课件27张PPT。26.2 二次函数的图象与性质复习:1、二次函数 的图象及性质: (1)图象是 ; (2)顶点为 ,
对称轴为 ;复习 (3)当a>0时,抛物线
开口向 ,顶点是
最 点,在对称轴
的左侧,y随x的增大
而 ,在对称轴
的左侧,y随x的增大
而 ,a值越大,
开口越 ;复习(4)当a<0时,抛物线
开口向 ,顶点是
最 点,在对称轴的左侧,y随x的
增大而 ,在对称轴的左侧,y随x的增大而 ,a值越大,
开口越 .一、在同一坐标系中画二次函数的图象:探究探究-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 49
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-1xy-2 二、关于三条抛物
线,你有什么看法?上下平移得到归纳用平移观点看函数:xyo 抛物线 可以看作是由抛物线 平移得到。(1)当c>0时,向上平移
个单位;(2)当c<0时,向下平移
个单位;巩固 2、二次函数 是由二次函
数 向 平移 个单位得到的。 3、二次函数 是由二次函
数 向上平移5个单位得到的。探究-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 49
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-1xy-2三、观察三条抛物线: (1)开口方向是什么?开口都向上探究-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 49
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-1xy-2三、观察三条抛物线: (2)开口大小有没有
变化?没有变化探究-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 49
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-1xy-2三、观察三条抛物线: (3)对称轴是什么?对称轴是y轴探究-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 49
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-1xy-2三、观察三条抛物线:(4)顶点各是什么?(0,3)(0,0)(0,-2)探究-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 49
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-1xy-2三、观察三条抛物线:: (5)增减性怎么样?对称轴左侧递减对称轴右侧递增二次函数 的图象及性质:归纳1.图象是一条抛物线,对称轴为y轴,
顶点为(0,c)。 二次函数 的图象及性质:归纳 2.当a>0时,开口向上;
在对称轴的左侧,y随x的增大而减小,
在对称轴的右侧,y随x的增大而增大;
当x=0时,y取最小值为c。二次函数 的图象及性质:归纳3.当a<0时,开口向下;
在对称轴的左侧,y随x的增大而增大,
在对称轴的右侧,y随x的增大而减小;
当x=0时,y取最大值为c。巩固4、说出下列函数图象的性质:开口方向、对称轴、顶点、增减性。范例例1、求符合下列条件的抛物线
的函数关系式:
(1)经过点(-3,2);
(3)当x的值由0增加到2时,函数值减少4。(2)与 的开口大小相同,方向相反;巩固5、已知一次函数 的图象
如图所示,则二次函数 的
图象大致是如下图的( )小结二次函数 的图象及性质:(1)形状、对称轴、顶点坐标;(2)开口方向、极值、开口大小;(3)对称轴两侧增减性。
