课件15张PPT。27.2.3 切线问题1：下图中的直线l和⊙O是什么
关系？相交相离相切（两个交点）（一个交点）（零个交点）d = r
相切d∟问题2:如图，已知点A是⊙O上一点，
过A作OA的垂线l，这样的直线有几
条？ 直线l与⊙O的位置关系怎样？
为什么？lAOdr特征一：直线l经过半径
OA的外端点A特征二：直线l垂直于半径OAd = r
相切切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。证明一条直线为圆的切线时，必须两个条件缺一不可：①过半径外端
②垂直于这条半径。判断一条直线是圆的切线，你现在会有多少种方法?有以下三种方法:
1.利用切线的定义:与圆有唯一公共点的直线是圆的切线。
2.利用d与r的关系作判断:当d＝r时直线是圆的切线。
3.利用切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。想一想 已知：直线AB经过⊙O上的
点 ，并且OA=OB,CA=CB.
求证：直线AB是⊙O的切线。OABC例1C分析：
欲证AB是⊙O的切线，由于AB过圆上点C，若连结OC,则AB过半径OC的外端，只需证明OC⊥AB .例1、已知：直线AB经过⊙O上的
点C，并且OA=OB,CA=CB.
求证：直线AB是⊙O的切线。OABC证明：如图，连结OC.
∵ OA=OB,CA=CB∴ OC是等腰△OAB
底边AB上的中线∴ OC⊥AB
∴ AB是⊙O的切线
已知O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D，以O为圆心，OD为半径作圆O， 求证：⊙O与AC相切例2：DCABO∟分析:欲证直线与圆相切，
但直线与圆的交点不明确时，
往往过圆心作这条直线的垂线段，
再证明d=r即可
E证明：过O作OE⊥AC于E。
∵ AO平分∠BAC，OD⊥AB
∴ OE＝OD
∵ OD是⊙O的半径
∴ AC是⊙O的切线。
小 结 例1与例2的证法有何不同?
(1)如果直线与圆的交点明确,则连结这点和圆心,得到辅助半径,再证所作半径与这直线垂直。简记为：连半径,证垂直。
(2)如果直线与圆的交点不明确,则过圆心作直线的垂线段为辅助线,再证垂线段长等于半径长。简记为：作垂直,证半径。练 习1、如图1，△AOB中，OA＝OB＝10，∠AOB＝120°，
以O为圆心，5为半径的⊙O与OA、OB相交。
求证：AB是⊙O的切线。 OBA2、如图2,△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交边BC于P， PE⊥AC于E。
求证:PE是⊙O的切线。OABCEP图1图2证明：连结OP。
∵AB=AC,∴∠B=∠C。
∵OB=OP，∴∠B=∠OPB，
∴∠OPB=∠C。
∴OP∥AC。
∵PE⊥AC，
∴∠PEC= 90°
∴∠OPE= ∠PEC= 90°
∴PE为⊙0的切线。如图,△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交边BC于P， PE⊥AC于E。
求证:PE是⊙O的切线。练 习OABCEP课堂小结1. 判定切线的方法有哪些？直线l 与圆有唯一公共点与圆心的距离等于圆的半径经过半径外端且垂直这条半径l是圆的切线2. 常用的添辅助线方法 ⑴直线与圆的公共点已知时，作出过公共点的半径，再证半径垂直于该直线。（连半径，证垂直）
⑵直线与圆的公共点不确定时，过圆心作直线的垂线段，再证明这条垂线段等于圆的半径。
