13.5.2线段垂直平分线 达标检测AB卷
A卷基础达标
题组一线段垂直平分线的性质与判定
1.如图,已知△ABC(AC2.如图,在△ABC中,边AB的垂直平分线分别交AB,BC于点D,E,边AC的垂直平分线分别交AC,BC于点F,G.若BC=4,则△AEG的周长是
( )
A.2 B.3 C.4 D.不能确定
【变式训练】如图,在△ABC中,AB=AC,AB+BC=8.将△ABC折叠,使得点A落在点B处,折痕DF分别与AB,AC交于点D,F,连接BF,则△BCF的周长是 ( )【来源：21cnj*y.co*m】
A.8 B.16 C.4 D.10
3.如图,已知AD是BC的垂直平分线,△ABC的周长为20cm,且BD=3cm,△ABC的周长为20cm,则AC的长为 .21教育名师原创作品
4.已知点P在线段AB的垂直平分线上,PA=6,则PB= .
5.如图,在△ABC中,BC边的中垂线交BC于点D,交AB于点E,若CE平分∠ACB,∠B=40°,则∠A= 度.
6.如图,AD是△ABC的高,E为AD上一点,且BE=CE,求证:AB=AC.
7.如图,△ABC中,DE是AB的垂直平分线,连结BD,若BC=CD,AC=10cm,△BCD的周长为16cm,求BD和BC的长.21·世纪*教育网
8.如图,△ABC中,∠ACB=90°,AD平分∠BAC,DE⊥AB于点E.求证:直线AD是CE的垂直平分线.2-1-c-n-j-y
题组二三角形三边垂直平分线的性质应用
1.如果一个三角形三边垂直平分线的交点在三角形外部,那么这个三角形是 ( )
A.直角三角形 B.锐角三角形
C.钝角三角形 D.不能确定
【变式训练】已知等腰三角形的底角是70°,两腰的垂直平分线相交于点P,下列结论正确的是 ( )
A.点P在三角形内部 B.点P在三角形外部
C.点P在三角形边上 D.点P的位置不确定
2.如图,有A,B,C三个居民小区的位置成三角形,现决定在三个小区之间修建一个购物超市,使超市到三个小区的距离相等,则超市应建在 ( )21教育网
A.AC,BC两边高线的交点处
B.AC,BC两边中线的交点处
C.AC,BC两边垂直平分线的交点处
D.∠A,∠B两内角平分线的交点处
3.如图,已知线段AB,BC的垂直平分线l1,l2交于点M,则线段AM与线段CM的比值是 ( )
A.0 B.
C.1 D.无法确定
4.如图,∠A=52°,O是AB,AC的垂直平分线的交点,那么∠OCB= .
5.如图,△ABC为等边三角形,∠ABC,∠ACB的平分线交于点O,BO与CO的垂直平分线与BC分别交于E,F两点.21cnjy.com
求证:BE=EF=FC.
6.如图,在△ABC中,AB=AC,过腰AB的中点D作AB的垂线,交另一腰AC于E,连结BE.
(1)若BE=BC,求∠A的度数.
(2)若AD+AC=24cm,BD+BC=20cm.求△BCE的周长.
7.如图,D是△ABC的边BC的中点,过AD延长线上的点E作AD的垂线EF,E为垂足,EF与AB的延长线相交于点F,点O在AD上,AO=CO,BC∥EF.21世纪教育网版权所有
求证:(1)AB=AC.
(2)点O是△ABC三边垂直平分线的交点.
【鉴前毖后】如图,直线CP是AB的垂直平分线且交AB于P,某人想在AB上取两点D,E,使得AD=DC,CE=EB,说明他应该如何做,并画出图形.21·cn·jy·com
(1)错因:________________________________________________.
