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《勾股定理》练习
一、选择——基础知识运用
1．同一平面内有A、B、C三点，A、B两点相距5cm，点C到直线AB的距离为2cm，且△ABC为直角三角形，则满足上述条件的点C有（ ）
A. 2个
B. 4个
C. 6个
D. 8个
2．如图，用硬纸片剪一个长为16cm、宽为12cm的长方形，再沿对角线把它分成两个三角形，用这两个三角形可拼出各种三角形和四边形来，其中周长最大的是（ ）cm，周长最小的是（ ）cm．
A. 72，56
B. 70，56
C. 70，54
D. 74，54
3．如图，是由16个边长为1的小正方形拼成的，连接这些小正方形的若干个顶点，得到五条线段CA、CB、CD、CE、CF，其中长度是有理数的有（ ）
A. l条
B. 2条
C. 3条
D. 4条
4．小明用一根长为30厘米的铁丝围成一个直角三角形，使斜边长为13厘米，则该三角形的面积等于（ ）
A. 15厘米2
B. 30厘米2
C. 45厘米2
D. 60厘米2
5．如图，在矩形ABCD中，AE，AF三等分∠BAD，若BE=2，CF=1，则最接近矩形面积的是（ ）
A. 13
B. 14
C. 15
D. 162
二、解答——知识提高运用
6．如图，某居民小区，有矩形地ABCD一块，为美化环境要在中央修建一矩形EFGH花圃，使其面积为这块地面积的一半，且花圃四周的道路宽相等，今无测量工具，只有无刻度的足够长的一条绳子，如何量出道路的宽度？
7．如图，3个全等的菱形构成的活动衣帽架，顶点A、E、F、C、G、H是上、下两排挂钩，根据需要可以改变挂钩之间 的距离（比如AC两点可以自由上下活动），若菱形的边长为16厘米，要使两排挂钩之间的距离为8厘米，并在点B、M处固定，则B、M之间的距离是多少？
8．如图，在矩形ABCD中，AB=6 cm，BC=12 cm，点P从点A开始以1 cm/s的速度沿AB边向点B移动，点Q从点B开始以2 cm/s的速度沿BC边向点C移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，设移动的时间为t。
求：（1）当t为多少时，△PBQ的面积等于8 cm2？
（2）当t为多少时，△PQD是以PD为斜边的直角三角形？
9．某电力公司为了改善农村用电电费过高的问题，准备在各地农村进行电网改造．富康乡有三个村庄A、B、C、正好位于一个正三角形的三个顶点，现计划在三个村庄联合架设一条线路，他们设计了三种架设方案，如图中的实线部分，请你帮助算一下，哪种架设方案最省电线．（以下数据可供参考：=1.414，=1.732，=2.236）
10如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，将其沿直线MN折叠，使点C与点A重合，求CN的长．
11如图，AD⊥AB，BC⊥AB，且AD=2，BC=3，AB=12，P是线段AB上的一个动点，连接PD，PC
（1）设AP=x，用二次根式表示线段PD，PC的长；
（2）设y=PD+PC，求当点P在线段AB上运动时，y的最小值；
（3）利用（2）的结论，试求代数式+的最小值。
参考答案
一、选择——基础知识运用
1．【答案】D
【解析】（1）当AB为斜边时，点C到AB的距离为2cm，即AB边上的高为2cm，符合要求的C点有4个，如图；
（2）当AB为直角边时，AC=2cm或者BC=2cm，符合要求的C点有4个，如图；
符合要求的C点共8个。
故选D。
2．【答案】A
【解析】如图所示：已知一个长为16cm、宽为12cm的长方形，
∴根据勾股定理得：对角线的长为=20（cm），
那么拼出各种三角形和四边形的周长有以下情况：
（12+16）×2=56（cm），
（12+20）×2=64（cm），
（16+20）×2=72（cm），
所以周长最大的是72cm，
周长最小的是56cm，
故选：A。
3．【答案】B
【解析】∵CA=4、AB=1、AD=3，
∴CB===，
CD===5；
CE==2；
CF==，
∴长度为有理数的一共有2条，
故选B。
4．【答案】B
【解析】设一直角边为x，
x2+（30-13-x）2=132，
解得x=12或x=5，
当x=12时 另一边为30-13-12=5，
当x=5时 另一边为30-13-5=12，
所以面积为×12×5=30。
故选B。
5．【答案】C
【解析】矩形ABCD，∠B=∠D=∠BAD=90°，AB=CD
∵AE，AF三等分∠BAD，
∴∠BAE=∠EAF=∠DAF=30°，
∵BE=2，CF=1，
∴AE=4，
由勾股定理得：AB==2，
∴CD=2，
即：DF=2-1，
∴AF=2DF=4-2，