（作垂直，证半径）l是圆的切线l是圆的切线 ⑴、经过半径外端的直线是圆的切线。
⑵、垂直于半径的直线是圆的切线。
⑶、过直径的外端并且垂直于这条直径的
直线是圆的切线。
⑷、和圆只有一个公共点的直线是圆的切
线。
⑸、以等腰三角形的顶点为圆心，底边上
的高为半径的圆与底边相切。
是非题：判断下列命题是否正确。（×）（×）（√）（√）（√）已知△ABC内接于⊙O,直线EF过点A（1）如图1，AB为直径，要使得EF是⊙O的切线，还需添加的条件是 或 。
（2）如图2， AB为非直径弦，且∠CAE=∠B,求证：EF为⊙O的切线。思考题图1图2EF⊥AB∠CAE=∠B课件23张PPT。圆的切线 复习课1.直线与圆的位置关系有几种?温故而知新2. 圆的切线的判定定理是什么?切线的判定方法有哪几种? (1) 当已知条件中没有明确给出直线与圆有公共点时,常过圆心作该直线的垂线段,证明该垂线段的长等于半径,也就是“ ”。切线的判定方法 (2)当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时,常连接过该公共点的半径,证明该半径垂直于这条直线，也就是“ ”。经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.CD作垂直,证半径连半径,证垂直切线的判定方法：距
离
法
判
定
定
理圆心到直线的距离等于圆的半径,则此直线是圆的切线过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线∵0A⊥CD于A,OA=d=r．∴则CD是⊙Ｏ
的切线交点Ａ明确：
连OA,证OA⊥CD 交点Ａ不明确：
作OA⊥CD于A,
证OA=r∵0A是⊙O的半径， 0A⊥CD∴CD是⊙Ｏ的切线, 3.切线有哪些性质? 根据切线的性质 , 遇到切点 , 连接半径 , 这是在圆中添加辅助线的常用方法之一 方法技巧 根据切线性质,我们经常做的辅助线是什么?(2)切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径.符号语言: ∵CD是⊙Ｏ的切线,点Ａ是切点
∴ ＯＡ⊥CDCD(1)圆心到切线的距离等于半径符号语言∵如图:CD与⊙Ｏ相切,OA⊥CD
∴d=OA=r
4. 切线长定理的内容是什么? ∟∟ 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。想一想：根据图形，
你还可以得到什么结论？. H？⌒⌒1、线段的中点
2、角的平分线
3、线段的垂直平分线
4、等腰三角形
5、直角三角形
6、全等三角形
7、垂径定理
……？ 等腰三角形
“三线合一”定理垂径定理同学们要善于从复杂图形中分解出 数学的基本图形，再从基本图形中找寻数量关系来解决问题。﹙﹙思考：5：三角形的内切圆 三角形内切圆的圆心叫三角形的内心。到三角形各边的距离相等三角形三条角
平分线的交点思考：三角形的内切圆半径r与三角形的面积、三边有怎样的关系？思考：三角形的内切圆半径r与三角形的面积、三边有怎样的关系？如图△ABC的三边分别为a、b、c，面积为S ⊙O分别与三边切于点D、E、F。试求内切圆半径r?解:连接OD、OE、OF、OA、OB、OC
∵ ⊙O分别与三边切于点D、E、F
∴OD⊥AB 、 OE ⊥BC、OF ⊥AC
OD=OE=OF=r
∴S△ABC= S△AOB +S△BOC +S△AOC 思考：直角三角形的内切圆半径r与三角形的三边有怎样的关系？如图Ｒｔ△ABC的三边分别为a、b、c，∠Ｃ＝９０°，⊙O分别与三边切于点D、E、F。试求内切圆半径r?解:连接OE、OF
