课件20张PPT。27.1圆的认识1、圆是对称图形吗？它有哪些对称性？回顾： 圆既是轴对称图形，又是中心对称图
形,也是旋转对称图形。旋转角度可以是任意度数。对称轴是过圆心任意一条直线。2、能否用手中的圆演示出它的各种对称性呢？圆的对称轴在哪里，对称中心和旋转中心在哪里？ 将图中的扇形AOB绕点O逆时针旋转某个角度。在得到的图形中，同学们可以通过比较前后两个图形，发现有何关系？探究一：那么2.在同一个圆 中，如果弧相等，那么所对的圆心角_____、所对的弦______， 所对的弦的弦心距_____。（或等圆）相等相等3.在同一个圆 中，如果弦相等，那么所对的圆心角
_____、所对的弧______,所对的弦的弦心距_____。1.在同一个圆 中，如果圆心角相等，那么它所对的弧相等、所对的弦相等, 所对的弦的弦心距也相等。 结论：相等以上三句话如没有在同圆或等圆中，这个结论还会成立吗？（或等圆）（或等圆）相等相等相等一.判断下列说法是否正确：
1相等的圆心角所对的弧相等。（ ）
2相等的弧所对的弦相等。（ ）
3相等的弦所对的弧相等。（ ）二.如图，⊙O中，AB=CD，
，则试一试你的能力×√×阿1.如图，在⊙O中，AB＝AC，∠B＝70°.
求∠C度数.
2.如图，AB是直径，BC＝CD＝DE，
∠BOC＝40°，求∠AOE的度数 ︵︵︵︵︵练习
.3如图，已知AD＝BC，
试说明AB=CD练习︵︵
如图，在⊙O中，AC=BD，
,求∠2的度数。
你会做吗？解：∵（已知）∴∴∴∠1=∠2=45°（在同圆中，相等的弧所对的圆心角相等）已知:如图,A,B,C,D是⊙O上的点，∠1=∠2。
求证：AC=BD例1:例2：已知：如图, AB、DE是⊙O的两条
直径，C是⊙O上一点，且AD=CE。求证：BE=CE⌒⌒例3：如图，等边三角形ABC内接于⊙O,连结OA,OB,OC。(1)∠AOB、∠COB、∠AOC的度数分别为__________(2)若⊙O的半径为r,则等边ABC三角形的边长为_______例2：如图，等边三角形ABC内接于⊙O,连结OA,OB,OC。证明:
∵AC与BD为⊙O的两条互相垂直的直径,∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOA=90oAB=BC=CD=DA(圆心角定理)例 如图，AC与BD为⊙O的两条互 相垂直的直径.
求证：AB=BC=CD=DA;
AB=BC=CD=DA.⌒⌒⌒⌒∵把圆心角等分成功360份,则每一份的圆心角是1o.同时整个圆也被分成了360份.则每一份这样的弧叫做1o的弧.这样,1o的圆心角对着1o的弧,
1o的弧对着1o的圆心角.
n o的圆心角对着no的弧,
n o的弧对着no的圆心角.性质:
弧的度数和它所对圆心角的度数相等.探究二：动手操作：如何将圆两等分？四等分？八等分？你还可以将圆多少等分呢？ 如图，如果在圆形纸片上任意画一条直径CD，过直径上一点P作弦AB，弦AB与直径CD一定垂直吗？探究三：·1.请同学们将图1沿着直径CD对折，你能发现什么结论？ 2、请同学们将图2沿着直径CD对折，你能发现什么结论？ 图1图2结论：在⊙O中，如果CD是直径,那么：AP=BP， 垂直于弦的直径,
平分这条弦
并且平分弦所对的两条弧。(垂径定理)总结1.圆是旋转对称图形、中心对称图形，它的对称中心是圆心；
2.圆心角、弧、弦之间的关系。注意:
(1)运用此性质的前提是:在同圆或等圆中.
(2)由一个条件,可以得到多个结论.