由勾股定理得：AD=6-，
∴矩形的面积是：AB×AD=（6-）×2=12-6≈14.784．
故选C。
二、解答——知识提高运用
6．【答案】设道路的宽为x，AB=a，AD=b，
则（a-2x）（b-2x）=ab，
x=，
∵2x=＞＞b（不合题意，舍去）
故x= =．
具体做法是：用绳量出AB+AD，再减去BD之长，将余下的AB+AD-BD对折两次，即得道路的宽x=。
7．【答案】连接AC，BD交于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AO=AC=4
∴BO= ==4，
∴BD=8，
BM=24。
8．【答案】（1）AP=t，BP=6-t，BQ=2t，
△PBQ的面积等于8cm2
则（6-t）×2t=8
整理得t2-6t+8=0，解得t1=2，t2=4
即当t为2秒或4秒时，△PBQ的面积等于8cm2；
（2）易得PD2=t2+122，PQ2=（6-t）2+（2t）2，QD2=（12-2t）2+62，
∵△PQD是以PD为斜边的直角三角形
∴PD2=PQ2+QD2，即t2+122=（6-t）2+（2t）2+（12-2t）2+62，
整理得2t2-15t+18=0，解之得t1=6，t2=，
即当t为秒或6秒时，△PQD是以PD为斜边的直角三角形。
9．【答案】∵AB=BC=AC，
∴△ABC是等边三角形，
设边长为2a，
则图（1）中电线长度为：l1=2a×2=4a；
图（2）中，电线的长度为：l2=2a+2a sin60°=2a+2a×=2a+a≈3.73a；
图（3）中，电线的长度为：l3=3× =3× =2a≈3.46a，
故l1＞l2＞l3。
故第3种方案最省电线。
10．【答案】设CN=x，则AN=CN=x，
∵AB=8，
∴BN=8-x，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠B=90°，
∴在Rt△CBN中，CN2=NB2+BC2，
又∵BC=6，
∴x2=（8-x）2+62
解得，x=6.25
答：CN的长为6.25。
11．【答案】（1）在直角△ADP中，∵∠A=90°，AD=2，AP=x，
∴PD==；
在直角△BCP中，∵∠B=90°，AD=3，PB=AB-AP=12-x，
∴PC==；
（2）如右图．作D点关于AB的对称点D′，连接CD′，交AB于P，则PD′=PD，CD′=PD′+PC=PD+PC，即为y的最小值。
过D′作AB的平行线，交CB的延长线于E．
在△CED′中，∠E=90°，D′E=AB=12，CE=CB+BE=CB+AD=3+2=5，
由勾股定理，得CD′==13，
故y的最小值为13；
（3）如图．构造图形，AB=24，AD⊥AB，AD=3，BC=4，PA=x，PB=24-x，
PD=，PC=，
由对称性可知，PC+PD的最小值为PC+PD′=CD′==25．
故代数式的最小值为25。
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《勾股定理》教案
【教学目标】
1.知识与技能
利用勾股定理解决实际生活问题。
2.过程与方法
灵活运用所学知识，主动参与讨论学习。
3.情感态度和价值观
通过师生共同活动，促进学生在学习活动中培养良好的情感，合作交流，主动参与的意识。
【教学重点】
正确利用勾股定理解决实际问题。
【教学难点】
将实际问题转化为数学问题。
【教学方法】
讲解与练习相结合的方法。
【课前准备】
教学课件。
【课时安排】
1课时
【教学过程】
一、复习导入
【过渡】上节课我们学习了什么是勾股定理以及简单的应用，现在我们先来回忆一下，什么是勾股定理？
（引导学生回答）
【过渡】大家回答的都很正确，看来课下都进行了复习。那么，现在我就要检验一下大家究竟会不会运用勾股定理。
课件展示简单的应用题。学生回答。
【过渡】刚刚的问题只是非常简单的应用，这节课我们将学习勾股定理的深一步应用。
二、新课教学
1．勾股定理的应用
（1）生活中的数学问题
【过渡】我们首先来看勾股定理在生活实际问题中的应用。
讲解例1。
【过渡】读过问题之后，我们知道，这是一道实际的问题。在之前，我们学习过，遇到实际问题时，我们需要想办法将其转化为数学问题，而实际的图形就需要转化为数学图形。
【过渡】从题目中，我们知道，木板的长和宽都大于门的宽度和高度。因此，不论是横着还是竖着，都是不可能将木板弄进屋里。在这个时候，我们就需要考虑，斜着能否将其抬进去呢？
【过渡】我们知道，在矩形中，其对角线的长度是最大的，因此，就将问题转化为比较对角线与木板长度的大小。在这里，我们就需要用到勾股定理。
课件展示解题过程。
【过渡】现在，我们来看另一类问题。
讲解例2.