∵ ⊙O分别与三边切于点D、E、F
∴OE ⊥BC、OF ⊥AC，OE=OF=r
∵ ∠Ｃ＝９０°
∴四边形ＯＥＣＦ是正方形
∴ＯＥ＝ＣＥ＝ＣＦ＝ＯＦ＝ｒ
∴ＡＤ＝ＡＦ＝ｂ－ｒ
ＢＤ＝ＢＥ＝ｃ－ｒ
∴ＡＢ＝ｂ－ｒ＋ｃ－ｒ＝Ｃ
典例精析：例1．如图，点O是△ABC的内切圆的圆心。
（1）若∠BAC=80°，则∠BOC=＿＿＿ 130°分析:根据三角形内切圆性质OB、OC分别平分∠ABC、ACB，要求∠BOC，只要求∠１+ ∠２?怎么求这两个角的和呢？⌒⌒１２典例精析：例1．如图，点O是△ABC的内切圆的圆心。
（2） ⊙O分别切AB、AC于点D、F，点P是优弧DF上一动点(点D、E除外)，若∠BAC=80°，则∠DPF=＿＿ ⌒思考：若点P是⊙O上的一动点(点D、F除外)，上面的结论还成立吗？根据切线的性质 , 遇到切点 , 连接半径 , 这是在圆中添加辅助线的常用方法之一 .50°∟∟ 例2.如图：已知PA是⊙O的切线，A为切点, AB是⊙O 的直径 , BC//OP交⊙O于点C。求证：PC与⊙O相切.解: 连接OC.∵ OB=OC，∴∠ OCB=∠OBC. ∴ ⊿POC ≌ ⊿POA(SAS) ∵ ⊙O切AP于A,∴AB⊥PA.∵ BC//OP，∴∠ OCB=∠POC. ∠ OBC=∠POA.∴∠POC=∠POA.∵ OP=OP，OA=OB∴∠ PCO=∠PAO.∴∠ PCO= ∠ PAO= 900. ∴ PC是⊙O的切线. ∴ PC⊥半径ＯC于点C典例精析：。直径所对的圆周角是直角 , 遇到直径 , 作直角 , 这也是圆中添加辅助线的常用方法之一 另解：如图：已知PA是⊙O的切线，A为切点, AB是⊙O 的直径 , BC//OP交⊙O于点C。求证：PC与⊙O相切.具体解法请同学们课后写写！。牛刀小试直径所对的圆周角是直角 , 遇到直径 , 作直角 , 这也是圆中添加辅助线的常用方法之一变一变 例2.如图：已知PA是⊙O的切线，A为切点, AB是⊙O 的直径 , 。求证： .弦BC//OP PC与⊙O相切1、如图,已知PA、ＰC是⊙O的切线，A、C为切点, AB是⊙O 的直径 。求证： BC//OP1、如图,已知PA、ＰC是⊙O的切线，A、C为切点, AB是⊙O 的直径 。求证： BC//OP你来说一说，相信你是好样的！牛刀小试根据切线的性质 , 遇到切点 , 连接半径 , 这是在圆中添加辅助线的常用方法之一 .
我思考，我进步!2、 如图, 直角梯形ABCD中 , ∠A=900 , AD//BC, E为AB的中点, 以AB为直径的圆与边CD相切于点F.
求证:(1)DE⊥CE,(2)CD=AD+BCF解： 连结EF∵ ∠A= 900 , AB为⊙E的直径 ∴ AD与⊙E相切. ∵ CD与⊙E相切.∵ AD//BC ∴ ∠ADC+ ∠BCD=1800. ∴ ∠EDF+ ∠ECF=900. ∴ ∠DEC=900. ∴ CE⊥DE ∴ CD=DF+CF=AD+BC. ∴ CE⊥DE ,CD=AD+BC牛刀小试相信你能行! ３.(变式) 如图, 直角梯形ABCD中 , ∠A=900 , AD//BC, 且CD=AD+BC, 以AB为直径的圆
与边CD有怎样的位置关系,说明理由.ABCDM解： 以AB为直径的圆与CD相切.方法一、取AB的中点E, 则点E即为以AB为直径的圆的圆心,过点E作 EF⊥CD 于 F,连接DE并延长交CB的延长线于点M……….当已知条件中没有明确给出直线与圆有公共点时,常过圆心作该直线的垂线段,证明该垂线段的长等于半径.即“作垂直,证半径”.