(3)本知识是证明弦相等、弧相等的常用方法．
圆的基本性质
1．弧、弦、弦心距与圆心角之间的关系：
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两弦的弦心距中，有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也分别相等． 课堂小结1、在同圆或等圆中, 对应弧、弦、圆心角，弦心距之间的关系。
2、垂径定理
题设结论（1）过圆心
（2）垂直于弦｝｛（3）平分弦
（4）平分弦所对的优弧
（5）平分弦所对的劣弧课件16张PPT。28.1.2圆的对称性 (1)以旧引新，引导探究.圆是轴对称图形.圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴.可利用折叠的方法即可解决上述问题.圆也是旋转对称图形.用旋转的方法可解决下面问题.将图1中的扇形AOB（阴影部分）绕点O逆时针旋转某个角度，画出旋转之后的图形，比较前后两个图形，你能发现什么。扇形AOB旋转到扇形A’OB’的位置，我们可以发现，在旋转过程中，∠AOB= ∠A’O B’, AB=A’B’ , (1)以旧引新，引导探究.在一个圆中，如果圆心角相等，那么它所对的弧相等，所对的弦相等。在一个圆中，如果弧相等，那么所对的圆心角相等，所对的弦相等。在一个圆中，如果弦相等，那么所对的圆心角相等，所对的弧相等。°∴ ∠2＝∠1＝45°∴我们还知道：圆是轴对称图形，它的任意一条直径所在的直线都是它的对称轴。
试一试，我们如何十分简捷地将一个圆2等分，4等分，8等分。(2)动手操作，观察猜想.?
操作：CD是圆0的直径，过直径上任一点E作弦AB⊥CD，将圆0沿CD对折，比较图中的线段和弧，你有什么发现？猜想：?
(3)指导论证，引申结论.分析：直径CD所在直线既是等腰三角形OAB的对称轴，又是⊙O的对称轴，把⊙O沿直径CD折叠，由图形的重合，即可得到所求证结论。错 (3)指导论证，引申结论.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。判断题： (1)过圆心的直线平分弦
(2)垂直于弦的直线平分弦
(3)⊙O中，OE⊥弦AB于E，则AE=BE题设结论错对 (3)指导论证，引申结论.例1、如图在⊙O中，直径CD交弦AB于点E，AE=BE
求证：CD⊥AB，推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，且平分弦所对的两条弧。小组讨论：下列命题是否正确，说明理由
1、弦的垂直平分线经过圆心，且平 弦所对的两条弧。
2、平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，且平分弦所对的另一条弧。 (3)指导论证，引申结论.总结： (3)指导论证，引申结论.五个条件 (1)垂直于弦
(2)过圆心
(3)平分弦
(4)平分弦所对的优弧
(5)平分弦所对的劣弧规律 知二推三例2、已知：如图在⊙O中，弦AB的长是8cm，圆心O到AB的
距离为3cm，求⊙O的半径 (4)多方练习，分层评价.解后指出：从例2看出圆的半径OA，圆心到弦的垂线段OE及半弦长AE构成Rt△AOE.把垂径定理和勾股定理结合起来，解决这类问题就显得很容易了。练习：
A组 在圆中某弦长为8cm，圆的直径是10cm，
则圆心到弦的距离是( )cm
B组 在圆o中弦CD＝24，圆心到弦CD的距离
为5,则圆o的直径是( )
C组 若AB为圆O的直径，弦CD⊥AB于E，
AE＝16，BE=4,则CD＝( )
(4)多方练习，分层评价.答案：3答案：26答案：16 例3 如图已知⊙O的直径为4cm，弦AB= cm，求∠OAB的度数。 (4)多方练习，分层评价.你还有没有其它方法？反思小结：
(5)反思小结，布置作业.布置作业：
1、对垂径定理的理解 (1)证明定理的方法是典型的“叠合法” (2)定理是解决有关弦的问题的重要方法 (3)定理中反映的弦的中点，弦所对的两条弧的中点都集中在
“垂直于弦的直径”上。圆、弦又关于直径所在的直线对称。
2、关于垂径定理的运用 (1)辅助线的常用作法 (2)注意把问题化为解直角三角形的问题
谢谢大家课件29张PPT。27.1.2 垂径定理 把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？可以发现：
圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴． 活动一 判断对错并说明理由 圆是轴对称图形，它有无数条对称轴，它的对称轴是它的直径（ ）问题：左图中AB为圆O的直径，CD为圆O的弦。相交于点E，当弦CD在圆上运动的过程中有没有特殊情况？运动CD直径AB和弦CD互相垂直观察讨论如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．
