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《勾股定理的逆定理》教案
【教学目标】
1.知识与技能
(1)理解勾股定理的逆定理。
(2)了解逆命题的概念,知道原命题为真命题,它的逆命题不一定为真命题。
2.过程与方法
经历“观察-测量-猜想-论证”的定理探究的过程,体会“构造法”证明数学命题的基本思想。
3.情感态度和价值观
通过师生共同活动,促进学生在学习活动中培养良好的情感,合作交流,主动参与的意识。
【教学重点】
探索并证明勾股定理的逆定理。
【教学难点】
应用勾股定理及其逆定理解决实际问题。
【教学方法】
自学与小组合作学习相结合的方法。
【课前准备】
教学课件。
【课时安排】
1课时
【教学过程】
一、情景导入
【过渡】我们大家都认识直角三角形吧。我们知道,直角三角形是有一个角为直角的。根据直角三角形的定义呢,我们能够简单的判断一个三角形是否为直角三角形。
(学生回答如何判断)
【过渡】根据定义,主要就是看这个三角形有没有一个角满足90°,有90°的角则为直角三角形。但是如果遇到没办法准确判断角的大小的时候,我们又该通过什么样的方法来判断呢?能否结合勾股定理的知识,从边长的角度入手呢?今天我们就来探究一下,如果将勾股定理反过来使用,是否同样成立呢?
二、新课教学
1.勾股定理的逆定理
【过渡】 据说,古埃及人曾用下面的方法画直角:把一根长绳打上等距离的13 个结,然后以3 个结间距,4 个结间距、5 个结间距的长度为边长,用木桩钉成一个三角形,其中一个角便是直角。你认为结论正确吗?
【过渡】由实际问题转化,这个问题就变为如果三角形的三边长为3、4、5,它们满足32+42=52,那么这个三角形就是直角三角形。那么这个结论到底正确不正确呢?我们来自己动手,画出三边长为以下两组数据的三角形吧。
2.5,6,6.5; 6,8,10。
【过渡】首先看这两组数据,大家思考一下,这两组数据都满足a2+b2=c2吗?
(学生回答)
【过渡】计算表明,这两组数据均是满足这样一个等式的。现在,大家就将其作为三角形的三边成,来画一下三角形吧。
(学生动手)
【过渡】我看大家都已经画完了,大家用眼睛看过去,这两个三角形像是直角三角形吗?当然,在数学上,我们需要保持严谨的态度。大家再动手,用量角器分别测量上述各三角形的最大角的度数。
【过渡】从动手结果上来看,这两个三角形同样是直角三角形。因此,我们就有如下一个猜想:
命题2:如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2那么这个三角形是直角三角形。
【过渡】大家能够证明这个结论吗?
课件展示证明过程。
【过渡】通过刚刚的证明,我们知道这个结论是正确的,因此,我们把它称之为勾股定理的逆定理。我们通常用这个定律作为直角三角形的判定定理。
【练习】判断下列数据中能否作为直角三角形的三边长?
A.1、1、 ;B.5、12、13 ;C.3、5、7 ;D.6、8、10
在应用勾股定理的逆定理时,应先认真分析所给边的大小关系,确定最大边后,再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系,进而作出判断。
【过渡】从刚刚的命题中,我们能够看出,这个命题与勾股定理是完全相反的,在数学中,我们就称这样的两个命题为互逆命题。
如果两个命题的题设和结论正好相反,那么这样的两个命题叫做互逆命题。
如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题。
【过渡】那么我们怎样得到一个命题的逆命题?我们以勾股定理为例。不难发现,勾股定理的题设是直角三角形,结论是a2+b2=c2,而其逆定理却刚好相反,它的题设是a2+b2=c2,结论则为直角三角形。因此,我们可以得到这样一种方法:
把一个命题的题设和结论交换一下,即可得到它的逆命题。
【练习】说出下列命题的逆命题。这些命题的逆命题是真命题吗?
(1)如果a>b,那么a2>b2;
(2)如果a2=b2,那么a=b;
(3)等腰三角形的两底角相等两端点的距离相等。
【过渡】勾股定理的逆定理主要用来判定是否为直角三角形,我们通过例题来感受一下吧。
课件展示课本例1、2.