ABCD３.变式: 如图, 直角梯形ABCD中 , ∠A=900 , AD//BC, 且CD=AD+BC, 以AB为直径的圆与边CD有怎样的位置关系,说明理由.ABCD解： 以AB为直径的圆与CD相切.方法二、取AB的中点E, 则点E即为以AB为直径的圆的圆心,过点E作 EF⊥CD 于 F,,连接DE、EC…….∟∟∟面积相等法---构造等式
相信你是好样的!知识的升华独立
作业祝同学们成功！
谢谢！再见！课件16张PPT。切 线 的 判 定直线和圆的位置关系有几种？⑴ 相 离；⑵ 相 切；⑶ 相 交；dr用数量关系如何来判断？┐dr┐dr┐dr复 习1.直线和圆有哪些位置关系？
2.什么叫相切？
3.我们学习过哪些切线的判断方法？想一想 过圆0内一点作直线，这条直线与圆有什么位置关系？过半径OA上一点（A除外）能作圆O的切线吗？过点A呢？Orl A切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这
条半径的直线是圆的切线。∵ OA是半径，OA⊥l于A
∴ l是⊙O的切线。几何符号表达：判 断1. 过半径的外端的直线是圆的切线（ ）
2. 与半径垂直的的直线是圆的切线（ ）
3. 过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（ ）××× 利用判定定理时，要注意直线须具备以下两个条件,缺一不可:
(1)直线经过半径的外端;
(2)直线与这半径垂直。判断一条直线是圆的切线，你现在会有多少种方法?有以下三种方法:
1.利用切线的定义:与圆有唯一公共点的直线是圆的切线。
2.利用d与r的关系作判断:当d＝r时直线是圆的切线。
3.利用切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。想一想〖例1〗已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB。
求证：直线AB是⊙O的切线。OBAC分析：由于AB过⊙O上的点C，所以连接OC，只要证明
AB⊥OC即可。 证明：连结OC(如图)。
∵ OA＝OB,CA＝CB,
∴ OC是等腰三角形OAB底边AB上的中线。
∴ AB⊥OC。
∵ OC是⊙O的半径
∴ AB是⊙O的切线。〖例2〗已知：O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D,以O为圆心，OD为半径作⊙O。
求证：⊙O与AC相切。证明：过O作OE⊥AC于E。
∵ AO平分∠BAC，OD⊥AB
∴ OE＝OD
∵ OD是⊙O的半径
∴ AC是⊙O的切线。小 结例1与例2的证法有何不同?
(1)如果已知直线经过圆上一点,则连结这点和圆心,得到辅助半径,再证所作半径与这直线垂直。简记为：连半径,证垂直。
(2)如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点,则过圆心作直线的垂线段为辅助线,再证垂线段长等于半径长。简记为：作垂直,证半径。练 习如图，△AOB中，OA＝OB＝10，∠AOB＝120°，以O为圆心，5为半径的⊙O与OA、OB相交。
求证：AB是⊙O的切线。 证明：连结OP。
∵AB=AC,∴∠B=∠C。
∵OB=OP，∴∠B=∠OPB，
∴∠OBP=∠C。
∴OP∥AC。
∵PE⊥AC，
∴PE⊥OP。
∴PE为⊙0的切线。如图,△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交边BC于P，
PE⊥AC于E。
求证:PE是⊙O的切线。练 习练习3、如图4，AB是⊙O的直径，∠ABC=45°，AC=AB，AC是⊙O的切线吗？为什么？ 比比谁棒！图5练习4、如图5，线段AB经过圆心O，交⊙O于点A、C，∠BAD=∠B = 30°，边BD交圆于点D。BD是⊙O的切线吗？为什么？
例3、如图7，已知△ABC内接于⊙O，P是CB延长线上的一点，连结AP，且AP2 = PB·PC，试说明PA是⊙O的切线。
课堂小结1. 判定切线的方法有哪些？直线l 与圆有唯一公共点与圆心的距离等于圆的半径经过半径外端且垂直这条半径l是圆的切线2. 常用的添辅助线方法？ ⑴直线与圆的公共点已知时，作出过公共点的半径，再证半径垂直于该直线。（连半径，证垂直）
⑵直线与圆的公共点不确定时，过圆心作直线的垂线段，再证明这条垂线段等于圆的半径。（作垂直，证半径）l是圆的切线l是圆的切线思考题：如图，A是⊙O直径上的一点，OB是和这条直径垂直的半径，
BA和⊙O相交于另一点C，过点C的直线和OA的延长线相交于点D，若DA = DC,问直线CD与⊙O 相切吗?为什么？
变题1：若将直线DA向上平行移至OB上，直线CD与⊙O 相切吗?为什么？
变题2：若将直线DA向上平行移至OB外，直线CD与⊙O 相切吗?为什么？
再见！课件17张PPT。切线的性质思考：
1.什么是圆的切线?判断一条直线是圆的切线有哪些方法?