【过渡】题目可以转化为比较BE与0.4m的大小，这样就能够将问题数学化，再利用勾股定理，就可以解决问题了。
课件展示解题过程。
（2）立体问题
【过渡】除了以上的问题之外，我们还会遇到在立体图形中的问题。
例3：有一个圆柱,它的高等于12厘米,底面半径等于3厘米,在圆柱下底面上的A点有一只蚂蚁,它想从点A爬到点B , 蚂蚁沿着圆柱侧面爬行的最短路程是多少 (π的值取3)
【过渡】求至少要爬多少路程，根据两点之间直线最短，把圆柱体展开，在得到的矩形上连接两点，求出距离即可。
课件展示解题过程。
（3）折叠问题
【过渡】折叠问题是勾股定理应用中的有一种类型，我们通过例题来看一下如何解决这类问题。
例4：矩形ABCD如图折叠，使点D落在BC边上的点F处，已知AB=8，BC=10，求折痕AE的长。
【过渡】解决这类问题最重要的是理解折叠，即找到对应的线。
课件展示解题过程。
【知识巩固】1、如图，小明家居住的甲楼AB面向正北，现计划在他家居住的楼前修建一座乙楼CD，楼高为18米，已知冬天的太阳最低时，光线与水平线的夹角为30°，若让乙楼的影子刚好不影响甲楼，则两楼之间距离至少应是多少米？
解：∵CE∥DB，
∴∠ECB=30°，
∴∠CBD=30°．
在Rt△CBD中，CD=18m，
CB=2CD=2×18=36（m）．
∴BD==18 （m）
2、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿AC，BC方向向点C匀速运动，它们的速度都是1cm/s，那么几秒后，P，Q两点之间的距离为2 cm？
设x秒后，PQ=2 cm，则PC=PC=（6-x）cm，CQ=（8-x）cm，
由勾股定理得：（6-x）2+（8-x）2=（2 ）2
整理得：x2-14x+40=0 解得：x=4或x=0（不合舍去）
4秒后，PQ=2 cm
3、如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为55寸、10寸和6寸，A和B是这个台阶的两个相对端点，A点上有一只蚂蚁想到B点去吃可口的食物，则它所走的最短路线长度是多少？
解：展开后由题意得：∠C=90°，AC=3×10+3×6=48（寸），
BC=55寸，
由勾股定理得：AB==73（寸）
4、如图，把长方形ABCD沿FE折叠，使点B落在边AD上的点B′处，点A落在点A′处，若AE=3，BF=4，则AB长是多少？
解：由折叠的性质知：A′B′=AB，AE=A′E，BF=B′F，∠A′=∠A=90°，∠B′FE=∠BFE；
又∵AD∥BC，
∴∠BFE=∠B′EF，
∴∠B′EF=∠BFE=∠B′FE，即B′E=B′F=BF；
在Rt△A′B′E中，由勾股定理得：A′B′2+A′E2=B′E2，
即：AB2=BF2-AE2，
∴AB= = ，即AB的长度是。
【拓展提升】1、已矩形ABCD的边长AB=6，BC=4，点F在DC上，DF=2．动点M、N分别从点D、B同时出发，沿线段DA、线段BA向点A的方向运动，当动点M运动到点A时，M、N两点同时停止运动．连接FM、FN．设点M、N的运动速度都是1个单位/秒，M、N运动的时间为x秒，问：当x为多少时，FM⊥FN？
解：连接MN，做NP⊥DC，
当FM⊥FN时，即△MFN为直角三角形，∴FM2+FN2=MN2，
∵MN2=AM2+AN2，DM2+DF2=FM2，PF2+PN2=FN2，
又∵设点M、N的运动速度都是1个单位/秒，矩形ABCD的边长AB=6，BC=4，DF=2，M、N运动的时间为x秒，DM=x，AM=4-x，AN=6-x，PN=4，PF=6-2-x，
∴DM2+DF2+PF2+PN2=AM2+AN2，
∴x2+4+（4-x）2+16=（4-x）2+（6-x）2，解得：x= 4 /3。
【板书设计】
1、勾股定理的应用：
生活中的数学问题
立体问题
折叠问题
【教学反思】
在教学安排上，采用先讲解例题，再让学生练习的方法，进一步加深对勾股定理的认识，并从解决问题的过程中感受数学知识在实际生活的应用，感受数学中的解题思维。