1.把抛物线 向下平移2个单位,可以得到抛物线 ,再向上平移5个单位,可以得到抛物线 ;
2.抛物线 的开口 ,对称轴是 ,顶点坐标是 ,当x____ 时, y随x的增大而增大, 当x 时, y随x的增大而减小.向下y轴(0,-3)<0>0练习
3.函数y=3x2+5与y=3x2的图象的不同之处是( )
A.对称轴 B.开口方向 C.顶点 D.形状
4.对于函数y= –x2+1,当x 时,函数值y随x的增大而增大;当x 时,函数值y随x的增大而减小;当x 时,函数取得最 值,为 。<0>0=0大0C5.将抛物线 向下平移2个单位得到的抛物线的解析式为 ,再向上平移3个单位得到的抛物线的解析式为 ,并分别写出这两个函数的顶点坐标 、 。
6.已知抛物线y=2x2–1上有两点(x1,y1 ) ,(x1,y1 )且x1<x2<0,则y1 y2(填“<”或“>”)
<(0,-2)(0,1)巩固6、如图,某桥洞的抛物线形,水面宽AB=1.6m,桥洞顶点C到水面的距离为2.4m,求这个桥洞所在抛物线的解析式。范例例2、如图,隧道的截面由抛物线和长方形构成:长方形的长是8m,宽是2m,抛物线可用 表示。
(1)一辆货运卡车高4m,
宽2m,它能通过隧道吗?范例例2、如图,隧道的截面由抛物线和长方形构成:长方形的长是8m,宽是2m,抛物线可用 表示。
,(2)如果隧道内设双行道,
那么这辆货运卡车是否
可以通过?范例例2、如图,隧道的截面由抛物线和长方形构成:长方形的长是8m,宽是2m,抛物线可用 表示。
,(3)如果隧道内设双行道,
为安全起见,你认为2m
宽的卡车应限高多少比
较合适?课件16张PPT。 二次函数y=a(x-h)2 的图象和性质二次函数y=ax2+c的性质开口向上
开口向下
a的绝对值越大,开口越小
关于y轴对称顶点是最低点顶点是最高点在对称轴左侧递减
在对称轴右侧递增
在对称轴左侧递增
在对称轴右侧递减
c>0c<0c<0c>0(0,c)探究解: 先列表描点-2…0-0.5-2-0.5-8…-4.5-8…-2-0.50-4.5-2…-0.5x=-1讨论 抛物线 与抛物线 有什么关系? 向左平移1个单位讨论向右平移1个单位即:在对称轴左侧递增
在对称轴右侧递减
一般地,抛物线y=a(x-h)2 有如下
特点:(1)对称轴是x=h;(2)顶点是(h,0).(3)抛物线y=a(x-h)2可以由抛物线y=ax2向左或向右平移|h|得到.h>0,向右平移;
h<0,向左平移归纳顶点(0,0)顶点(2,0)直线x=-2直线x=2向右平移2个单位向左平移2个单位顶点(-2,0)对称轴:y轴
即直线: x=0练习在同一坐标系中作出下列二次函数:观察三条抛物线的相互关系,并分别指出它们的开口方向,对称轴及顶点.向右平移2个单位向右平移2个单位向左平移2个单位向左平移2个单位二次函数y=a(x-h)2的性质开口向上
开口向下
a的绝对值越大,开口越小
直线x=h顶点是最低点顶点是最高点在对称轴左侧递减
在对称轴右侧递增
在对称轴左侧递增
在对称轴右侧递减
h>0h<0h<0h>0(h,0)试一试例1. 填空题
(1)二次函数y=2(x+5)2的图像是 ,开 口 ,对称轴是 ,当x= 时,y有最 值,是 .
(2)二次函数y=-3(x-4)2的图像是由抛物线y= -3x2 向 平移 个单位得到的;开口 ,
对称轴是 ,当x= 时,y有最 值,是 .
抛物线向上直线x= -5-5小0右4向下直线x= 44大0(3)将二次函数y=2x2的图像向右平移3个单位后得到函数 的图像,其对称轴是 ,顶点是 ,当x 时,y随x的增大而增大;当x 时,y随x的增大而减小. (4)将二次函数y= -3(x-2)2的图像向左平移3个单位后得到函数 的图像,其顶点坐标是 ,对称轴是 ,当x= 时,y有最 值,是 .