切线的判定方法有三种：
①直线与圆有唯一公共点；
②直线到圆心的距离等于该圆的半径；
③切线的判定定理．即
经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线
2.前面我们已学过的切线的性质有哪些？
答：①、切线和圆有且只有一个公共点；
②、切线和圆心的距离等于半径。3.切线还有什么性质？观察右图：
如果直线AT是 ⊙O 的切线，A 为切点，那么 AT和半径OA是不是一定垂直？T如果AT是 ⊙O 的切线，A 为切点，那么AT⊥OA.
你能说明理由吗？OM反证法：假设AT与OA不垂直
则过点O作OM⊥AT,垂足为M
根据垂线段最短，得OM＜OA
即圆心O到直线AT的距离d＜R
∴直线AT 与⊙O 相交
这与已知“AT是 ⊙O 的切线”矛盾
∴假设不成立，即AT⊥OAO切线的性质定理
1.圆的切线垂直于经过切点的半径
几何符号语言：
∵AT是 ⊙O 的切线，A 为切点
∴AT⊥OA按图填空：(口答)
(1). 如果AB切⊙O于A，
那么AOB⊙O的切线切点预备练习：
1、已知：如图：在△ABC中，AC与⊙O相切于点C，BC过圆心），∠BAC=63°，求∠ABC的度数。2、已知：如图：AB是⊙O的弦，AC切⊙于点A，且∠BAC=54°，求∠OBA的度数。例1、求证：经过直径的两端点的圆的切线互相平行。CDOAB已知：如图，AB是圆O的直径，直线AC,BD分别是过点A,B的圆O的切线。证明：如图，AB 是⊙O的直径∵AC、BD是⊙O的切线∴AB⊥ACAB⊥BD∴AC∥BD321OBACD例2 如图，AB为⊙O的直径， C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D.
求证：AC平分∠DAB.例3:如图, PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，C是⊙O上一点(不与点A 、B 重合)，若∠APB=40°，
求∠ACB的度数.已知直线和圆相切时：
常连接切点与圆心。-----辅助线若不给出图形,结果是否一样?BAOPCCPA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，C是⊙O上一点(不与点A 、B 重合)，若∠APB=40°，
求∠ACB的度数.∠ACB=70°，或 ∠ACB=110°123OBACD例4. 如图，AB为⊙O的直径， ，AD是和⊙O相切于点A的切线， ⊙O的弦BC平行于OD.