【典题精讲】1、已知:△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0的两个实数根,第三边BC的长为5.
(1)k为何值时,△ABC是以BC为斜边的直角三角形?
(2)k为何值时,△ABC是等腰三角形?并求△ABC的周长
解:(1)∵△ABC是以BC为斜边的直角三角形,BC=5,∴AB2+AC2=25,
∵AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0的两个实数根,
∴AB+AC=2k+3,AB AC=k2+3k+2,
∴AB2+AC2=(AB+AC)2-2AB AC,
即(2k+3)2-2(k2+3k+2)=25,
解得k=2或-5(舍去负数)
(2)∵△ABC是等腰三角形;
∴当AB=AC时,△=b2-4ac=0,
∴(2k+3)2-4(k2+3k+2)=0,解得k不存在;
当AB=BC时,即AB=5,
∴5+AC=2k+3,5AC=k2+3k+2,
解得k=3或4,
∴AC=4或6
∴△ABC的周长为14或16。
2、若ABC三边长a、b、c满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c,试判断ABC的形状。
解:由a2+b2+c2+338=10a+24b+26c,
得:a2-10a+25+b2-24b+144+c2-26c+169=0
即:(a-5)2+(b-12)2+(c-13)2=0
解得:a=5,b=12,c=13
∵52+122=132
∴ a2+b2=c2
∴ ∠ C=90°,ABC是直角三角形
【知识巩固】1、有四个三角形,分别满足下列条件,其中直角三角形有(C )
(1)一个内角等于另外两个内角之差:
(2)三个内角度数之比为3:4:5;
(3)三边长度之比为5:12:13;
(4)三边长分别为7、24、25.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2、如图,西安路与南京路平行,并且与八一街垂直,曙光路与环城路垂直.如果小明站在南京路与八一街的交叉口,准备去书店,按图中的街道行走,最近的路程约为( C )
A.400m B.525m C.575m D.625m
3、如图,在△ABC中,AB=5,AC=3,D是BC的中点,AD=2,求△ABC的面积
解:延长AD至E,使ED=AD=2,连接BE,如图所示:
则AE=4,
∵D是BC的中点,∴BD=CD,
在△BED和△ACD中,
BD=CD;∠BDE=∠CDA;ED=AD ,
∴△BED≌△ACD(SAS),∴BE=AC=3,
∵AE=4,AB=5,BE=3,∴AE2+BE2=AB2,
∴△ABE是直角三角形,
∴△ABC的面积=△ABE的面积=1 /2 ×3×4=6.
【拓展提升】1、.如图,某住宅小区在施工过程中留下了一块空地(图中的四边形ABCD),经测量,在四边形ABCD中,AB=3m,BC=4m,CD=12m,DA=13m,∠B=90°.
(1)△ACD是直角三角形吗?为什么?
(2)小区为美化环境,欲在空地上铺草坪,已知草坪每平方米100元,试问铺满这块空地共需花费多少元?
解:(1)在Rt△ABC中,
∵AB=3m,BC=4m,∠B=90°,AB2+CB2=AC2
∴AC=5cm,
在△ACD中,AC=5cm CD=12m,DA=13m,
∴AC2+CD2=AD2,
∴△ACD是直角三角形,∠ACD=90°;
(2)∵S△ABC=1 /2 ×3×4=6,S△ACD=1 /2×5×12=30,
∴S四边形ABCD=6+30=36,费用=36×100=3600(元).