y=2(x-3)2直线x=3(3,0)>3<3y= -3(x+1)2(-1,0)直线x=-1-1大0 (4)抛物线y=4(x-3)2的开口方向 , 对称轴是 ,顶点坐标是 ,抛物线是最 点,
当x= 时,y有最 值,其值为 。
抛物线与x轴交点坐标 ,与y轴交点坐标 。 向上直线x=3(3,0)低3小0(3,0)(0,36)如何平移:向上直线x=-3( -3 , 0 )直线x=1直线x=3向下向下( 1 , 0 )( 3, 0)不画图指出填空 2、按下列要求求出二次函数的解析式:
(1)已知抛物线y=a(x-h)2经过点(-3,2)(-1,0)求该抛物线线的解析式。 (2)形状与y=-2(x+3)2的图象形状相同,但开口方向不同,顶点坐标是(1,0)的抛物线解析式。 (3)已知二次函数图像的顶点在x轴上,且图像经过点(2,-2)与(-1,-8)。求此函数解析式。 用配方法把下列函数化成y=a(x-h)2的形式,并说出开口方向,顶点坐标和对称轴。小结 3.抛物线y=ax2+k有如下特点:当a>0时, 开口向上;当a<0时,开口向上.(2)对称轴是y轴;(3)顶点是(0,k). 抛物线y=a(x-h)2有如下特点: (1)当a>0时, 开口向上,当a<0时,开口向上;(2)对称轴是x=h;(3)顶点是(h,0). 2.抛物线y=ax2+k可以由抛物线y=ax2向上或向下平移|k|得到. 抛物线y=a(x-h)2可以由抛物线y=ax2向左或向右平移|h|得到.(k>0,向上平移;k<0向下平移.)(h>0,向右平移;h<0向左平移.) 1.抛物线y=ax2+k、抛物线y=a(x-h)2和抛物线y=ax2的形状完全相同,开口方向一致; (1)当a>0时, 开口向上,当a<0时,开口向下;课堂小结:1、本节课我学会了……
2、我的体会是……结束寄语感谢指导!课件14张PPT。二次函数的图象与性质(2)温故知新向上向下(0 ,0)(0 ,0)y轴y轴当x<0时,
y随着x的增大而减小。
当x>0时,
y随着x的增大而增大。 当x<0时,
y随着x的增大而增大。
当x>0时,
y随着x的增大而减小。 x=0时,y最小=0x=0时,y最大=0抛物线y=ax2 (a≠0)的形状是由|a|来确定的,一般说来, |a|越大,抛物线的开口就越小.
y=x2y=x2+15 2 1 2 5函数y=x2+1的图象与y=x2的图象的位置有什么关系?函数y=x2+1的图象可由y=x2的图象沿y轴向上平移1个单位长度得到.函数y=x2+1的图象与y=x2的图象的形状相同吗?相同y=x2y=x2-22 -1 -2 -1 2函数y=x2-2的图象可由y=x2的图象沿y轴向下平移2个单位长度得到.函数y=x2-2的图象与y=x2的图象的位置有什么关系?函数y=x2+1的图象与y=x2的图象的形状相同吗?相同 函数y=ax2 (a≠0)和函数y=ax2+c (a≠0)的图象形状 ,只是位置不同;当c>0时,函数y=ax2+c的图象可由y=ax2的图象向 平移 个单位得到,当c〈0时,函数y=ax2+c的图象可由y=ax2的图象向 平 移 个单位得到。y=-x2-2
y=-x2+3
y=-x2
函数y=-x2-2的图象可由y=-x2的图象沿y轴向下平移2个单位长度得到.函数y=-x2+3的图象可由y=-x2的图象沿y轴向上平移3个单位长度得到.图象向上移还是向下移,移多少个单位长度,有什么规律吗?上加下减相同上c下|c| (1)函数y=4x2+5的图象可由y=4x2的图象向 平移 个单位得到;y=4x2-11的图象可由 y=4x2的图象向 平移 个单位得到。(3)将抛物线y=4x2向上平移3个单位,所得的抛物线的函数式是 。
将抛物线y=-5x2+1向下平移5个单位,所得的抛物线的函数式是 。
(2)将函数y=-3x2+4的图象向 平移 个单位可
得 y=-3x2的图象;将y=2x2-7的图象向 平移___个
单位得到y=2x2的图象。将y=x2-7的图象向 平移
个单位可得到 y=x2+2的图象。上5下11下4上7上9y=4x2+3y=-5x2-4小试牛刀 当a>0时,抛物线y=ax2+c的开口 ,对称轴是 ,顶点坐标是 ,在对称轴的左侧,y随x的增大而 ,在对称轴的右侧,y随x的增大而 ,当x= 时,取得最 值,这个值等于 ;
当a<0时,抛物线y=ax2+c的开口 ,对称轴是 ,顶点坐标是 ,在对称轴的左侧,y随x的增大而 ,在对称轴的右侧,y随x的增大而 , 当x= 时,取得最 值,这个值等于 。y=-x2-2
y=-x2+3
y=-x2
y=x2-2
y=x2+1
y=x2
向上y轴(0,c)减小增大0小c向下(0,c)增大减小0大c观
察
思
