广东省普宁市第一中学2016-2017学年高二下学期开学考试数学（文）试题 Word版含答案

普宁一中2016--2017学年度第二学期高二级
开学考试
文科数学试题卷
注意事项：
1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卷上。
2.用2B铅笔将选择题答案在答题卷对应位置涂黑；答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；不准使用铅笔或涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4.考生必须保持答题卷的整洁。
一．选择题（每题5分，共60分）
1．“且”是“”的(
)
A充要条件
B必要不充分条件
C充分不必要条件
D既不充分也不必要条件
2.若命题p:，则对命题p的否定是（
）
A
　　　
B
C.
D.
3．已知是虚数单位，则复数等于（
）
A
B
C
D
4．已知抛物线的准线方程是，则的值为（
）
A．2
B．4
C．-2
D．-4
5．观察式子：，…，则可归纳出式子为（
）
A．
B．
C．
D．
6．已知命题：，命题：，则下列命题中为真命题的是（
）
A．
B．
C．
D．
7．已知直线过点(－2,
0),
当直线与圆有两个交点时,
其斜率的取值
范围是(
)
A．
B．
C．
D．
8．已知双曲线的左顶点与抛物线的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（－2，－1），则双曲线的焦距为（
）
A．
B．
C．
D．
9．为了了解某校高三400名学生的数学学业水平测试成绩，制成样本频率分布直方图如图，规定不低于60分为及格，不低于80分为优秀，则及格率与优秀人数分别是（
）
A.60%，60
B.60%，80
C.80%，80
D.80%，60
10．某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品的数量之比依次为3∶4∶7，现在用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，样本中A型号产品有15件，那么样本容量n为(　　)
A．50
B．60
C．70
D．80
11．有3个活动小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学在同一个兴趣小组的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
12．如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于点，交其准线于点，若，且，则此抛物线的方程为（
）
A.
B.
C.
D.
二．填空题（每题5分，共20分）
13.某单位有200名职工，现要从中抽取40名职工作样本．用系统抽样法，将全体职工随机按1～200编号，并按编号顺序平均分为40组(1～5号、6～10号，…，196～200号)．若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是________．
14．在长为12cm的线段AB上任取一点C．现作一矩形，邻边长分别等于线段AC,CB的长，则该矩形面积大于20cm2的概率为
.
15．已知双曲线的一条渐近线方程是
，则该双曲线的离心率等于_____________________
16．已知椭圆的左、右焦点分别为，过且与轴垂直的直线交椭圆于两点，直线与椭圆的另一个交点为，若，则椭圆的离心率为_____________
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.
17.（本题满分12分）在含有3件次品的100件产品中，任取2件，求：
（1）取到的次品数X的分布列（分布列中的概率值用分数表示，不能含组合符号）；
（2）至少取到1件次品的概率.
18.（本题满分12分）已知函数的图象过点，且点在函数的图象上.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，若数列的前项和为，求证：
19.（本题满分12分）如图，在三棱柱中，在底面上的射影为的中点,是的中点.
（1）证明：平面；
（2）求二面角的平面角的余弦值.
20.（本题满分12分）已知椭圆的离心率为，短轴长为
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）如图，椭圆左顶点为A,过原点O的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C交于P,Q两点，试问以MN为直径的圆是否经过定点？请证明你的结论.
21.（本题满分12分）已知函数，且在处的切线斜率为
（1）求的值，并讨论在上的单调性；
（2）设函数，其中，若对任意的总存在，使得成立，求的取值范围.
请考生在第22、23两题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号的方框涂黑。
22.（本题满分10分）【选修4-4
坐标系与参数方程】
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数），在以O为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与各有一个交点，当时，这两个交点间的距离为2，当时，这两个交点重合.
（1）分别说明是什么曲线，并求的值；
（2）设当时，与的交点分别为，当时，与的
交点分别为，求直线,的极坐标方程.
