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《勾股定理》教案
【教学目标】
1.知识与技能
（1）了解在数轴上无理数的表示。
（2）能用勾股定理解决问题。
2.过程与方法
在讲解与练习中进一步加深理解。
3.情感态度和价值观
通过师生共同活动，促进学生在学习活动中培养良好的情感，合作交流，主动参与的意识。
【教学重点】
无理数的表示
【教学难点】
正确的在数轴上表示无理数。
【教学方法】
自学与小组合作学习相结合的方法。
【课前准备】
教学课件。
【课时安排】
1课时
【教学过程】
一、复习导入
【过渡】在之前的学习中，我们了解到了数轴这样一个概念。现在，大家看一下这两个问题，来复习一下有关无理数与数轴的知识。
（1）数轴上表示的点-到原点的距离是 ；
（2）点M在数轴上与原点相距个单位，则点M表示的实数为 。
【过渡】结合数轴的相关知识，我们能够很容易的给出答案。对于有理数而言，我们能够很轻松的在数轴上找出对应的点。但是像刚刚的与,这样的无理数，却很难去表示。今天，我们就来寻找一种方法，在数轴上找到这样的点的位置。
二、新课教学
1．勾股定理
【过渡】在八年级上册的学习中，我们得到了一种证明两个直角三角形全等的结论。寻找大家看一下思考的内容，你能通过勾股定理去证明这个结论是否正确吗？
【过渡】在解决数学问题时，我们常常利用数学语言会更直观。因此，将上述结论转化为数学语言，即为：已知：如图，在Rt△ABC和Rt△A’B’C’中，∠C=∠C’=90°，AB=A’B’，AC=A’C’。求证：△ABC≌△A’B’C’。现在大家来证明一下吧。
（学生回答）
课件展示证明过程。
【过渡】这个证明显示了勾股定理在三角形的运算或证明等过程中的应用。大家在遇到这样的问题的时候，要能够灵活运用勾股定理。
表示无理数
【过渡】现在，我们回到课堂最开始的问题，如何在数轴上找到的点呢？既然是在勾股定理的应用，那么我们就从这个角度来进行分析。
【过渡】根据勾股定理，知道是两个直角边分别为2、3的直角三角形的斜边。因此，我们就可以在数轴上画出一个斜边长为的直角三角形。
【过渡】既然找到了的线段，我们就可以按照以下方法进行绘图。
①在数轴上找到点A，使OA=3，
②过A点作直线L垂直于OA，在L上截取AB=2，
③以O为圆心，以OB为半径画弧，交数轴于点C，点C即为表示的点。
（学生练习几个不同的无理数长度的画法）
【过渡】按照这样的方法，我们就能一次画出一系列的表示无理数的点。
【知识巩固】1、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为AC上一点，且DA=DB=5，又△DAB的面积为10，那么DC的长是（ B ）
A．4 B．3 C．5 D．4.5
2、如图，△ABC是等腰三角形，点O 是底边BC上任意一点，OE、OF分别与两边垂直，等腰三角形的腰长为5，面积为12，则OE+OF的值为多少？
解：连接AO，如图，
∵AB=AC=5，
∴S△ABC=S△ABO+S△AOC= AB OE+ AC OF=12，
∵AB=AC，
∴ AB（OE+OF）=12，
∴OE+OF= 。
3、如图，A、B是4×5网格中的格点，网格中的每个小正方形的边长都是1，图中使以A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形的格点C有（ B ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4、如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都为1，每个小正方形的顶点叫格点，图中已给出了两个格点A，B，按要求画△ABC：使点C在格点上，在△ABC中在有两边长为5， 。
解：
【拓展提升】1、如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=4，CD=2，点P在四边形ABCD的边上，若点P到BD的距离为3，则点P的个数为（ A ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【板书设计】
1、表示无理数：
【教学反思】
本节课是勾股定理的应用的第二节内容，最主要的是如何在数轴上表示无理数。在课堂上，采用引导的方法，使学生理解如何通过勾股定理的应用画出无理数在数轴上的位置，并通过引申练习，加强学生的理解。
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《勾股定理》练习
一、选择——基础知识运用
1．如图，在4×4方格中作以AB为一边的Rt△ABC，要求点C也在格点上，这样的Rt△ABC能作出（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．6个
2．如图，在△ABC中，∠B=40°，EF∥AB，∠1=50°，CE=3，EF比CF大1，则EF的长为（ ）
A．5 B．6 C．3 D．4
3．如图所示：数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（ ）
A．+1 B．-1 C．-+1 D．--1