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人教版 八年级下册
17.1 勾股定理
导入新课
如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c，那么
即 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
a
b
c
导入新课
求下列图中表示边的未知数x、y的值。
81
144
x
y
625
576
15
7
新课学习
勾股定理的应用
应用一：生活中的数学问题
例1：一个门框的尺寸如图所示，一块长3m、宽2.2m的长方形薄木板能否从门框内通过 为什么
实际问题
数学问题
实物图形
几何图形
新课学习
1m
2m
A
D
C
B
2.2米
3米
横着进或竖着进均不可行，因此只能试试斜着。如何确定斜着是否能进去呢？
最长
新课学习
解：在Rt△ABC中，根据勾股理，
AC2=___________=________=_____
AC=_____≈______
因为______________________________
所以木板能从门框内通过。
AB2 + BC2
12 + 22
2.24
A
B
C
1 m
2 m
2.242.2
5
新课学习
例2：一个2.5m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AC上，这时AC的距离为2.4m．如果梯子顶端A沿墙下滑0.4m，那么梯子底端B也外移0.4m吗？
D
E
将问题转化为比较BE与0.4m的大小。
新课学习
D
E
解：在Rt△ABC中，
∵∠ACB=90°
∴ AC2+ BC2＝AB2
2.42+ BC2＝2.52
∴BC＝0.7m
由题意得：DE＝AB＝2.5m
DC＝AC－AD＝2.4－0.4＝2m
∵∠DCE=90°
∴ DC2+ CE2＝DE2
22+ BC2＝2.52
∴CE＝1.5m
∴BE＝1.5－0.7＝0.8m≠0.4m
梯子底端B不是外移0.4m。
知识巩固
1. 如图，小明家居住的甲楼AB面向正北，现计划在他家居住的楼前修建一座乙楼CD，楼高为18米，已知冬天的太阳最低时，光线与水平线的夹角为30°，若让乙楼的影子刚好不影响甲楼，则两楼之间距离至少应是多少米？
分析：根据CE∥DB，将俯角30°转化到Rt△BCD中，已知CD=18，根据30°的直角三角形的性质可知，CB=2CD，求CB，再利用勾股定理求BD，即为两楼之间距离．
知识巩固
解析：∵CE∥DB，
∴∠ECB=30°，
∴∠CBD=30°．
在Rt△CBD中，CD=18m，
CB=2CD=2×18=36（m）．
∴BD===18（m）。
知识巩固
2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿AC，BC方向向点C匀速运动，它们的速度都是1cm/s，那么几秒后，P，Q两点之间的距离为2 cm？
分析：设P、Q同时出发，x秒钟后，AP=xcm，PC=（6-x）cm，CQ=（8-x）cm，利用勾股定理列出方程求解即可．
知识巩固
解析：设x秒后，PQ=2 cm，则PC=PC=（6-x）cm，CQ=（8-x）cm，
由勾股定理得：（6-x）2+（8-x）2=（2 ）2
整理得：x2-14x+40=0 解得：x=4或x=0（不合舍去）
4秒后，PQ=2 cm。
新课学习
应用二：立体问题
A
B
我怎么走
会最近呢
例3：有一个圆柱,它的高等于12厘米,底面半径等于3厘米,在圆柱下底面上的A点有一只蚂蚁,它想从点A爬到点B , 蚂蚁沿着圆柱侧面爬行的最短路程是多少 (π的值取3)
新课学习
B
A
高
12cm
B
A
长18cm (π的值取3)
9cm
C
求至少要爬多少路程，根据两点之间直线最短，把圆柱体展开，在得到的矩形上连接两点，求出距离即可。
新课学习
高
12cm
B
A
9cm
蚂蚁爬行的最短路程是15厘米.
