1=AB2，S2=AC2，
∴S1+S2=（AB2+AC2）=AB2=S3。
9．【答案】（1）四边形ABCD分为2种情况，①AC为斜边；②AC为60°角所对直角边；③AC为30°角所对直角边．
所以，共6种图形．
（2）如图，分别求BD的长度，
在图1中，BD===；
在图2中，BD=== ；
在图3中，BD===；
在图4中，BD===；．
在图5中，BD==2；
在图6中，BD==2
答：BD的长度为；2；。
10．【答案】在直角△AEB中，AE=3，AB=5，
则BE==4，
∵∠BEC=90°，∠EBC=30°，
∴BC=2CE（直角三角形中30°角所对直角边为斜边长的一半），
∵BC2=CE2+BE2，
∴3CE2=BE2=48，
∴CE=4，BC=8．
答：BC的长为 8．。
11．【答案】显然AB是四条线段中最长的线段，分AB=x或AB=9两种情况来讨论。
把AB平移至ED（如图所示）。
①若AB=x，
当CD=9时，则x==3；
当CD=5时，则x==5；
当CD=1时，则x==．
②若AB=9，
当CD=5时，由（x+1）2+52=92，得x=2-1；
当CD=1时，由（x+5）2+12=92，得x=4-5；
当CD=x时，由x2+（1+5）2=92，得x=3。
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人教版 八年级下册
17.1 勾股定理
导入新课
国际数学家大会的会徽
这个图形里到底蕴涵了什么样博大精深的知识呢？
新课学习
勾股定理
相传2500年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家里做客时，发现朋友家用砖铺成的地面中反映了直角三角形三边的某种数量关系。
新课学习
A
B
C
图甲
A的面积(单位面积) B的面积(单位面积) C的面积(单位面积)
图1
9
9
1.观察图甲，小方格的边长为1。正方形A、B、C的面积各为多少？
18
SA+AB=AC
新课学习
A
B
C
图甲
a
b
c
SA=a2，SB=b2，SC=c2
SA+AB=AC
a2+b2=c2
对于等腰直角三角形有这样的性质：
斜边的平方等于两直角边的平方和。
新课学习
A
B
C
图乙
SA+AB=AC
A的面积(单位面积) B的面积(单位面积) C的面积(单位面积)
图1
16
9
2.观察图乙，小方格的边长为1。正方形A、B、C的面积各为多少？
25
新课学习
A
B
C
图乙
SA=a2，SB=b2，SC=c2
SA+AB=SC
a2+b2=c2
对于一般直角三角形：
a
b
c
新课学习
命题１：如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么a2+b2=c2。
c
a
b
B
C
A
如何证明这样的结论呢？
新课学习
a
b
c
S大正方形＝c2
S小正方形＝(b-a)2
S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形
弦图
证法：赵爽弦图
4×ab+(b-a)2=c2
2ab+（b -2ab+a ）=c
a2+b2=c2
新课学习
如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么
a2 + b2 = c2.
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
∵ ∠C＝90°
∴ a2 + b2 = c2
c
a
b
B
C
A
勾股定理
知识巩固
1.如图，则正方形A的边长是（ ）
A. 6 B. 36 C. 64 D. 8
分析：根据勾股定理及正方形的面积公式得：A+64=100，
解得：A=36，
则正方形A的边长为6．故选A。
A
知识巩固
2.若一个直角三角形的一条直角边长是7cm，另一条直角边比斜边短1cm，则斜边长为（ ）
A. 18cm B. 20cm C. 24cm D. 25cm
分析：依题意，设斜边为xcm，则另一条直角边为（x-1）cm，
由勾股定理，得72+（x-1）2=x2，
解得x=25cm。
故选D．
D
新课学习
a
b
c
a
b
c
a
b
c
c2= a2 +b2
a
b
c
确定斜边
b2= c2 - a2
a2= c2 - b2
a2+b2 = c2
灵活运用公式
变式运用：
a2+c2 = b2
b2+c2 = a2
知识巩固
3.判断题：
(1)直角三角形三边分别为 a, b, c ，则一定满足下面的式子： a2+b2 =c2
(2) 直角三角形的两边长分别是3和4，则第三边长是5.