求证：DC是⊙O的切线4练习
如图的两个圆是以O为圆心的同心圆，大圆的弦AB是小圆的切线， C为切点.求证：C是AB的中点.CABO证明：如图，∴ C是AB的中点.AC=BC在大圆⊙O中, 根据垂径定理，得∴OC⊥AB连接OC, 则∵AB是小圆的切线， C为切点DCBOA练习
如图，在⊙O中，AB为直径， AD为弦， 过B点的切线与AD的延长线交于点C，且AD=DC
求∠ABD的度数.解：∵ AB为直径又∵BC为切线∴∠ABC=90°∵ △ABC为直角三角形AD=DC∴∠ADB=90°∴AD=DB∴△ABD为等腰直角三角形∴∠ABD=45°课堂小结①、切线和圆有且只有一个公共点③、圆的切线垂直于经过切点的半径②、切线和圆心的距离等于半径切线性质2.能运用切线性质定理进行计算与证明。
3.掌握常见的关于切线辅助线作法 课件20张PPT。切线长定理 情境创设 1、如下左图，点A在⊙O上，P是⊙O外一点，∠OAP是直角，PA是⊙O的切线吗？为什么？2、如何过⊙O外一点P作⊙O的切线，这样的切线能作几条？结论小结如右图所示切线长定义：
在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点
之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。在下图中，PA、PB是⊙O的两条切线，
切点分别是A、B，沿直线OP将图形对
折，你发现了什么？1、图形是 对称图形，
该图形关于 对称；
2、PA= ，
=∠BPO轴直线OPPB∠APO你能从理论上说明你的结论吗?请你尝试证明一下好吗？证明：连接OA、OB
∵PA、PB是⊙O的切线
∴PA⊥OA、PB⊥OB
即△POA、△POB是直角三角形
又∵OA=OB、OP=OP
∴△POA≌△POB
∴PA=PB、∠APO=∠BPO 已知如图，P是⊙O外一点，连接PO,PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别是A、B，
求证：PA=PB、∠APO=∠BPO结论小结如右图所示切线长定理：
从圆外一点引圆的两条切线，
它们的切线长相等，
这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。PA、PB分别切⊙O于A、BPA = PB∠1=∠2·OAB12符号表示例题教学如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别是A、B，
直线OP交⊙O于点D、E，交AB于点C.
⌒ ⌒
（1） AD 与BD是否相等？为什么？
（2）OP与AB有怎样的位置关系？为什么？
⌒ ⌒
解：（1） AD = BD
∵PA、PB是⊙O的切线
∴∠PAO=∠PBO=90° ∠APO=∠BPO
∴∠AOD=∠BOD
∴ ⌒ ⌒
AD = BD
（2）∵PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点
∴PA=PB
又∵∠APO=∠BPO
∴OP⊥AB，AC=BC
即OP垂直平分线段AB。（1）写出图中所有的垂直关系OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP（3）写出图中所有的全等三角形△AOP≌ △BOP， △AOC≌ △BOC， △ACP≌ △BCP（4）写出图中相等的圆弧（5）写出图中所有的等腰三角形△ABP， △AOB（6）若PA=4、PD=2，求半径OA（2）写出图中与∠OAC相等的角∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC（2）已知OA=3cm,OP=6cm，则∠APB= PABCO60°（4）OP交⊙O于M，则 ，ＡＢ ＯＰＡＭ＝ＢＭM⊥牛刀小试（3）若∠P=70°，则∠AOB= °110（1）若PA=4、PM=2，求圆O的半径OA OA=31、过圆外一点可以作圆的____条切线，过圆上一点可以作圆的_____条切线。
2、如图，⊙O的半径是5，P为⊙O外一点，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∠APB=90°,则PA=____,PO=_____,AB=_____ 。
3、如图，P是⊙O的直径AB的延长线上一点，PC、PD切⊙O于点C、D，若PA=6，⊙O的半径为2，则PC的长为_____ ，∠CPD=_____。（第2题）（第3题）2155√25√260° 2√3。PBAO反思：在解决有关圆的切线长的问题时，往往需要我们构建基本图形。（3）连结圆心和圆外一点（2）连结两切点（1）分别连结圆心和切点 切线长定理为证明线段相等，角相等，弧相等，垂直关系提供了理论依据。必须掌握并能灵活应用。大显身手 如图，AB是⊙O的弦，BD切⊙O于点B，OD⊥OA，与AB相交于点C，求证：BD=CD。
∴∠OBA+∠3=90°
∵OB=OA
∴∠OBA=∠A
∴∠3+∠A=90°
又∵OD⊥OA
∴∠1+∠A=90°
∴∠1=∠3
又∵∠1=∠2
∴∠2=∠3
∴BD=CD解：连接OB，则OB⊥BD
例2、如图，四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA和圆⊙O分别相切于点L、M、N、P，
求证： AD+BC=AB+CD
证明：由切线长定理得∴AL=AP，LB=MB,NC=MC，
DN=DP
∴AL+LB+NC+DN=AP+MB+MC+DP
即 AB+CD=AD+BC
补充：圆的外切四边形的两组对边的和相等． 练习1.（口答）如图所示PA、PB分别切圆O于A、B，并与圆O的切线分别相交于C、D，已知PA=7cm，
(1)求△PCD的周长．
(2) 如果∠P=46°,求∠COD的度数C · OPBDAE练习2：已知：P为⊙O外一点，PA、PB为⊙O的切线，A、B为切点，BC是直径。
求证：AC∥OPD挑战自我 已知：△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF。
（1）如左图，AB是直径，要使得EF是⊙O的切线，还要添加的条件可以是（只需写出3种情况）： 或 或 ；
（2）如右图，AB为非直径的弦，∠CAE=∠B。求证：EF是⊙O的切线。 1、如图，已知AB、AC是⊙O的切线，B、C为切点，连结BC交AO于D.