C
解： Rt△ABC中， ∠C=90°。
AB==15(cm)
知识巩固
3.如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为55寸、10寸和6寸，A和B是这个台阶的两个相对端点，A点上有一只蚂蚁想到B点去吃可口的食物，则它所走的最短路线长度是多少？
解析：展开后得到直角三角形ACB，根据题意求出AC、BC，根据勾股定理求出AB即可。
知识巩固
解析：展开后由题意得：∠C=90°，AC=3×10+3×6=48（寸），
BC=55寸，
由勾股定理得：AB===73（寸）
立体问题要巧妙的展开图形。
新课学习
应用三：折叠问题
例4:矩形ABCD如图折叠，使点D落在BC边上的点F处，已知AB=8，BC=10，求折痕AE的长。
A
B
C
D
F
E
新课学习
A
B
C
D
F
E
解:设DE为x,
x
(8- x)
则CE为 (8- x).
由题意可知:EF=DE=x,
x
AF=AD=10
10
10
8
∵∠B=90°
∴ AB2+ BF2＝AF2
82+ BF2＝102
∴BF＝6
∴CF＝BC－BF＝10－6＝4
6
4
∵∠C=90°
∴ CE2+CF2＝EF2
(8－ x)2+42=x2
80 －16x=0
x=5
新课学习
利用勾股定理解决实际问题的一般思路：
（1）重视对实际问题正确理解；
（2）建立对应的数学模型运用相应的数学知识；
（3）方程思想在本题中的运用
知识巩固
4.如图，把长方形ABCD沿FE折叠，使点B落在边AD上的点B′处，点A落在点A′处，若AE=3，BF=4，则AB长是多少？。
分析：由折叠的性质知：BF=B′F，且∠B′FE=∠BFE，由AD∥BC可知∠B′EF=∠BFE，通过等量代换可证得B′E=B′F=BF，进而可在Rt△A′B′E中，利用勾股定理得到所求线段与已知线段间的数量关系。
新课学习
解析：由折叠的性质知：A′B′=AB，AE=A′E，BF=B′F，∠A′=∠A=90°，∠B′FE=∠BFE；
又∵AD∥BC，
∴∠BFE=∠B′EF，
∴∠B′EF=∠BFE=∠B′FE，即B′E=B′F=BF；
在Rt△A′B′E中，由勾股定理得：A′B′2+A′E2=B′E2，
即：AB2=BF2-AE2，
∴AB= = ，即AB的长度是。
课堂小结
1、勾股定理的应用：
生活中的数学问题
立体问题
折叠问题
拓展提升
1.已矩形ABCD的边长AB=6，BC=4，点F在DC上，DF=2．动点M、N分别从点D、B同时出发，沿线段DA、线段BA向点A的方向运动，当动点M运动到点A时，M、N两点同时停止运动．连接FM、FN．设点M、N的运动速度都是1个单位/秒，M、N运动的时间为x秒，问：当x为多少时，FM⊥FN？
分析：首先构造直角三角形，用x表示出各部分的长度，再结合勾股定理求出x的值
拓展提升
解析：连接MN，做NP⊥DC，
当FM⊥FN时，即△MFN为直角三角形，∴FM2+FN2=MN2，
∵MN2=AM2+AN2，DM2+DF2=FM2，PF2+PN2=FN2，
又∵设点M、N的运动速度都是1个单位/秒，矩形ABCD的边长AB=6，BC=4，DF=2，M、N运动的时间为x秒，DM=x，AM=4-x，AN=6-x，PN=4，PF=6-2-x，
∴DM2+DF2+PF2+PN2=AM2+AN2，
∴x2+4+（4-x）2+16=（4-x）2+（6-x）2，解得：x= ，