【板书设计】
1、勾股定理的逆定理:
如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2那么这个三角形是直角三角形。
【教学反思】
采用了体验探究的教学方式。在课堂教学中,我首先创设情境,提出问题;再让学生通过画图、测量、判断、找规律,猜想出一般的结论;然后由学生想、画、剪、叠,去验证结论......使学生自始至终感悟、体验、尝试到了知识的生成过程,品尝到成功的乐趣。这不仅使学生学到获取知识的思想和方法,同时也体会到在解决问题的过程中与他人合作的重要性,而且为学生今后获取知识以及探索、发现和创造打下了良好的基础,更增强了学生敢于实践、勇于探索、不断创新和努力学习数学知识的信心和勇气。
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《勾股定理的逆定理》练习
一、选择——基础知识运用
1.在△ABC中,AB=,BC=,AC=,则( )
A.∠A=90° B.∠B=90° C.∠C=90° D.∠A=∠B
2.在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别记为a,b,c,下列结论中不正确的是( )
A.如果∠A-∠B=∠C,那么△ABC是直角三角形
B.如果a2=b2-c2,那么△ABC是直角三角形且∠C=90°
C.如果∠A:∠B:∠C=1:3:2,那么△ABC是直角三角形
D.如果a2:b2:c2=9:16:25,那么△ABC是直角三角形
3.下列四组线段中,能组成直角三角形的是( )
A.a=1,b=2,c=3 B.a=4,b=2,c=3
C.a=4,b=2,c=5 D.a=4,b=5,c=3
4.已知四个三角形分别满足下列条件:①三角形的三边之比为1:1:;②三角形的三边分别是9、40、41;③三角形三内角之比为1:2:3;④三角形一边上的中线等于这边的一半。其中直角三角形有( )个。
A.4 B.3 C.2 D.1
5.由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是( )
A.∠A+∠C=∠B
B.a=,b=,c=
C.(b+a)(b-a)=c2
D.∠A:∠B:∠C=5:3:2
二、解答——知识提高运用
6.一个三角形三条边的比为5:12:13,且周长为60cm,求它的面积。
7.已知△ABC的三边长分别是a,b,c,其中a=3,c=5,且关于x的一元二次方程x2-4x+b=0有两个相等的实数根,判断△ABC的形状。
8.如图所示,在四边形ABCD中,AB=2,BC=2,CD=1,AD=5,且∠C=90°,求四边形ABCD的面积。
9.一个零件的形状如图1所示,按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角。工人师傅量得这个零件各边长如图2所示。
(1)你认为这个零件符合要求吗?为什么?
(2)求这个零件的面积。
10.如图所示,如果只给你一把带有刻度的直尺,你是否能检验∠MPN是不是直角?简述你的作法,并说明理由。
11.龙梅和玉荣是草原上的好朋友,可是有一次经过一场争吵之后,两人不欢而散,龙梅的速度是米/秒,4分钟后她停了下来,觉得有点后悔了,玉荣走的方向好像是和龙梅成直角,她的速度是米/秒,如果她和龙梅同时停下来,而这时候她俩正好相距200米,那么她走的方向是否成直角?如果她们现在想讲和,那么原来的速度相向而行,多长时间后能相遇?。
12.如图,在B港有甲、乙两艘渔船,若甲船沿北偏东60°方向以每小时8海里速度前进,乙船沿南偏东某方向以每小时15海里速度全速前进,2小时后甲船到M岛,乙船到P岛,两岛相距34海里,你知道乙船沿那个方向航行吗?
参考答案
一、选择——基础知识运用
1.【答案】A
【解析】∵AB2=()2=2,BC2=()2=5,AC2=()2=3,
∴AB2+AC2=BC2,
∴BC边是斜边,
∴∠A=90°。
故选A.
2.【答案】B
【解析】如果∠A-∠B=∠C,那么△ABC是直角三角形,A正确;如果a2=b2-c2,那么△ABC是直角三角形且∠B=90°,B错误;如果∠A:∠B:∠C=1:3:2,设∠A=x,则∠B=2x,∠C=3x,则x+3x+2x=180°,解得,x=30°,则3x=90°,那么△ABC是直角三角形,C正确;如果a2:b2:c2=9:16:25,则如果a2+b2=c2,那么△ABC是直角三角形,D正确;故选:B。
3.【答案】D
【解析】A、因为1+2=3,所以三条线段不能组成三角形,一定不能组成直角三角形;
B、因为22+32≠42,所以三条线段不能组成直角三角形;
C、因为22+42≠52,所以三条线段不能组成直角三角形;
D、因为42+32=52,所以三条线段能组成直角三角形。
故选:D。
4.【答案】A
【解析】①因为12+12=()2三边符合勾股定理的逆定理,故是直角三角形;
②因为92+402=412三边符合勾股定理的逆定理,故是直角三角形;
③设最小的角为x,则x+2x+3x=180°,则三角分别为30°,60°,90°,故是直角三角形;
④因为符合直角三角形的判定,故是直角三角形。
所以有4个直角三角形。
故选:A。
5.【答案】B
【解析】A、∵∠A+∠C=∠B,∴∠B=90°,故是直角三角形,正确;
B、设a=20k,则b=15k,c=12k,
∵(12k)2+(15k)2≠(20k)2,
故不能判定是直角三角形;
C、∵(b+a)(b-a)=c2,
∴b2-a2=c2,
即a2+c2=b2,
故是直角三角形,正确;
D、∵∠A:∠B:∠C=5:3:2,
∴∠A=×180°=90°,
故是直角三角形,正确.