（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
（2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？·OABCDE活 动 二（1）是轴对称图形．直径CD所在的直线是它的对称轴（2）线段：AE=BE·OABCDE思考：
平分弦的直径垂直于这条弦吗？ CD⊥AB, CD是直径 AE=BE 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.平分弦的直径垂直于弦（ ）CD1.被平分的弦不是直径2.被平分的弦是直径 AB不是直径AM=BM,CD是直径 CD⊥ABCD⊥AB,CD是直径AM=BMＤＣＡＢMＯ几何语言表达垂径定理：垂径定理的推论： AB不是直径BADCOABDOABDOABCDO图1ABCDO图2OABCD图3图4图5图6ＥＥＥＥＥ下列哪些图形可以用垂径定理，你能说明理由吗？ 辨别是非 练习2、按图填空：在⊙O中，
（1）若MN⊥AB，MN为直径，
则________，________，________；
（2）若AC＝BC，MN为直径，AB不是直径，
则________，________，________；
（3）若MN⊥AB，AC＝BC，则________，________，________；
（4）若AN = BN ，MN为直径，则________，________，________．ＡＢNMCＯ⌒⌒例1.判断下列说法的正误 ①平分弧的直径必平分弧所对的弦 ②平分弦的直线必垂直弦 ③垂直于弦的直径平分这条弦 ④平分弦的直径垂直于这条弦 ⑤弦的垂直平分线一定经过圆心⑥平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦 ⑦在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，
必平分此弦所对的弧 辨别是非例题解析 练1：如图，已知在圆O中，弦AB的长为8㎝，
圆心O到AB的距离为3 ㎝，求圆O的半径。练习:在半径为50㎜的圆O中，有长50㎜的
弦AB，计算：
⑴点O与AB的距离；
⑵∠AOB的度数。练2：
如图，圆O的弦AB＝8 ㎝ ，
DC＝2㎝，直径CE⊥AB于D，
求半径OC的长。思路：（由）垂径定理——构造Rt△—— （结合）勾股定理——建立方程构造Rt△的“七字口诀”：
半径半弦弦心距 例2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ADOE是正方形．挑战自我画一画如图,M为⊙O内的一点,利用尺规作一条弦AB,使AB过点M.并且AM=BM.1.已知：⊙O的半径为5 ,弦AB∥CD ，
AB = 6 ，CD =8 .
求： AB与CD间的距离 思考2.已知：如图，在同心圆O中，大⊙O的弦AB
交小⊙O于C,D两点
求证：AC=DBE思考：平分已知⌒AB实际应用某地有一座圆弧形拱桥圆心为Ｏ，桥下水面宽度为７.2 m ，过O 作OC ⊥ AB 于D， 交圆弧于C，CD=2.4m， 现有一艘宽3m，船舱顶部为方形并高出水面（AB）2m的货船要经过拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？CNMAEHFBDO例：如图9，有一个拱桥是圆弧形，他的跨度为60m，拱高为18m，当洪水泛滥跨度小于30m时，要采取紧急措施．若拱顶离水面只有4m时，问是否要采取紧急措施？ oMNE垂径定理垂直于圆的直径平分圆，并且平分 圆所对的两条弧。总结1、文字语言2、符号语言3、图形语言条件结论（1）过圆心
（2）垂直于弦｝｛（3）平分弦
（4）平分弦所对的优弧
（5）平分弦所对的劣弧分析CD为直径，
CD⊥AB｝｛垂径定理的几个基本图形练3：如图，已知圆O的直径AB与弦CD相交于G，AE⊥CD于E，BF⊥CD于F，且圆O的半径为10㎝，CD=16 ㎝，求AE-BF的长。
练习:如图，CD为圆O的直径，弦AB交CD于E， ∠CEB=30°，DE=9㎝，CE=3㎝，求弦AB的长。 1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为 37.4 m,拱高为7.2m,求桥拱的半径(精确到0.1m).37.4米7.2米解决求赵州桥拱半径的问题如图，用 ＡＢ 表示主桥拱，设 ＡＢ所在圆的圆心为O，半径为R．经过圆心O 作弦AB 的垂线OC，D为垂足，OC与AB 相交于点D，根据前面的结论，D 是AB 的中点，C是
ＡＢ 的中点，CD 就是拱高．⌒⌒⌒结束寄语不学自知,不问自晓,古今行事,未之有也.再见思考题已知：AB是⊙O直径，CD是弦，AE⊥CD，BF⊥CD
求证：EC＝DF