(2)纠错:_______________________________________________
___________________________________________________________
B卷能力达标
(测试时间30分钟 试题总分50分)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.如图,如果将△ABC的顶点A先向下平移3格,再向左平移1格到达A′点,连接A′B,则线段A′B与线段AC的关系是 ( )
A.垂直 B.相等
C.平分 D.平分且垂直
2.如图,点P是∠AOB外的一点,点M,N分别是∠AOB两边上的点,点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上,点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上,若PM=2.5cm,PN=3cm,MN=4cm,则线段QR的长为 ( )www.21-cn-jy.com
A.4.5cm B.5.5cm
C.6.5cm D.7cm
3.如图,地图上A地位于B地的正北方,C地位于B地的北偏东50°方向,且C地到A地、B地的距离相等,那么C地位于A地的 ( )
A.南偏东50°方向 B.北偏西50°方向
C.南偏东40°方向 D.北偏西40°方向
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.如图所示,AC⊥CD,BD⊥CD.AB的垂直平分线EF交AB于点E,交CD于点F,且AC=FD,则△ABF的形状是 .2·1·c·n·j·y
5.如图,在等腰△ABC中,AB=AC,∠DBC=15°,AB的垂直平分线MN交AC于点D,则∠A的度数是 .【来源：21·世纪·教育·网】
6.如图,在△ABC中,BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D,交边AB于点E.若△EDC的周长为24,△ABC与四边形AEDC的周长之差为12,则线段DE的长为 .www-2-1-cnjy-com
三、解答题(共26分)
7.(8分)如图,△ABC中,∠C=90°,∠A=30°.
(1)用尺规作图作AB边上的中垂线DE,交AC于点D,交AB于点E.(保留作图痕迹,不要求写作法和证明).【出处：21教育名师】
(2)连接BD,求证:BD平分∠CBA.
8.(8分)在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AB的垂直平分线交BC于点M.交AB于点E,AC的垂直平分线交BC于点N,交AC于点F,求证:BM=MN=NC.21*cnjy*com
【培优训练】9.(10分)如图,某学校(A点)与公路(直线l)的距离为300米,又与车站(D点)的距离为500米,现要在公路上建一个小商店(C点),使之与该学校A及车站D的距离相等.【版权所有：21教育】
(1)试用直尺和圆规在图中作出点C(不写作法,保留痕迹).
(2)求出商店C与车站D之间的距离.
13.5.2线段垂直平分线 达标检测AB卷
A卷基础达标
题组一线段垂直平分线的性质与判定
1.如图,已知△ABC(AC【解析】选D.A中,由作图痕迹只能可知AB=BP,不能得出PA+PC=BC;B中,由作图痕迹知所作直线是AC的垂直平分线,所以AP=PC,不能得出PA+PC=BC;C中,由作图痕迹知PC=AC,不能得出PA+PC=BC;D中,由作图痕迹知所作直线是AB的垂直平分线,所以AP=BP,可得AP+PC=BP+PC=BC,符合题意.【版权所有：21教育】
2.如图,在△ABC中,边AB的垂直平分线分别交AB,BC于点D,E,边AC的垂直平分线分别交AC,BC于点F,G.若BC=4,则△AEG的周长是
( )
A.2 B.3 C.4 D.不能确定
【解析】选C.∵ED是AB的垂直平分线,
∴AE=BE,
∵FG是AC的垂直平分线,∴AG=GC,
∴△AEG的周长=BE+EG+GC=BC=4.
【变式训练】如图,在△ABC中,AB=AC,AB+BC=8.将△ABC折叠,使得点A落在点B处,折痕DF分别与AB,AC交于点D,F,连接BF,则△BCF的周长是 ( )21教育名师原创作品
A.8 B.16 C.4 D.10
【解析】选A.由折叠可得FB=FA,∴△BCF的周长=BC+CF+FB=BC+CF+FA=BC+AC,21*cnjy*com
∵AB=AC,∴△BCF的周长=BC+AB=8.
3.如图,已知AD是BC的垂直平分线,△ABC的周长为20cm,且BD=3cm,△ABC的周长为20cm,则AC的长为 .
【解析】∵AD是BC的垂直平分线,BD=3cm,
∴AB=AC,BC=6cm.∵△ABC的周长为20cm,∴AC=7cm.
答案:7cm
4.已知点P在线段AB的垂直平分线上,PA=6,则PB= .
【解析】∵点P在线段AB的垂直平分线上,PA=6,∴PB=PA=6.
答案:6
5.如图,在△ABC中,BC边的中垂线交BC于点D,交AB于点E,若CE平分∠ACB,∠B=40°,则∠A= 度.