考y轴(4)抛物线y=-3x2+5的开口 ,对称轴是 ,顶点坐标是 ,在对称轴的左侧,y随x的增大而 ,在对称轴的右侧,y随x的增大而 ,
当x= 时,取得最 值,这个值等于 。6.二次函数y=ax2+c (a≠0)的图象经过点A(1,-1),B(2,5),则函数y=ax2+c的表达式为 。若点C(-2,m),D(n ,7)也在函数的图象上,则点C的坐标为 点D的坐标为 .(5)抛物线y=7x2-3的开口 ,对称轴是 ,顶点坐标是 ,在对称轴的左侧,y随x的增大而 ,在对称轴的右侧,y随x的增大而 ,
当x= 时,取得最 值,这个值等于 。下y轴(0,5)减小增大0大5上y轴(0,-3)减小 增大 0小-3y=2x2-3(-2,5)或小试牛刀及时小结向上向下(0 ,c)(0 ,c)y轴y轴当x<0时,
y随着x的增大而减小。
当x>0时,
y随着x的增大而增大。 当x<0时,
y随着x的增大而增大。
当x>0时,
y随着x的增大而减小。 x=0时,y最小=cx=0时,y最大=c抛物线y=ax2 +c (a≠0)的图象可由y=ax2的图象通过上下平移得到.大显身手(1)已知二次函数y=3x2+4,点A(x1,y1), B(x2,y2),
C(x3,y3), D(x4,y4)在其图象上,且x2< x4<0,
0|x1|, |x3|>|x4|, 则 ( )x1x2x3x4y1y4y3y2A.y1>y2>y3>y4B.y2>y1>y3>y4C.y3>y2>y4>y1D.y4>y2>y3>y1B(2)已知二次函数y=ax2+c ,当x取x1,x2(x1≠x2,
x1,x2分别是A,B两点的横坐标)时,函数值相等,
则当x取x1+x2时,函数值为 ( )
A. a+c B. a-c C. –c D. c
D大显身手(3) 函数y=ax2-a与y=在同一直角坐标系中的图象可能是 ( )A大显身手大显身手(4) 一位篮球运动员跳起投篮,球沿抛物线运行,然后准确落入蓝筐内,已知蓝筐的中心离地面的
距离为3.05m。
1、球在空中运行的最大高度是多少米?
2、如果运动员跳投时,球出手离地面的高度 为2.25m ,
则他离篮筐中心的水平距离AB是多少?谈谈你的收获小结:课件16张PPT。二次函数的图象与性质二次函数y=ax2的图象及其特点?1、顶点坐标?(0,0)2、对称轴?y轴(直线x=0)3、图象具有以下特点:一般地,二次函数y=ax2 ( a≠0 )的图象是一条抛物线;
当a>0 时,抛物线开口向上,顶点是抛物线上的最低点;
抛物线在x轴的上方(除顶点外)。
当a<0 时,抛物线开口向下,顶点是抛物线上的最高点。
抛物线在x轴的下方(除顶点外)请比较所画三个函数的图象,它们有什么共同的特征?在同一坐标系中作出二次函数y=?x2 ;y = ?(x+2)2 ;y = ?(x-2)2
向右平移2个单位顶点坐标(0,0)(2,0)对称轴:直线x=0直线x=2向左平移2个单位顶点坐标(0,0)(-2,0)对称轴:直线x=0直线x=-2xyo二次函数y=a(x–h)2的图像和性质做一做:向上直线x=-3( -3 , 0 )直线x=1直线x=3向下向下( 1 , 0 )( 3, 0)请你总结二次函数y=a(x+ m)2的图象和性质. 当m>0时,向左平移当m<0时,向右平移a>0时,开口________, 最 ____ 点是顶点; a<0时,开口________, 最 ____ 点是顶点;
对称轴是 _____________,
顶点坐标是 __________。直线x=-m(-m,0)例1: 对于二次函数
请回答下列问题:1、把函数 的图象作怎样的平移
变换,就能得到函数 的图象。2、说出函数 的图象的顶点坐标
和对称轴。范例例2、已知抛物线 经过点(1,3),求:
(1)抛物线的关系式;
(2)抛物线的对称轴、顶点坐标;
(3)x=3时的函数值;
(4)当x取何值时,y随x的增大而增大。提高题:将抛物线 向左平移后,所得新抛物线的顶点横坐标为-2,且新抛物线经过点(1,3),求a的值。小结(1)形状、对称轴、顶点坐标;(2)开口方向、极值、开口大小;(3)对称轴两侧增减性。二次函数 的图象及性质:1.函数y= –5(x–3)2,当x 时,y随x的增大而增大;
2.对于函数y=2x2+8x+8,当x= 时,函数值y有最 值,最 值为 。
<3–2小0小试一试:求抛物线 的对称轴方程和最大值(或最小值),然后画出图象。学过哪些二次函数的特殊形式?这节课你有什么收获和体会? 练一练:
已知函数y = – 4x2+4x–1
(1)求出函数图像的对称轴和顶点坐标;
(2)讨论函数的性质;
练:若抛物线y =3x2–6x+c的顶点在x轴上,你能否求出该顶点的坐标?并求出c的值。思考题:将抛物线 左右平移,使得
它与x轴相交于点A,与y轴相交于点B.