⑴若AD=6，AO=8，求切线AB的长；
⑵若BC=4，∠BAO=30°，求⊙O的直径。挑战自我2、如图，AB是⊙O的直径，AD、DC、BC
是切线，点A、E、B为切点，若BC=9，
AD=4，求OE的长.1.切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 小 结：∵PA、PB分别切⊙O于A、B∴PA = PB ,∠OPA=∠OPBOP垂直平分AB 切线长定理为证明线段相等，角相等，弧相等，垂直关系提供了理论依据。必须掌握并能灵活应用。2.圆的外切四边形的两组对边的和相等课件25张PPT。三角形的内切圆 如图是一块三角形木料，木工师傅要从中裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢？ 三角形的外接圆在实际中很有用,但还有用它不能解决的问题.如已知： △ABC（如图）
求作：和△ABC的各边都相切的圆作法：1. 作∠ABC、 ∠ACB的平分线BM和CN，交点为I.ID例1 作圆，使它和已知三角形的各边都相切分析2. 过点I作ID⊥BC，垂足为D.3. 以I为圆心，ID为半径作⊙I.⊙I就是所求的圆.
DAEBCFO． 和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形.读句画图：②作直线m与⊙O相切于点D，
作直线n与⊙O相切于点E，
直线m和直线n相交于点A;①以点O为圆心，1cm为半径画⊙O;③作直线l与圆O相切于点F，
直线l分别与直线m、直线n相交于点B、C. 1.如图1，△ABC是⊙O的 三角形。
⊙ O是△ABC的 圆，
点O叫△ABC的 ，
它是三角形 的交点。外接内接外心三边中垂线2.如图2，△DEF是⊙I的 三角形，
⊙I是△DEF的 圆，
点I是 △DEF的 心，
它是三角形 的交点。外切内切内三个角平分线3. 如上图，四边形DEFG是⊙O的 四边形，
⊙O是四边形DEFG的 圆.内切外切三角形内心的性质：1. 三角形的内心到三角形各边的距离相等；
2. 三角形的内心在三角形的角平分线上； 1. 三角形的外心到三角形各个顶点的距离相等；
2. 三角形的外心在三角形三边的垂直平分线上； 三角形外心的性质：图（1）图（2）说出下列图形中圆与四边形的名称四边形ABCD叫做⊙O的外切四边形四边形ABCD叫做⊙O的内接四边形1. 三角形的内心到三角形各个顶点的距离相等（ ）
2. 三角形的外心到三角形各边的距离相等 （ ）
3. 等边三角形的内心和外心重合； （ ）
4. 三角形的内心一定在三角形的内部（ ）错错对 对一 判断题： 如图， △ABC的顶点在⊙O上， △ABC的各边
与⊙I都相切，则△ABC是⊙I的 三角形；
△ABC是⊙O的 三角形； ⊙I叫△ABC的 圆；
⊙O叫△ABC的 圆，点I是△ABC的 心，
点O是△ABC的 心外切内接内切外接内外 二 填空：（2）若∠A=80 °，则∠BOC = 度。
（3）若∠BOC=100 °，则∠A = 度。解:13020（1）∵点O是△ABC的内心，∴ ∠BOC=180 °－(∠1＋ ∠3)= 180 °－(25°＋ 35 °)=120 °理由： ∵点O是△ABC的内心，（4）试探索： ∠A与∠BOC之间存在怎样的数量关系？请说明理由。在△OBC中，∠BOC =180 °－（ ∠1＋ ∠3 ） 如图,O是△ABC的内心, ∠BAC与∠BOC有何数量关系? 试着作一推导.探讨1：
结论： 1. 本节课从实际问题入手，探索得出三角形内切圆的作法 .