【解析】∵DE是线段BC的中垂线,
∴BE=CE,
∴∠BCE=∠B=40°,
∵CE平分∠ACB,
∴∠ACB=2∠BCE=80°,
∴∠A=180°-∠B-∠ACB=60°.
答案:60
6.如图,AD是△ABC的高,E为AD上一点,且BE=CE,求证:AB=AC.
【证明】在Rt△BDE和Rt△CDE中,∴Rt△BDE≌Rt△CDE,
∴BD=CD,又∵AD是△ABC的高,
∴AD是BC的垂直平分线,
∴AB=AC.
7.如图,△ABC中,DE是AB的垂直平分线,连结BD,若BC=CD,AC=10cm,△BCD的周长为16cm,求BD和BC的长.
【解析】∵DE是AB的垂直平分线,
∴AD=BD.
∵△BCD的周长为16cm,∴BC+AC=16cm.
∵AC=10cm,∴BC=6cm.
∵BC=CD,∴CD=6cm,∴BD=16-2×6=4(cm).
8.如图,△ABC中,∠ACB=90°,AD平分∠BAC,DE⊥AB于点E.求证:直线AD是CE的垂直平分线.
【解题指南】解答本题的两个关键
1.根据角平分线的性质证点D在CE的垂直平分线上.
2.证点A也在CE的垂直平分线上.
【证明】∵AD平分∠BAC,∠ACB=90°,DE⊥AB,∴CD=DE,∴点D在CE的垂直平分线上.
在Rt△ADE和Rt△ADC中,
∴Rt△ADE≌Rt△ADC,∴AC=AE,
∴点A也在CE的垂直平分线上,
∴直线AD是CE的垂直平分线.
题组二三角形三边垂直平分线的性质应用
1.如果一个三角形三边垂直平分线的交点在三角形外部,那么这个三角形是
( )
A.直角三角形 B.锐角三角形
C.钝角三角形 D.不能确定
【解析】选C.∵锐角三角形三边的垂直平分线的交点在三角形的内部,直角三角形三边的垂直平分线的交点为斜边的中点,钝角三角形的三边垂直平分线的交点在三角形的外部,21cnjy.com
∴这个三角形是钝角三角形.
【变式训练】已知等腰三角形的底角是70°,两腰的垂直平分线相交于点P,下列结论正确的是 ( )
A.点P在三角形内部 B.点P在三角形外部
C.点P在三角形边上 D.点P的位置不确定
【解析】选A.∵等腰三角形的底角是70°,∴其顶角为40°,这个三角形为锐角三角形,∴点P在三角形内部.
2.如图,有A,B,C三个居民小区的位置成三角形,现决定在三个小区之间修建一个购物超市,使超市到三个小区的距离相等,则超市应建在 ( )
A.AC,BC两边高线的交点处
B.AC,BC两边中线的交点处
C.AC,BC两边垂直平分线的交点处
D.∠A,∠B两内角平分线的交点处
【解析】选C.根据线段的垂直平分线的性质:线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等,则超市应建在AC,BC两边垂直平分线的交点处.
3.如图,已知线段AB,BC的垂直平分线l1,l2交于点M,则线段AM与线段CM的比值是 ( )
A.0 B.
C.1 D.无法确定
【解析】选C.连接BM,
∵线段AB,BC的中垂线l1,l2交于点M,
∴AM=BM,BM=CM,
∴AM=CM,即AM∶CM=1.
4.如图,∠A=52°,O是AB,AC的垂直平分线的交点,那么∠OCB= .
【解析】连接BO,AO.∵O是AB,AC的垂直平分线的交点,∴AO=BO=CO.
∴∠BAO=∠ABO,∠OAC=∠OCA,∠OBC=∠OCB.
∴2∠OCB=180°-∠A-∠ABO-∠ACO
=180°-2∠A=76°,
∴∠OCB=38°.
答案:38°
5.如图,△ABC为等边三角形,∠ABC,∠ACB的平分线交于点O,BO与CO的垂直平分线与BC分别交于E,F两点.21教育网
求证:BE=EF=FC.
【证明】连接OE,OF,∵OB平分∠ABC,且∠ABC=60°,∴∠OBC=30°,
∵点E是线段BO的垂直平分线上的点,
∴BE=OE,同理CF=OF.