故选:B。
二、解答——知识提高运用
6.【答案】120cm2
【解析】设该三角形的三边是5k,12k,13k.
因为(5k)2+(12k)2=(13k)2,
所以根据勾股定理的逆定理,得该三角形是直角三角形.
根据题意,得5k+12k+13k=60,
解得k=2,
则5k=10,12k=24,
则该直角三角形的面积是120。
故答案为:120cm2
7.【答案】∵关于x的一元二次方程x2-4x+b=0有两个相等的实数根,
∴b2-4ac=16-4b=0
解得:b=4,
∵a=3,c=5,
∴32+42=52,
∴△ABC为直角三角形.。
8.【答案】连接BD,
∵∠C=90°,
∴△BCD为直角三角形,
∵BD2=BC2+CD2=22+12=()2,
∵BD>0,
∴BD=,
在△ABD中,
∵AB2+BD2=20+5=25,AD2=52=25,
∴AB2+BD2=AD2,
∴△ABD为直角三角形,且∠ABD=90°,
∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=×2×+×2×1=6.
故四边形ABCD的面积是6。
9.【答案】(1)∵AD=4,AB=3,BD=5,DC=13,BC=12,
∴AB2+AD2=BD2,
BD2+BC2=DC2,
∴△ABD、△BDC是直角三角形,
∴∠A=90°,∠DBC=90°,
故这个零件符合要求。
(2)这个零件的面积=△ABD的面积+△BDC的面积
=3×4÷2+5×12÷2
=6+30
=36.
故这个零件的面积是36。
10.【答案】能检查。
作法:如图所示,
(1)在射线PM上量取PA=3cm,确定A点,在射线PN上量取PB=4cm,确定点B。
(2)连接AB得△PAB。
(3)用刻度尺量取AB的长度,如果AB恰好等于5cm,则说明∠P是直角,否则∠P就不是直角。
理由:∵PA=3cm,PB=4cm,PA2+PB2=32+42=52.
若AB=5cm,则PA2+PB2=AB2,
根据勾股定理的逆定理可得△PAB是直角三角形,即∠P是直角。
11.【答案】龙梅走的路程:×4×60=120(米),
玉荣走的路程:×4×60=160(米),
∵1202+1602=2002,
∴她们走的方向成直角,
以原来的速度相向而行相遇的时间:200÷(+)=200÷ = =171(秒);
答:她们走的方向成直角,如果她们想讲和,按原来的速度相向而行,171秒后能相遇.
12.【答案】BM=8×2=16海里,
BP=15×2=30海里,
在△BMP中,BM2+BP2=256+900=1156,PM2=1156,
BM2+BP2=PM2,
∴∠MBP=90°,
180°-90°-60°=30°,
故乙船沿南偏东30°方向航行。
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人教版 八年级下册
17.2 勾股定理的逆定理
导入新课
一个三角形满足什么条件才能是直角三角形呢?
还有没有其他的方法呢?
有一个角是直角;
有两个角的和是90°。
新课学习
勾股定理的逆定理
据说,古埃及人曾用下面的方法画直角:把一根长绳打上
等距离的13 个结,然后以3 个结间距,4 个结间距、5 个结间距
的长度为边长,用木桩钉成一个三角形,其中一个角便是直角.
你认为结论正确吗?
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(13)
(12)
(11)
(10)
(9)
如果三角形的三边分别
为3,4,5,这些数满足
关系:32+42=52,围成的
三角形是直角三角形.
新课学习
下面的两组数分别是一个三角形的三边长a,b,c:
2.5,6,6.5; 6,8,10。
画出图形,它们都是直角三角形吗?
用量角器分别测量上述各三角形的最大角的度数
想一想
这三组数都满足a2+b2=c2吗?