不正确
不正确
勾股定理使用时，一定要注意直角边与斜边的区分。
知识巩固
4.如图，在△ABC中，∠A=45°，∠B=30°，CD⊥AB，垂足为D，CD=1，则AB的长为（ ）
A. 2 B. 2C. +1 D. +1
D
如果直角三角形两边长分别为3和4，那么第三边的长为 .
典题精讲
5或
（2）当4为斜边时，由勾股定理得，第三边为 ，
故答案为 5或 ．
注意：分类讨论是一种重要的解题方法
解：（1）当两边均为直角边时，由勾股定理得，第三边为5；
典题精讲
分析：AD为直角三角形斜边上的中线，所以AD=BD=AB，即可求得AE，AC，根据AC，AE的表达式计算AE，AC的关系。
如图已知AD是直角△ABC的中线，E为BD的中点，BA=BD，问AC、AE的长度有何等量关系？并证明你的结论．
典题精讲
解析：AB=2AE．
证明：设AB=x，
∵AD为斜边BC的中线，
∴BD=DC=DA=x，即△ABD为等边三角形，
∴AE==AB．
AC=，且BC=2AB，
∴AC=AB，∴AC=2AE．
勾股定理的变式应用
课堂小结
1、勾股定理：
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
a2 + b2 = c2
2、勾股定理简单应用：
拓展提升
1.已知Rt△ABC的周长为14，面积为7．试求它的三边长。
分析：设出三边长分别为a、b、c，利用勾股定理、面积、周长分别列出方程，组成方程组解得三边的长即可。
拓展提升
解析：设△ABC的三边长分别为a、b、c，其中c为斜边，依题意得方程组：
a2 + b2 = c2①；ab＝7②；a+b+c＝14③
由③得：a+b=14-c
从而解得：c=6．
于是，a+b=14-c=8，ab=98-14c=14．
从而a、b是方程Z2 -8z+14=0的两根．解得z=4±．
故Rt△ABC的三边分别为4-，4+，6登陆21世纪教育 助您教考全无忧
《勾股定理》教案
【教学目标】
1.知识与技能
（1）了解关于勾股定理的一些文化历史背景。
（2）能用勾股定理解决一些简单问题。
2.过程与方法
发展观察、归纳、概括等能力，发展有条理的思考能力以及语言表达能力。
3.情感态度和价值观
通过师生共同活动，促进学生在学习活动中培养良好的情感，合作交流，主动参与的意识。
【教学重点】
勾股定理的推导
【教学难点】
利用勾股定理解决问题。
【教学方法】
自学与小组合作学习相结合的方法。
【课前准备】
教学课件。
【课时安排】
1课时
【教学过程】
一、情景导入
【过渡】如图所示为2002年在北京举行的国际数学家大会的会徽，它标志着我国古代数学的成就。这个图形里到底蕴涵了什么样博大精深的知识呢？今天我们就来探究一下，关于这个图形，究竟有哪些知识。
二、新课教学
1．勾股定理
【过渡】相传2500年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家里做客时，发现朋友家用砖铺成的地面中反映了直角三角形三边的某种数量关系。现在，我们也来观察一下，从图形中能发现什么知识呢？
【过渡】大家来看P22页的思考内容，我们发现，这个图形与上边的图形是一致的，今天，我们也来当一回科学家，来思考一下，这个图形到底有什么奥秘呢？
【过渡】我们能够看到，在这个图中，有三个正方形A、B、C，现在，我们假设小方格的边长为1。正方形A、B、C的面积各为多少？
（学生回答）引导学生通过小方格的个数计算。
【过渡】通过观察，我们发现，三个正方形，SA=6，SB=6，SC=12。由此，我们能够回答思考内容中的第一个问题，即三个正方形的关系是SA+SB=SC。
【过渡】现在，我们来看第二个问题，结合正方形的知识，我们知道三个正方形所围成的，即蓝色部分是一个等腰直角三角形。我们假设A、B、C三个正方形对应的边长分别为a、b、c。则通过正方形面积的计算，大家能得到什么呢？
（学生回答）
【过渡】大家都是很优秀的科学家，就是这样，我们能够得到a2+b2=c2，而从图中，我们又能发现，a、b、c刚好是等腰直角三角形的三条边。那么，现在谁能来总结一下，等腰直角三角形中三边的关系呢？