∵∠OEF是△BOE的外角,
∴∠OEF=2∠OBE=60°,同理∠OFE=60°,
∴在△OEF中,∠OEF=∠OFE=∠EOF=60°,
∴△OEF是等边三角形.
∴BE=EF=FC.
6.如图,在△ABC中,AB=AC,过腰AB的中点D作AB的垂线,交另一腰AC于E,连结BE.
(1)若BE=BC,求∠A的度数.
(2)若AD+AC=24cm,BD+BC=20cm.求△BCE的周长.
【解析】(1)设∠A=x.∵DE是AB的垂直平分线,∴AE=BE,∴∠ABE=∠A=x.
∵BE=BC,∴∠C=∠BEC=2x.
∵AB=AC,∴∠C=∠ABC=2x,
∴x+2x+2x=180°,x=36°.即∠A=36°.
(2)∵AC=AB=2AD=2BD,AD+AC=24cm,BD+BC=20cm,
∴AD=BD=8cm,AC=16cm,BC=12cm.
∴△BCE的周长=BC+CE+BE=BC+AC=12+16=28(cm).
7.如图,D是△ABC的边BC的中点,过AD延长线上的点E作AD的垂线EF,E为垂足,EF与AB的延长线相交于点F,点O在AD上,AO=CO,BC∥EF.21世纪教育网版权所有
求证:(1)AB=AC.
(2)点O是△ABC三边垂直平分线的交点.
【证明】(1)∵D是△ABC的边BC的中点,∴BD=CD.
∵BC∥EF,AD⊥EF,∴AD⊥BC,
∴AD是BC的垂直平分线,∴AB=AC.
(2)∵AO=CO,
∴点O在AC的垂直平分线上.
∵AD是BC的垂直平分线,点O在AD上,
∴点O是边BC和AC的垂直平分线的交点.
∵三角形三条边的垂直平分线相交于一点,
∴点O是△ABC三边垂直平分线的交点.
【鉴前毖后】
如图,直线CP是AB的垂直平分线且交AB于P,某人想在AB上取两点D,E,使得AD=DC,CE=EB,说明他应该如何做,并画出图形.2·1·c·n·j·y
(1)错因:________________________________________________.
(2)纠错:_______________________________________________
___________________________________________________________
答案: (1)应作线段AC,BC的垂直平分线.
(2)作AC,BC的垂直平分线,分别交AB于D,E,则D,E即为所求.
B卷能力达标
(测试时间30分钟 试题总分50分)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.如图,如果将△ABC的顶点A先向下平移3格,再向左平移1格到达A′点,连接A′B,则线段A′B与线段AC的关系是 ( )
A.垂直 B.相等
C.平分 D.平分且垂直
【解析】选D.平移后点A′的位置如图,由图易知BA=BC,A′A=A′C,∴直线A′B是线段AC的垂直平分线,即线段A′B与线段AC的关系是平分且垂直.【来源：21·世纪·教育·网】
2.如图,点P是∠AOB外的一点,点M,N分别是∠AOB两边上的点,点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上,点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上,若PM=2.5cm,PN=3cm,MN=4cm,则线段QR的长为 ( )21*cnjy*com
A.4.5cm B.5.5cm
C.6.5cm D.7cm
【解析】选A.由题意知OA垂直平分PQ,
∴MQ=PM=2.5cm,
同理NR=PN=3cm,
∴QN=MN-QM=4-2.5=1.5(cm),
QR=QN+NR=1.5+3=4.5(cm).
【归纳整合】线段垂直平分线的性质与判定的应用
性质的应用
判定的应用
(1)证明两条线段相等,三角形是等腰三角形.
(2)证明对应的角相等.
(3)确定轴对称图形的对称轴
(1)判定点(中点)在直线(垂直平分线)上.
(2)判定直线(垂直平分线)经过某点(中点).
(3)判定两直线的位置关系:互相垂直
3.如图,地图上A地位于B地的正北方,C地位于B地的北偏东50°方向,且C地到A地、B地的距离相等,那么C地位于A地的 ( )
A.南偏东50°方向 B.北偏西50°方向
C.南偏东40°方向 D.北偏西40°方向
【解析】选A.∵A地位于B地的正北方,C地位于B地的北偏东50°方向,
∴∠ABC=50°,
∵C地到A地、B地的距离相等,
∴点C在线段AB的垂直平分线上,CA=CB,
∴∠BAC=∠ABC=50°,
∴C地位于A地的南偏东50°.