若△ABO的面积为8,求平移后的抛物线的解析式。课件20张PPT。求二次函数的表达式练习1练习2思想方法应用举例一般式顶点式交点式例2 应用例1尝试练习二次函数的几种表达式及求法前 言二次函数解析式练习3小 结平移式例3 平移式练习4 二次函数是初中代数的重要内容之一,也是历年中考的重点。这部分知识命题形式比较灵活,既有填空题、选择题,又有解答题,而且常与方程、几何、三角等综合在一起,出现在压轴题之中。
因此,熟练掌握二次函数的相关知识,会灵活运用一般式、顶点式、交点式求二次函数的表达式是解决综合应用题的基础和关键。一、二次函数常用的几种表达式的确定已知抛物线上三点的坐标,通常选择一般式。已知抛物线上顶点坐标(对称轴或最值),通常选择顶点式。 已知抛物线与x轴的交点坐标或对称轴,选择交点式。1、一般式2、顶点式3、交点式 4、平移式 将抛物线平移,函数解析式中发生变化的只有顶点坐标, 可将原函数用顶点式表示,再根据“左加右减,上加下减“的法则,即可得出所求新函数的表达式。 二、求二次函数表达式的思想方法 1、 求二次函数表达式的常用方法: 2、求二次函数表达式的 常用思想: 3、二次函数表达式的最终形式:待定系数法、配方法、数形结合等。转化思想 解方程或方程组 无论采用哪一种表达式求解,最后结果都化为一般式。例1、已知二次函数 的图像如图所示,
求其表达式。解法一: 一般式设表达式为∵顶点C(1,4),∴对称轴 x=1.∵A(-1,0)关于 x=1对称,∴B(3,0)。∵A(-1,0)、B(3,0)和
C(1,4)在抛物线上,∴ 即: 三、应用举例例1、已知二次函数 的图像如图所示,
求其表达式。解法二:顶点式设表达式为∵顶点C(1,4)∴又∵A(-1,0)在抛物线上,∴ ∴ a = -1即:∴∴ h=1, k=4. 三、应用举例解法三:交点式设表达式为∵抛物线与x 轴的两个交点坐标
为 A (-1,0)、B(3,0)∴ y = a (x+1) (x- 3)又 C(1,4)在抛物线上∴ 4 = a (1+1) (1-3)∴ a = -1 ∴ y = - ( x+1) (x-3)即:例1、已知二次函数 的图像如图所示,
求其表达式。 三、应用举例评析: 本题可采用一般式、顶点式和交点式求解,通过对比可发现用顶点式和交点式求解比用一般式求解简便。同时也培养学生一题多思、一题多解的能力,从不同角度进行思维开放、解题方法开放的培养。注重解题技巧的养成训练,可事半功倍。 近年中考数学命题趋势,贴近学生生活,联系实际,把实际问题转化为数学模型,培养学生分析问题、解决问题的能力,增强学以致用的意识。例2、已知:如图,是某一抛物线形拱形桥,拱桥底面宽度OB是12米,当水位是2米时,测得水面宽度AC是8米。
(1)求拱桥所在抛物线的表达式;
(2)当水位是2.5米时,高1.4米的船能否通过拱桥?请说明理由(不考虑船的宽度。船的高度指船在水面上的高度)。 三、应用举例即: ∴ EFa = -0.1解:(1)、由图可知:四边形ACBO是等腰梯形过A、C作OB的垂线,垂足为E、F点。∴ OE = BF =(12-8)÷2 = 2。∴O(0,0),B(-12,0),A(-2,2)。设解析式为又 ∵A(-2,2)点在图像上, 三、应用举例例2、已知:如图,是某一抛物线形拱形桥,拱桥底面宽度OB是12米,当水位是2米时,测得水面宽度AC是8米。