4．如图所示，△ABC的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D，则BD的长为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在7×7的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，画一条线段AB=，使点A，B在小正方形的顶点上，设AB与网格线相交所成的锐角为α，则不同角度的α有（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
二、解答——知识提高运用
6．如图中的螺旋形由一系列含30°的直角三角形组成，其序号依次为①、②、③、④、⑤…，则第7个直角三角形的斜边长为 。
7．如图，正方形网格中的每个小正方形边长都为1，每个小正方形的顶点叫格点，按要求画一个三角形：使这个三角形的顶点都在格点上，该三角形的面积为3，且有一边长为。
8．如图所示．从锐角三角形ABC的顶点B向对边作垂线BE．其中AE=3，AB=5，∠EBC=30°，求BC。
9．如图，在一张长方形ABCD纸张中，一边BC折叠后落在对角线BD上，点E为折痕与边CD的交点，若AB=5，BC=12，求图中阴影部分的面积。
10．在平面直角坐标系内，已知点A（2，2）．B（2，3），点P在y轴上，且三角形APB为直角三角形，求点P的坐标。
11．（1）在右面的方格纸中，以线段AB为一边，画一个正方形；
（2）如果图中小方格的面积为1平方厘米，你知道（1）中画出的正方形的面积是多大吗？解释你的计算方法。
参考答案
一、选择——基础知识运用
1．【答案】D
【解析】
当AB是斜边时，则第三个顶点所在的位置有：C、D，E，H四个；
当AB是直角边，A是直角顶点时，第三个顶点是F点；
当AB是直角边，B是直角顶点时，第三个顶点是G．
因而共有6个满足条件的顶点．
故选D。
2．【答案】A
【解析】∵EF∥AB，
∴∠A=∠1=50°，
∴∠A+∠B=50°+40°=90°，
∴∠C=90°，
设CF=x，则EF=x+1，
根据勾股定理得：CE2+CF2=EF2，
即32+x2=（x+1）2，
解得：x=4，
∴EF=4+1=5，
故选：A。
3．【答案】B
4．【答案】A
【解析】
△ABC的面积=×BC×AE=2，
由勾股定理得，AC==，
则××BD=2，
解得BD=。故选：A。
5．【答案】C
【解析】解如图所示：
∵==5=AB，此时AB与网格线相交所成的锐角α=45°；
==5=AB，此时AB与网格线相交所成的锐角α有两个不同的角度；
∴AB与网格线相交所成的锐角α，不同角度的α有3个；
故选：C。
二、解答——知识提高运用
6．【答案】
【解析】
设第二个直角三角形的斜边长是x
∵tan30°= ，
∴x==1×，
同理第3个直角三角形斜边长是 =×，
第4个直角三角形的斜边长是：××=，
第7个直角三角形斜边的长是××=
故答案为：。
7．【答案】面积为3，我们不妨取底边为2，高为3的一个三角形；又该三角形有一边长为，则可以看作是两直角边分别为3，1的直角三角形的斜边，由此我们可以在网格上画出这个图形。
8．【答案】在直角△AEB中，AE=3，AB=5，
则BE==4，
∵∠BEC=90°，∠EBC=30°，
∴BC=2CE（直角三角形中30°角所对直角边为斜边长的一半），
∵BC2=CE2+BE2，
∴3CE2=BE2=48，
∴CE=4，BC=8．
答：BC的长为 8。
9．【答案】因为BC折叠后落在对角线BD上，设C的对应点是F，则EF⊥BD，
△DEF是直角三角形，∠DFE=90°
因为BD是长方形ABCD的对角线，
所以BD=＝13，
DF=13-12=1，
设CE=x，则EF=CE=x，DE=5-x，
在△DEF中，x2+12=（5-x）2，
解得x＝，
所以图中阴影部分的面积S△BDE＝×13×＝。
10．【答案】画出平面直角坐标系，
AB为直角边，（1）∠ABP为直角，P1A2=P1B2+AB2，则P1的坐标（0，3），
（2）∠BAP为直角，P2B2=AB2+P2A2，则P2的坐标（0，2）。
故点P的坐标为（0，2），（0，3）。
11．【答案】（1）过AB分别作ADABBCAB，并且使得AD=BC=AB，连接CD，
则正方形ABCD为题目要求的正方形．
（2）图中小方格为1cm，
则AB==，
故正方形ABCD的面积S=AB2=53。
答：正方形面积为53。
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人教版 八年级下册
17.1 勾股定理
导入新课
（1）数轴上表示的点-到原点的距离是 ；
（2）点M在数轴上与原点相距个单位，则点M表示的实数为 。
你能在数轴上找到这两个点吗？
新课学习
勾股定理的应用
利用勾股定理证明：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
应用四：结论证明
已知：如图，在Rt△ABC和Rt△A’B’C’
中，∠C=∠C’=90°，AB=A’B’，AC=A’C’。
求证：△ABC≌△A’B’C’。
BC2=_ _______，B＇C＇2 =__ ___ __ ___.