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.如图所示,AC⊥CD,BD⊥CD.AB的垂直平分线EF交AB于点E,交CD于点F,且AC=FD,则△ABF的形状是 .【来源：21cnj*y.co*m】
【解析】∵EF是AB的垂直平分线,∴AF=BF,
在Rt△ACF和Rt△FDB中,
∴Rt△ACF≌Rt△FDB,∴∠AFC=∠FBD,
∵∠FBD+∠BFD=90°,∴∠AFC+∠BFD=90°,
∴∠AFB=90°,
∴△ABF是等腰直角三角形.
答案:等腰直角三角形
5.如图,在等腰△ABC中,AB=AC,∠DBC=15°,AB的垂直平分线MN交AC于点D,则∠A的度数是 .【出处：21教育名师】
【解析】∵MN是AB的垂直平分线,
∴AD=BD,
∴∠A=∠ABD,
∵∠DBC=15°,
∴∠ABC=∠A+15°,
∵AB=AC,
∴∠C=∠ABC=∠A+15°,
∴∠A+∠A+15°+∠A+15°=180°,
解得∠A=50°.
答案:50°
6.如图,在△ABC中,BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D,交边AB于点E.若△EDC的周长为24,△ABC与四边形AEDC的周长之差为12,则线段DE的长为 .21·cn·jy·com
【解析】∵DE是BC边上的垂直平分线,∴BE=CE.
∵△EDC的周长为24,∴ED+DC+EC=24,①
∵△ABC与四边形AEDC的周长之差为12,
∴(AB+AC+BC)-(AE+ED+DC+AC)=(AB+AC+BC)-(AE+DC+AC)-DE=12,
∴BE+BD-DE=12,②
∵BE=CE,BD=DC,∴由①-②可得,DE=6.
答案:6
三、解答题(共26分)
7.(8分)如图,△ABC中,∠C=90°,∠A=30°.
(1)用尺规作图作AB边上的中垂线DE,交AC于点D,交AB于点E.(保留作图痕迹,不要求写作法和证明).www-2-1-cnjy-com
(2)连接BD,求证:BD平分∠CBA.
【解析】(1)如图所示,DE就是要求作的AB边上的垂直平分线.
(2)证明如下:
∵DE是AB边上的垂直平分线,∠A=30°,
∴AD=BD,∴∠ABD=∠A=30°.
∵∠C=90°,∴∠ABC=90°-∠A=90°-30°=60°,
∴∠CBD=∠ABC-∠ABD=60°-30°=30°,
∴∠ABD=∠CBD,即BD平分∠CBA.
8.(8分)在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AB的垂直平分线交BC于点M.交AB于点E,AC的垂直平分线交BC于点N,交AC于点F,求证:BM=MN=NC.www.21-cn-jy.com
【证明】连接AM,AN,
∵AB的垂直平分线交BC于点M,交AB于点E,
AC的垂直平分线交BC于点N,交AC于点F,
∴BM=AM,CN=AN,
∴∠MAB=∠B,∠CAN=∠C,
∵∠BAC=120°,AB=AC,∴∠B=∠C=30°,
∴∠BAM+∠CAN=60°,∠AMN=∠ANM=60°,
∴△AMN是等边三角形,
∴AM=AN=MN,∴BM=MN=NC.
【培优训练】
9.(10分)如图,某学校(A点)与公路(直线l)的距离为300米,又与车站(D点)的距离为500米,现要在公路上建一个小商店(C点),使之与该学校A及车站D的距离相等.21·世纪*教育网
(1)试用直尺和圆规在图中作出点C(不写作法,保留痕迹).
(2)求出商店C与车站D之间的距离.
【解析】(1)如图所示:
(2)作AB⊥l于B点,则AB=300米.
连接AC.
∵点C在AD的垂直平分线上,∴CD=CA.
∵AB=300,AD=500,∴BD=400.
设CD=x,则AC=x,BC=400-x.
∴3002+(400-x)2=x2.解得x=312.5,
即商店C与车站D之间的距离为312.5米.