(1)求拱桥所在抛物线的表达式;
(2)当水位是2.5米时,高1.4米的船能否通过拱桥?请说明理由(不考虑船的宽度。船的高度指船在水面上的高度)。PQ(2)、分析:船能否通过,只要看船在拱桥正中间时,船及水位的高度是否超过拱桥顶点的纵坐标。y = 水位+船高 =2.5+1.4 =3.9 > 3.6解: ∵∴∴顶点(-6,3.6),当水位为2.5米时,∴ 船不能通过拱桥。PQ是对称轴。复习二次函数四种平移关系例3、将抛物线 向左平移4个单位长度,再向下平移3个单位长度,求平移后所得抛物线的表达式。解法:将二次函数的表达式 转化为顶点式得:(1)、由 向左平移4个单位得:(左加右减)(2)、再将 向下平移3个单位得 (上加下减) 即:所求的表达式为 三、应用举例1、已知二次函数的图像过原点,当x=1时,y有最小值为
-1,求其表达式。∴ 四、尝试练习解:设二次函数的表达式为∵ x = 1, y= -1 , ∴顶点(1,-1)。又(0,0)在抛物线上, ∴ a = 1 即:∴ ∴ 2、已知二次函数与x 轴的交点坐标为(-1,0),(1,0),点(0,1)在图像上,求其表达式。解:设所求的表达式为∵抛物线与x轴的交点坐标为(-1,0)、(1,0)∴ 又∵点(0,1)在图像上, ∴ a = -1即:∴∴∴四、尝试练习3、如图;有一个抛物线形的隧道桥拱,这个桥拱的最大高度为3.6m,跨度为7.2m.一辆卡车车高3米,宽1.6米,它能否通过隧道? 四、尝试练习 即当x= OC=1.6÷2=0.8米时,过C点作CD⊥AB交抛物线于D点,若y=CD≥3米,则卡车可以通过。 分析:卡车能否通过,只要看卡车在隧道正中间时,其车高3米是否超过其位置的拱高。四、尝试练习3、如图;有一个抛物线形的隧道桥拱,这个桥拱的最大高度为3.6m,跨度为7.2m.一辆卡车车高3米,宽1.6米,它能否通过隧道? 解:由图知:AB=7.2米,OP=3.6米,,∴A(-3.6,0),
B(3.6,0),P(0,3.6)。又∵P(0,3.6)在图像上,当x=OC=0.8时,∴卡车能通过这个隧道。四、尝试练习 4、将二次函数 的图像向右平移1个单位, 再向上平移4个单位,求其表达式。解:∵ 二次函数表达式为(1)、由 向右平移1个单位得:(左加右减)(2)、再把 向上平移4个单位得:(上加下减) 即:所求的表达式为五、小结1、二次函数常用表达式.已知图象上三点坐标,通常选择一般式。.已知图象的顶点坐标(对称轴或最值),通常选择顶点式。.已知图象与x轴的两个交点的横坐标x1、x2, 通常选择交点式。 3. 确定二次函数的解析式的关键是根据条件的特点,恰当地选择一种函数表达式,灵活应用。一般式顶点式交点式2、求二次函数表达式的一般方法:已知图象中发生变化的只有顶点坐标,通常选择平移式。平移式谢谢!课件27张PPT。二次函数 的图象与性质观察y=x2的表达式,选择适当x值,并计算相应的y值,完成下表:用描点法画二次函数y=x2的图象0123…0149…描点,连线y=x2观察图象,回答问题串(1)你能描述 图象的形状吗?与同伴进行交流.(2)图象是轴对称图
形吗?如果是,它的对
称轴是什么?请你找出
几对对称点,并与同伴
交流.观察图象,回答问题串(3)图象 与x轴有交点吗?如果有,交点坐标是什么?(4)在对称轴左侧,
随着x值的增大,
y 的值如何变化?