证明：在Rt△ABC和Rt△A‘B’C‘中，∠C=∠C＇=90°，根据勾
股定理，得
新课学习
AB2-AC2
A’B’2-A’C’2
AB=A’B’
AC=A’C’
AB=A＇B＇
AC=A＇C＇
BC=B＇C＇
△ABC
△A＇B＇C＇
又∵_ _________， _____________.
∴BC= B＇C＇
在△ABC和△A＇B＇C＇中
∴___________≌__________（SSS）
知识巩固
1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为AC上一点，且DA=DB=5，又△DAB的面积为10，那么DC的长是（ ）
A．4 B．3 C．5 D．4.5
分析：根据Rt△ABC中，∠C=90°，可证BC是△DAB的高，然后利用三角形面积公式求出BC的长，再利用勾股定理即可求出DC的长
B
知识巩固
解析：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴BC⊥AC，即BC是△DAB的高，
∵△DAB的面积为10，DA=5，
∴DA BC=10，
∴BC=4，
∴CD ===3。
故选B。
知识巩固
2.如图，△ABC是等腰三角形，点O 是底边BC上任意一点，OE、OF分别与两边垂直，等腰三角形的腰长为5，面积为12，则OE+OF的值为多少？
分析：连接AO，根据三角形的面积公式即可得到AB OE+ AC OF=12，根据等腰三角形的性质进而求得OE+OF的值。
知识巩固
解析：连接AO，如图，
∵AB=AC=5，
∴S△ABC=S△ABO+S△AOC= AB OE+ AC OF=12，
∵AB=AC，
∴ AB（OE+OF）=12，
∴OE+OF=
新课学习
应用四：表示无理数
探究：数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上画出表示的点吗？
思考：两个直角边分别为2、3的直角三角形，其斜边长为 。
2
3
？
新课学习
①在数轴上找到点A，使OA=3，
0
1
2
3
4
A
B
C
②过A点作直线L垂直于OA，在L上截取AB=2，
③以O为圆心，以OB为半径画弧，交数轴于点C，点C即为表示的点.
新课学习
利用勾股定理，可以作出长为 、 、 …的线段。按同样的方法，可以在数轴上画出表示 、 、 的点.
O
3
知识巩固
3.如图，A、B是4×5网格中的格点，网格中的每个小正方形的边长都是1，图中使以A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形的格点C有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
分析：先根据勾股定理求出AB的长，再根据等腰三角形的性质分别找出以AB为腰和以AB为底边的等腰三角形即可。
B
知识巩固
解析：∵A、B是4×5网格中的格点，
∴AB== ，
同理可得，AC=BD=AC= ，
∴所求三角形有：△ABD，△ABC，△ABE。
故选B。
知识巩固
4.如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都为1，每个小正方形的顶点叫格点，图中已给出了两个格点A，B，按要求画△ABC：使点C在格点上，在△ABC中在有两边长为5， 。
知识巩固
解：直角边长是3和4的直角三角形的斜边长是5，直角边长是1和4的直角三角形的斜边长是，依此可得所求三角形。
课堂小结
1、表示无理数
利用勾股定理的知识在数轴上表示无理数。
拓展提升
1.如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=4，CD=2，点P在四边形ABCD的边上，若点P到BD的距离为3，则点P的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
分析：首先作出AB、AD边上的点P（点A）到BD的垂线段AE，即点P到BD的最长距离，作出BC、CD的点P（点C）到BD的垂线段CF，即点P到BD的最长距离，由已知计算出AE、CF的长与3比较得出答案。
A
拓展提升
解析：过点A作AE⊥BD于E，过点C作CF⊥BD于F，
∵∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=4 ，CD=2 ，
∴∠ABD=∠ADB=45°，
∴∠CDF=90°-∠ADB=45°，
∵sin∠ABD=，
∴AE=AB sin∠ABD=4 sin45°=4＞3，
CF=CD═2＜3，所以在AB和AD边上有符合P到BD的距离为3的点2个，故选A。