画一画
量一量
新课学习
如何证明这样的结论呢?
命题2:如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2
那么这个三角形是直角三角形。
新课学习
已知:在△ABC中,AB=c BC=a CA=b 且a2+b2=c2
求证:△ ABC是直角三角形.
A
′
B
′
C
′
证明思路:先画一个Rt△A′B′C′,
使∠ C′= 90° B′C′=a, C′A′=b
新课学习
A
′
B
′
C
′
B
C
A
证明:画一个△A’B’C’,使∠C’=90°,B’C‘=a, C’A’=b。
∴ A’B’ =c
∵ 边长取正值
∴ A’B’ 2=c2
∵ a2+b2=c2
∵ ∠ C’=900
∴ A’B’2= a2+b2
在△ ABC和△ A’B’C’中
BC=a=B’C’
CA=b=C’A’
AB=c=A’B’
∴ △ ABC ≌△ A’B’C’(SSS)
∴ ∠ C= ∠ C’=90°
则 △ ABC是直角三角形(直角三角形的定义)
新课学习
勾股定理的逆定理:
如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形。
直角三角形的判定定理
牛刀小试
判断下列数据中能否作为直角三角形的三边长?
在应用勾股定理的逆定理时,应先认真分析所给边的大小关系,确定最大边后,再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系,进而作出判断.
A.1、1、
B.5、12、13
C.3、5、7
能
D.6、8、10
能
不能
能
新课学习
互逆命题的定义:如果两个命题的题设和结论正好相反,那么这样的两个命题叫做互逆命题。
如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题。
如果一个定理的逆命题经过证明是正确的,那么它也是一个定理,称这两个定理互为逆定理。
新课学习
怎样得到一个命题的逆命题?
把一个命题的题设和结论交换一下,即可得到它的逆命题。
勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形。
勾股定理:如果直角三角形的两直角边长分别为a、b,斜边长为c,那么a2+b2=c2。
牛刀小试
说出下列命题的逆命题。这些命题的逆命题是真命题吗?
(1)如果ab,那么a2b2;
(2)如果a2=b2,那么a=b;
(3)等腰三角形的两底角相等两端点的距离相等.
逆命题:如果a2b2 ,那么ab 。
假命题
逆命题:如果a=b,那么a2=b2
真命题
逆命题:有两个角相等的三角形是等腰三角形。
真命题
任何一个命题都有逆
命题;原命题是真命题,其
逆命题不一定是真命题.
新课学习
例1 判断由线段a,b,c 组成的三角形是不是直
角三角形:
(1) a=15,b=17,c=8;
(2) a=13,b=15,c=14;
分析:根据勾股定理及其逆定理判断一个三角形是
不是直角三角形,只要看两条较小边长的平方和是否等
于最大边长的平方.
新课学习
像15,17,8 这样,能够成为直角三角形三条边长的三个正整数,称为勾股数.
解:(1) 152+82=289;172=289
所以 152+82=172,这个三角形是直角三角形。
(2) 132+142=365;152=225
所以 132+142152,这个三角形不是直角三角形。
新课学习
例2:“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口,各自沿一固定方向航行,“远航”号每小时航行16海里,“海天”号每小时航行12海里。它们离开港口一个半小时后相距30海里。如果知道“远航”号沿东北方向航行,能知道“海天”号沿哪个方向航行吗?
P
E
Q
R
N
远航
海天
新课学习
解:根据题意得:
PQ=16×1.5=24,
PR=12×1.5=18,
QR=30.
因为242+182=302,即PQ2+PR2=QR2,∠QPR=90°
由轮船沿东北方向航行可知,∠QPS=45°。所以∠PRS=45°,即沿西北方向航行。
知识巩固
1.有四个三角形,分别满足下列条件,其中直角三角形有( )
(1)一个内角等于另外两个内角之差:
(2)三个内角度数之比为3:4:5;
(3)三边长度之比为5:12:13;
(4)三边长分别为7、24、25.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
分析:根据三角形的内角和定理或勾股定理的逆定理即可进行判断,从而得到答案
C
知识巩固
分析:(1)∵一个内角等于另外两个内角之差,∴∠A=∠B-∠C,∵∠A+∠B+∠C=180°,
∴∠B=90°,故是直角三角形;
(2)∵三个内角度数之比为3:4:5;∴设较小的角为3x,则其于两角为4x,5x,则三个角分别为45°,60°,75°,故不是直角三角形;
(3)因为三边符合勾股定理的逆定理,故是直角三角形;
(4)因为三边符合勾股定理的逆定理,故是直角三角形.