对于等腰直角三角形有这样的性质：斜边的平方等于两直角边的平方和。
【过渡】既然等腰三角形中有这样的性质，那大家就可能会说，其他一般的三角形中会不会也有同样的性质呢？我们来看课本探究的内容。
【过渡】同样是假设小方格为1，我们画出了一般情况下的直角三角形。同样根据刚刚的面积法，我们来探索一下。
【过渡】同样的，我们能够得到SA+AB=SC，而对应的边所组成的三角形的边长也有同样的关系：a2+b2=c2。
【过渡】由以上的例子，我们得到这样的猜想：
如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么a2+b2=c2。
【过渡】从古至今，有很多科学家对命题1进行了证明，下边我们来介绍证明方法：
（1）赵爽弦图：学生阅读课本，进行理解。
【过渡】赵爽弦图是比较著名的证明方法，他的基本思路是用四个直角三角形围成如图所示的正方形。从面积角度入手，大正方形的面积为c2，小正方形的面积(b-a)2。与此同时，S大=4S三+S小。即c2=2ab+a2-2ab+b2。由此得到a2+b2=c2。
【过渡】赵爽弦图证明了命题1的正确性。我们将其成为勾股定理。
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
【过渡】利用勾股定理，可以简单的解决一些问题。大家来练习一下吧。
【过渡】在勾股定理的应用当中，也会存在一些变式的应用。如确定斜边等。
课件展示变式应用。
【典题精讲】
如果直角三角形两边长分别为3和4，那么第三边的长为 5或 .
解：（1）当两边均为直角边时，由勾股定理得，第三边为5，
（2）当4为斜边时，由勾股定理得，第三边为 ，
故答案为 5或 ．
如图已知AD是直角△ABC的中线，E为BD的中点，BA=BD，问AC、AE的长度有何等量关系？并证明你的结论。
解析：AB=2AE．
证明：设AB=x，
∵AD为斜边BC的中线，
∴BD=DC=DA=x，即△ABD为等边三角形，
∴AE== AB．
AC=，且BC=2AB，
∴AC=AB，∴AC=2AE
【知识巩固】1、如图，则正方形A的边长是（ A ）
A. 6 B. 36 C. 64 D. 8
2、若一个直角三角形的一条直角边长是7cm，另一条直角边比斜边短1cm，则斜边长为（ D ）
A. 18cm B. 20cm C. 24cm D. 25cm
3、判断题：
(1)直角三角形三边分别为 a, b, c ，则一定满足下面的式子： a2+b2 =c2错误
(2) 直角三角形的两边长分别是3和4，则第三边长是5错误
4、如图，在△ABC中，∠A=45°，∠B=30°，CD⊥AB，垂足为D，CD=1，则AB的长为（ D ）
A. 2 B. 2 C. +1 D. +1
【拓展提升】1、已知Rt△ABC的周长为14，面积为7．试求它的三边长。
解：设△ABC的三边长分别为a、b、c，其中c为斜边，依题意得方程组：
a2+b2＝c2 ①； ab＝7②；a+b+c＝14③
由③得：a+b=14-c
从而解得：c=6．
于是，a+b=14-c=8，ab=98-14c=14．
从而a、b是方程z2-8z+14=0的两根．解得z=4±．
故Rt△ABC的三边分别为4-，4+，6
【板书设计】
1、勾股定理：
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
【教学反思】
本节课开始是利用了多媒体介绍了在北京召开的2015年国际数学家大会的会标，其图案为“弦图”，激发学生的兴趣。导入新课，是课堂教学的重要一环。运用多媒体展示这一有意义的图案，可有效地开启学生思维的闸门，激发联想，激励探究，使学生的学习状态由被动变为主动，使学生在轻松愉悦的氛围中学到知识。在讲解勾股定理的结论时，为了让学生更好地理解和掌握勾股定理的探索过程，先让学生自己进行探索，然后同学进行讨论，最后上台演示。这样可以加深学生的参与，也让师生间、生生间有了互动。然后老师再利用电脑演示直角三角形中勾股定理的探索过程。
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