在对称轴右侧呢?观察图象,回答问题串(5)当x取什么值时,y的值最小?最小值是什么?你是如何知道的?抛物线y=ax2的图象和性质这条抛物线关于
y轴对称,y轴就
是它的对称轴. 对称轴与抛物
线的交点叫做
抛物线的顶点. 二次函数y=x2的
图象形如物体抛射
时所经过的路线,我
们把它叫做抛物线.在对称轴的左
侧时,y随着x的
增大而减小. 在对称轴的右
侧时, y随着x的
增大而增大. 抛物线y=x2在x轴的上方(除顶点外),
顶点是它的最低点,开口向上,并且向
上无限伸展;当x=0时,函数y的值最小,
最小值是0.在刚才的平面直角坐标系中,画出函数y=2x2 的图象. …………-2-1.5-1011.5284.52024.58讲授新知解:(1) 列表(2) 描点、连线观察:函数y=x2 的图象与函数y=2x2 的图象相比,有什么共同点和不同点?小结二次函数 的图象及性质:(1)形状、对称轴、顶点坐标;(2)开口方向、极值、开口大小;(3)对称轴两侧增减性。探究新知 在同一平面直角坐标系中,画出函数y=-x2, y=-2x2 的图象,并考虑这些抛物线有什么共同点和不同点.(1)二次函数y=-x2的图象是什么形状?(2)它与二次函数y=x2的图象有什么关系?你能根据表格中的数据作出猜想吗?xy0-4-3-2-11234-10-8-6-4-22-1描点,连线y=-x2这条抛物线关于
y轴对称,y轴就
是它的对称轴. 对称轴与抛物
线的交点叫做
抛物线的顶点.yy在对称轴的左侧
时,y随着x的增大
而增大. 在对称轴的右侧
时, y随着x的增大
而减小. y抛物线y= -x2在x轴的下方(除顶点外),
顶点是它的最高点,开口向下,并且向下
无限伸展;当x=0时,函数y的值最大,
最大值是0.抛物线顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值y=x2y= -x2(0,0)(0,0)y轴y轴在x轴的上方(除顶点外)在x轴的下方( 除顶点外)向上向下当x=0时,最小值为0当x=0时,最大值为0在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大 在对称轴的左侧,y随着x的增大
而增大. 在对称轴的右侧, y随着
x的增大而减小应用新知1.填空:下增大而增大增大而减小0(0,0)y轴向上①应用新知2、函数y=ax2和函数y=ax+a的图象在同一坐标系中大致是图中( )B例1.已知抛物线y=ax2经过点A(-2,-8)
(1)求此抛物线的函数解析式;
(2)判断点B(-1,-4)是否在此抛物线上;
(3)求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标;
(4)若点(m,n)在此抛物线上,那么点
(-m,n)是否在此抛物线上?点(m,-n)呢?2.填空:
(1)抛物线y=2x2的顶点坐标是_____;
对称轴是______;在___________ 侧,
y随着x的增大而增大;在_________侧,
y随着x的增大而减小;当x= 时,函数y的值最小,最小值是 ;抛物线y=2x2在x轴的 方(除顶点外).(0,0)y轴对称轴的左0对称轴的右0上(2)抛物线 在x轴的 方
(除顶点外),
当x_____时,y随着x的增大而增大;
当x_____时,y随着x的,增大而减小
当x=0时,函数y的值最大,最大值是_____,
当x 0时,y<0.下0<0>0巩固若抛物线 的开口
向下,求n的值。二次函数y=ax2的图象性质位置在x轴上方(除顶点外)开口向上开口向下|a|越大,开口越小开口对称轴顶点顶点坐标是原点(0,0)关于y轴对称顶点是最低点顶点是最高点在x轴下方(除顶点外)1.抛物线y=ax2的顶点是原点,对称轴是y轴.2.当a>0时,抛物线y=ax2在x轴的上方(除顶点外),它的开口向上,并且向上无限伸展;
当a<0时,抛物线y=ax2在x轴的下方(除顶点外),它的开口向下,并且向下无限伸展.3.当a>0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小;在对称轴右侧,y随着x的增大而增大.当x=0时函数y的值最小.