所以有三个直角三角形,故选C.
知识巩固
2.如图,西安路与南京路平行,并且与八一街垂直,曙光路与环城路垂直.如果小明站在南京路与八一街的交叉口,准备去书店,按图中的街道行走,最近的路程约为( )
A.400m B.525m C.575m D.625m
C
知识巩固
解析:如下图所示,∴∠DAE=∠ACB,
又∵BC⊥AB,DE⊥AC,
∴∠ABC=∠DEA=90°,∴△ABC∽△DEA,
∴AE:BC=DE:AB,求得AE=225m
∴CE=AC-AE=275,
从B到E有两种走法:①BA+AE=625m;②BC+CE=575m,∴最近的路程是575m.故选C.
知识巩固
3.如图,在△ABC中,AB=5,AC=3,D是BC的中点,AD=2,求△ABC的面积。
知识巩固
解析:延长AD至E,使ED=AD=2,连接BE,如图所示:
则AE=4,
∵D是BC的中点,∴BD=CD,
在△BED和△ACD中,
BD=CD;∠BDE=∠CDA;ED=AD ,
∴△BED≌△ACD(SAS),∴BE=AC=3,
∵AE=4,AB=5,BE=3,∴AE2+BE2=AB2,
∴△ABE是直角三角形,
∴△ABC的面积=△ABE的面积=×3×4=6.
典题精讲
1、已知:△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0的两个实数根,第三边BC的长为5.
(1)k为何值时,△ABC是以BC为斜边的直角三角形?
(2)k为何值时,△ABC是等腰三角形?并求△ABC的周长
典题精讲
解析:(1)∵△ABC是以BC为斜边的直角三角形,BC=5,∴AB2+AC2=25,
∵AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0的两个实数根,
∴AB+AC=2k+3,AB AC=k2+3k+2,
∴AB2+AC2=(AB+AC)2-2AB AC,
即(2k+3)2-2(k2+3k+2)=25,
解得k=2或-5(舍去负数);
典题精讲
(2)∵△ABC是等腰三角形;
∴当AB=AC时,△=b2-4ac=0,
∴(2k+3)2-4(k2+3k+2)=0,解得k不存在;
当AB=BC时,即AB=5,
∴5+AC=2k+3,5AC=k2+3k+2,
解得k=3或4,
∴AC=4或6
∴△ABC的周长为14或16。
典题精讲
2、若ABC三边长a、b、c满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c,试判断ABC的形状。
分析:要判断ABC的形状,须先求出三边的长,再利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状。
典题精讲
解析:由a2+b2+c2+338=10a+24b+26c,
得:a2-10a+25+b2-24b+144+c2-26c+169=0
即:(a-5)2+(b-12)2+(c-13)2=0
解得:a=5,b=12,c=13
∵52+122=132
∴ a2+b2=c2
∴ ∠ C=90°,ABC是直角三角形。
课堂小结
1、勾股定理的逆定理:
2、互逆命题:
拓展提升
1.如图,某住宅小区在施工过程中留下了一块空地(图中的四边形ABCD),经测量,在四边形ABCD中,AB=3m,BC=4m,CD=12m,DA=13m,∠B=90°.
(1)△ACD是直角三角形吗?为什么?
(2)小区为美化环境,欲在空地上铺草坪,已知草坪每平方米100元,试问铺满这块空地共需花费多少元?
拓展提升
解析:(1)在Rt△ABC中,
∵AB=3m,BC=4m,∠B=90°,AB2+CB2=AC2
∴AC=5cm,
在△ACD中,AC=5cm CD=12m,DA=13m,
∴AC2+CD2=AD2,
∴△ACD是直角三角形,∠ACD=90°;
(2)∵S△ABC=×3×4=6,S△ACD=×5×12=30,
∴S四边形ABCD=6+30=36,费用=36×100=3600(元).