23.（本题满分10分）【选修4-5
不等式选讲】
设函数
（1）证明：；
（2）若不等式的解集是非空集合，求的范围.
文科数学参考答案
一、选择题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
C
A
A
B
A
C
C
B
C
C
A
B
二．填空题
13.
37
14.
15.
16.
17．（Ⅰ）因为从100件产品中任取2件的结果数为，从100件产品中任取2件其中恰有k件次品的结果数为，所以从100件产品中任取2件，其中恰有k件次品的概率为
---------------------------------------4分
X
0
1
2
P
---------------------------------------------------------------8分
（Ⅱ）根据随机变量X的分布列，可得至少取到1件次品的概率为
---------------------------------------12分
18.
（本题满分12分）
【解析】（Ⅰ）∵函数的图象过点，
∴………………………………………………2分
又点在函数的图象上
从而，即……………………………………6分
（Ⅱ）证明：由
得………………………………8分
则
两式相减得，
∴…………………………………………11分
∴……………………………………………………12分
19.（本题满分12分）
【解析】（Ⅰ）设E为BC的中点，连接由题意得
所以因为，所以
故………………………………………………3分
由D，E分别为，BC的中点，
得，从而，
所以四边形为平行四边形
故,又因为
所以………………………………6分
（Ⅱ）（解法一）作，连接
由，得
由，得全等
由，得，
因此为二面角的平面角……9分
由，得
由余弦定理得………………………………12分
（解法二）以CB的中点E为原点，分别以射线EA，EB为x，y轴的正半轴，建立空间直角坐标系Exyz，如图所示……………………………………7分
由题意知各点坐标如下：
所以……9分
设平面的法向量为，平面的法向量为
由，即
可取
由，即
可取
于是
由题意可知，所求二面角的平面角是钝角，
故二面角的平面角的余弦值为……………………12分
20.（本题满分12分）
【解析】（Ⅰ）由短轴长为，得
由，得
∴椭圆C的标准方程为……………………………………5分
（Ⅱ）结论：以MN为直径的圆过定点………………………………7分
证明如下：设，则，
且，即，
∵，
∴直线PA的方程为，∴，
直线QA的方程为，∴，
以MN为直径的圆为
即………………………………9分
∵，∴令，则，解得
∴以MN为直径的圆过定点…………………………12分
21.（本题满分12分）
【解析】（Ⅰ）∵
………………1分
∴，………………………………………………………3分
当时，或
当时，或
∴在上单调递增；在上单调递减………6分
（Ⅱ）当时，单调递增，
∴，
则只需在上恒成立即可……………………………………7分
①当时，
∴在上恒成立，
即在上单调递增
又，∴
∴在上恒成立，故时成立；………………………9分
②当，时，，此时单调递减
∴，
故时不成立………………………………………………………11分
综上所述，m的取值范围是…………………………………………12分
22．（本题满分10分）【选修4—4
坐标系统与参数方程】
【解析】(Ⅰ)
C1是圆，C2是椭圆
当时，射线与C1，C2交点的直角坐标分别为（1，0），（a，0），
因为这两点间的距离为2，所以a=3…………………………………………2分
当时，射线与C1，C2交点的直角坐标分别为（0，1），（0，b），
因为这两点重合，所以b=1……………………………………………………5分
(Ⅱ)
C1，C2的普通方程分别为和
………………………6分
当时，射线与C1的交点A1的横坐标为，
与C2的交点B1的横坐标为
当时，射线与C1，C2的交点A2，分别与A1，B1关于x轴对称
因此直线A1
A2
、B1B2垂直于极轴，故直线A1
A2
和B1B2的极坐标方程分别为
，……………………………………………10分
23．（本题满分10分）【选修4—5
不等式选讲】
【解析】
(Ⅰ)函数
则
……………3分
…………5分
(Ⅱ)
当时，,
则
当时，，
则；
当时，，
则
于是的值域为…………………………………8分
由不等式的解集是非空集，
即，
解得，由于则的取值范围是（-1，0）…………………10分