2. 通过类比三角形的外接圆与圆的内接三角形概念得出三角形的内切圆、圆的外切三角形概念，并介绍了多边形的内切圆、圆的外切多边形的概念。
3. 学习时要明确“接”和“切”的含义、弄清“内心”与“外心”的区别，
4. 利用三角形内心的性质解题时，要注意整体思想的运用，在解决实际问题时，要注意把实际问题转化为数学问题。课堂小结：D例2、如图，一个木摸的上部是圆柱，下部是底面为等边三角形的直棱柱．圆柱的下底面是圆是直三棱柱上底面等边三角形的内切圆．已知直三棱柱的底面等边三角形边长为３cm，求圆柱底面的半径。已知：在△ABC中，BC=14，AC=9，AB=13，它的内切圆分别和BC、AC、AB切于点D、E、F，求AF、BD和CE的长。ABCFDExx13-x13-x9-x9-x∴(13-x)+(9-x)=14略解：设AF＝x，则BF=13-x由切线长定理知:AE=AF=x,BD=BF=13-x,
DC=EC=9-x,又∵BD+CD=14解得x=4答：AF=4
BD=9
CE=5∴AF=4，BD=9，CE=5
.ABCabcrr =a+b-c2例：直角三角形的两直角边分别是5cm，12cm .则其内切圆的半径为______。rO已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，边BC、AC、AB的长分别为a、b、c，求求其内切圆O的半径长。2ED 探讨2：
设△ABC 的内切圆的半径为r，△ABC 的各边长之和为L，△ABC 的面积S,我们会有什么结论?
解:AD+AF+BD+BE+CE+CF=L
2AD+2BE+2CE=L
2AD=L－2（BE+CE）
AD=ＡF＝？
ＢＤ＝ＢＥ？
ＣＥ＝ＣＦ＝？
CDEF三角形面积
（L为三角形周长，r为内切圆半径）r填空: 1. 三角形的内切圆能作____个,圆的外切三角形有_____ 个,三角形的内心在圆的_______.
2.如图,O是△ABC的内心,则
OA平分∠______, OB平分∠______,
OC平分∠______,.
(2) 若∠BAC=100o,则∠BOC=______.1无数内部 BAC 140o ABC ACB 例3 如图，朱家镇在进入镇区的道路交叉口的三角地处建造了一座镇标雕塑，以树立起文明古镇的形象。已知雕塑中心M到道路三边AC、BC、AB的距离相等，AC⊥BC，BC=30米，AC=40米。请你帮助计算一下，镇标雕塑中心M离道路三边的距离有多远？∵雕塑中心M到道路三边的距离相等
∴点M是△ABC的内心，
连结AM、BM、CM，设⊙M的半径为r米，⊙M分别切AC、BC、AB于点D、E、F，
则MD⊥AC， ME ⊥BC， MF ⊥AB，
则 MD= ME= MF=r，
∵在Rt △ABC 中，AC=40，BC=30，
∴AB=50解： 思考 三条公路AB、AC、BC两两相交与A、B、C三点（如图所示）。已知AC⊥BC，BC=3千米，AC=4千米。现想在△ABC内建一加油站M，使它到三条公路的距离相等，请你帮助计算一下，加油站M应建在离公路多远的地方？1.如图, ?ABC 的内心为I,外心为O.求证:(2) ? BOC = 4?BIC ?360 ° 2.如图,I是?ABC的内心,连结AI并延长交BC边于点D,交?ABC的外接圆于点E. 求证:(1) EI = EB ;(2)IE 2 = AE · DE .分析www.czsx.com.cn再见