当a<0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大;在对称轴的右侧,y随着x增大而减小,当x=0时,函数y的值最大.二次函数y=ax2的性质课件17张PPT。返回教学流程图⑵探究活动
(动画演示)⑴观察、对比
函数图象分析 ③二次函数 的图象和它们图象关系如何?它
的开口方向、顶点坐标、对称轴、性质又分别是什么呢?
这就是今天这节课所要学习的内容。y=a(x-h)2y=ax2+ky=ax2二次函数图象与性质XX>h, x↗ y↘XX>h, x↗ y ↗X<0, x ↗ y ↘
X>0, x↗ y ↗X<0, x ↗ y ↘
X>0, x↗ y ↗X<0 ,x ↗ y↗
X>0, x↗ y↘X<0 ,x ↗ y↗
X>0, x↗ y↘(3)探究活动问题2: 问题3: 问题4: (3)探究活动问题1: 问题2: 问题3: 问题4: 几何画板(3)探究活动问题1: 问题2: 问题3: 问题4: (0,0)(2,0)y轴(直线x=0)直线x=2在x轴(直线y=0)的上方
(除顶点外)向上当x=0 时,最小值为0。当x=2 时,最小值为0。(2,1)直线x=2在x轴(直线y=0)的上方
(除(2,0)点外)在x轴(直线y=1)的上方
(除(2,1)点外)向上向上当x=2 时,最小值为1 。右21上X<0 ,x ↗ y ↘
X>0, x↗ y ↗ ↘X<1, x ↗ y ↘
X>1, x↗ y ↗ X<1, x ↗ y ↘
X>1, x↗ y ↗(0,0)(0,1)y轴(直线x=0)y轴(直线x=0)在x轴(直线y=0)的上方
(除顶点外)向上当x=0 时,最小值为 0。当x= 0 时,最小值为 1。(2,1)直线x=2在x轴(直线y=1)的上方
(除顶点(0,1) 外)在x轴(直线y=1)的上方
(除顶点(2,1)外)向上向上当x=2 时,最小值为 1 。上12右X<0 ,x ↗ y ↘
X>0, x↗ y ↗X<0, x ↗ y ↘
X>0, x↗ y ↗X<2, x ↗ y ↘
X>2, x↗ y ↗返回当x=2 时,最大值为 1 。(0,0)(2,0)y轴(直线x=0)直线x=2在x轴(直线y=0)的下方
(除顶点外)向下当x=0 时,最大值为 0当x=2 时,最大值为 0。(2,1)直线x=2在x轴(直线y=0)的下方
(除顶点(2,0) 外) 直线y=1的下方
(除顶点(2,1) 外)向下向下右21上X<0 ,x ↗ y↗
X>0, x↗ y↘X<2, x ↗ y↗
X>2, x↗ y↘X<2, x ↗ y↗
X>2, x↗ y↘当x=2时,最大值为1 。(0,0)(0,1)y轴(直线x=0)y轴(直线x=0)在x轴(直线y=0)的下方
(除顶点外)向下当x=0时,最大值为0。当x=0时,最大值为1。(2,1)直线x=2在直线y=1的下方
(除顶点(0,1) 外)在直线y=1的下方
(除顶点(2,1) 外)向下向下上12右X<0 ,x ↗ y↗
X>0, x↗ y↘X<0, x ↗ y↗
X>0, x↗ y↘X<2, x ↗ y↗
X>2, x↗ y↘返回设计目的:为了加深对新知识的理解和应用,我通过板书示范,让学生注意解题的规范性。5.随堂练习,及时巩固矫正
⑴题组一:
⑵题组二:
①学生的课堂作图作品不理想,有必要老师自己黑板画一副;
②画二次函数图象时,列表取值时学生不会选或随便选,此时应建议根据二次函数图象的对称性选用计算简单的数据,随后体验;
③为提高师生互动时,调节好少部分学生反映过于活跃。
④学生难于适应由生动、具体、形象向抽象概括的思维转变。返回3、例题 :
(解题过程略)。